模块化数学,多项式的唯一因式分解

多项式的唯一因子分解

如果p是素数Z轴第页[x] 属于综合类。换句话说,较小的多项式(按次数)可分为较大的,给出商和余数。使用模块划分法划分超前系数。这就得到了q,一个介于1和p-1之间的数字这是商的领先系数。将q乘以除数,移位,然后减去,类似于长除法。重复此过程,直到被除数小于除数。这是剩下的。让我们用x来说明+2倍2+3x+4除以5x+6 mod 7。

x个+2倍2+3倍+41/5 = 3-x个-4倍25倍2+3倍+45/5 = 1-5倍2-6倍4x+4倍4/5=5-4倍-22商:3x2+x+5,余数2

为了提高效率,您可能需要标准化分母,上例中为5×(x+4)。先除以x+4,然后除以5。不需要在每一步进行模除法,因为除数从1开始。当模数有数百位数时,这可以节省时间,多项式有数千项。

因为划分很明确,余数总是小于除数,gcd算法适用于p型多项式。我们可能无法分解两个大多项式,但我们可以判断他们是否有共同的因素。

gcd算法意味着唯一分解,使用相同的证据作为整数。

这种推理适用于任何域上的多项式,而不仅仅是Z轴第页.有理数、实数或复数上的多项式所有这些都表现出独特的因子分解。

接下来假设f(x)是取自Z轴[x] ,有两个不同的素数多项式因式分解。设s是任意素数多项式中的最大系数。让k个素数多项式组合成f。设d是最大素数多项式次数的一倍。当我们将素数多项式相乘时,我们永远不会遇到大于(ds)的数字k个.选择一个大于此值的素数p。减少所有mod p。所有系数都不变,因为p大于所有系数。事实上,所有的计算都像以前一样进行,因为这些数字从未超过p。现在f因子有两种方式Z轴第页[x] ,这是不可能的。因此整数多项式因子唯一。

请注意单项式x-r是整数或模多项式中的素数。这样的单项式是多项式f(x)的因子,当r是根时,即f(x)的解。如果x-r是一个因子,则代入r-r或0作为因子,因此f(r)为0。相反,设f(r)=0,写f=g×(x-r)+h,其中g是商多项式,h是余数。当x=r时,f(r)为0,x-r也为0,因此h为0。因此x-r除以f。

n次多项式的根不能超过n。这将意味着n个以上的因素,这与唯一因子分解相矛盾。

因此,最多有n个不同的n第个c。如果有更多,那么xn个-c会有n个以上的根,这是不可能的,至少在Z轴第页.当使用mod 7时,2和4是1的立方根,不能有其他的。三是极限。

方程式x2+1=0在四元数中有6个根。当乘法不可交换时,哪里出错了?

给定两个多项式q(x)和r(x),我们可以计算左gcd g(x),因此sg=q,tg=r。任何其他多项式h(x)左除q,r左除g。然而,正确的gcd可能是完全不同的多项式。没有定义明确的双边gcd。

p除以ab的证明意味着p除以a或p除以b需要一个传统的gcd,如果没有它,唯一因子分解的证明无法继续。因此(x+i)×(x-i)=(x+j)×(x-j)=x2+1.

在没有唯一因子分解的情况下,像x这样的方程2+我可以有很多根。