n！中最不重要的非Zero数字！

设p（k）是k的最低有效非零小数！这个这个序列的前几个值是2,6,4,2,2,4,2,8,8,8,6,8,2,8,8,6,8,2,4,4,8,4,6,4,4,8,4,6,8,...  我们能直接确定任意给定k的第k项吗？还有，什么数字的渐近分布是什么？要回答这些问题问题，让L（k）表示最低有效非零小数整数k的位数。写入n！在表单中n！=个（2^a2）（5^a5）（3^a3）（7^a7）。。。我们可以让（n！）'表示这个数除以它的最大值10的幂，即。，（n！）'=（2^（a2-a5））（3^a3）（7^a7）。。。既然我们已经把10的所有幂都分开了，那么最不重要的这个数字的数字是非零的，最低有效数字也是非零的因素中的一个。因此，我们有L（n！）=L（n）'）=L[L（2^a2-a5）L（3^a3）L（7^a7）…]对于任意给定的整数n，我们可以计算任意素数p的指数在n中！只需将最接近的整数求和到j=1,2，。。例如，89中的3的指数！由提供a3=【89/3】+【89/9】+【89/27】+【88/81】=    29 + 9 + 3 + 1    =    42此外，3^k的最低有效小数是循环的有四个值{1,3,9,7}，所以很容易看出L（3^42）=9。同样，序列p^k，k=1,2，…的最低有效位，。。每一个以数字3或7结尾的奇数素数都有四个周期，以9结尾的为2，以我有一个周期。因此，所有这些周期都是四的除数。当然，2^k的最低有效数字也有一个句点四个，即{2,4,8,6}。此外，当我们将连续整数相乘以生成n！时！，我们总是2的幂大于5的幂，所以L（n！）的值很容易递归计算为L（L（n）L（（n-1）！）除非n是的倍数在这种情况下，我们需要更多信息。因此L（n！）以五个固定字符串形式出现，如下所示n个1 5 10 15 20 25 30 35 40 45电话：1264 22428 88682 88682 44846 44846 88682 22428 22428 66264。。。因此，如果我们知道L的值（（5n）！）我们自动知道这些值L（（5n+j）！）对于j=0,1,2,3,4。然而，价值观的模式L（（5n）！）不是很明显。如果我们将这些值制成表格发现它们也是固定的五串，所以我们只需要知道L（（25n）！）自动知道L（（25n+5j）！）对于j=0,1,2,3,4。继续这样，我们可以将L（（5^t n）！）的值制成表格作为如下所示n个1    5    10    15    20    25    30    35    40    45L（n！）：1264 22428 88682 88682 44846 44846 88682 22428 22428 66264L（5n！）：2884 48226 24668 48226 48226 86442 24668 62884 24668 24668电话：4244 82622 82622 28488 46866 64244 82622 82 622 2848 46866L（125n！）：8824 68824 26648 68824 42286 26648 26648 42286 2.6648 84462L（625n！）：6264 22428 88682 88682 44846 44846 88682 22428 22428 66264等。注意，L（625n！）的数字模式与L（n！）。一般来说，L（（5^jn）！）的模式是与L相同（（5^（j+4）n）！）。此外，在每个级别上都有精确到四个不同的块，由5个连续数字组成，一个块从每个数字0、2、4、6、8开始。从上面的表格中，我们可以提取出基本的模式对于L（（5^k n）！）L（）模式的查找表------------------------------k模块4-------0       06264  22428  44846  66264  886821       02884  24668  48226  62884  864422 04244 28488 46866 64244 826223       08824  26648  42286  68824  84462该表表示了我们需要确定的L（n！）值任意整数n。首先，我们将n转换为以5为基数，因此我们有n=d_0+d_1*5+d_2*5 ^2+…+d_h*5^h现在，我们在块中的第h行（mod 4）输入上表第一个数字是0（因为5^（h+1）的系数是零），并且确定该块第（dh）个位置的数字。让这个数字用s_h表示。然后我们在第h-1行（mod 4）输入表格在以s_h开头的块中，并确定（d（h-1））该块的第个位置。让这个数字表示为s（h-1）。我们继续以这种方式下降到s_0，这是最小值n！的有效非零位！。为了进行说明，考虑十进制数n=1592的情况。在基底5，这是n＝22332。现在我们在第行输入上表在以0开头的块中，k=4=0（mod 4），即06264。这个n的前导数字（以5为基数）是2，所以我们检查了该数字这个方块的位置2表示L（（2*5^4）！）=2.然后我们进入以2开头的块中第k=3行（mod 4）处的表格，其中是26648，求L（（2*5^4+2*5^3）！）=6然后在k=2（mod 4）行中，以6开头的块为64244，我们发现L（（2*5^4+2*5^3+3*5^2）！）=4.从中我们知道在块48226中，第k行=1（mod 4），所以我们有L（（2*5^4+2*5^3+3*5^2 + 3*5)!) = 2.最后，我们在块中输入行k=0（mod 4）22428查找结果L（1592！）=L（（2*5^4+2*5^3+3*5^2+3*5+2）！）=4为了简化这个过程，让我们定义一个数组A（4,5,5），其中第一个索引表示行（0,1,2,3），第二个是块选择器（0,2,4,6,8），第三个是数字（0,1,2,3,4）。如果可以理解第一个索引取模4，如果让dj表示以5为基数表示n，然后写入上述评估表格A（4，0，d4）=s4A（3，s4，d3）=s3A（2，s3，d2）=s2A（1，s2，d1）=s1A（0，s1，d0）=s0=L（（d4*5^4+d3*5^3+d2*5^2+d1*5+d0）！）这显示了我们如何通过以下方法轻松确定L（n！）的值k查找（在简单的固定4x5x5表中），其中k是n的以5为基数的数字，我们也可以从中严格确定表的对称性似乎暗示了数字的分布必须统一。通过实证检验，我们发现如下n的L（n！）值从2到10^t的分布，t=4,5,6。（这不包括n=1，其中L（n！）=1。）2         4         6         8------    ------    ------    ------10 ^4 2509 2486 2494 251010^5     25026     24999     24973     2500110^6    249993    250013    250040    249953当然，可以对n！的最小有效数字！在任何其他基地。例如，在以3为基数，我们发现偶数层上的块是112221，奇数层上的块是122和211。用这个我们可以构造如下所示的函数表。以前的电流输出数字输出--------  -------     ------1         0          11 1 p+11         2          22         0          22 1 2便士2         2          1其中“p”表示电流指数3的奇偶性数字。为了说明，假设我们希望确定（139！）的以3位为基数的有效非零。写的数字139以3为底的是12011，所以前导数字的3的指数为4，奇偶校验为0。因此，指数的奇偶校验字符串为01010。从最高有效数字1和a开始1的“上一个输出”（始终是初始的“上个输出”）我们在第11行中输入表格，结果是p+1，其等于1（因为当前指数奇偶校验为p＝0）。然后我们取这个输出和下一个输入数字2，然后进入表格在第12行获得输出2。然后我们得到这个输出下一个输入数字0，并在第20行中输入表格以查找输出2。接下来，我们在21处输入，找到输出2-p，然后打开这个级别我们有p＝1，所以输出是1。最后，我们进入在第11行的表中查找输出p+1，在这个级别上我们有p=0，则最终输出为1。这个过程本质上是一种“过滤器”，采用连续的集合{0,1,2}中的数字和集合{1,2}的输出数字，正如十进制算法从集合中获取数字流一样{0,1，…，9}并从集合{2,4,6,8}输出数字流。对于base-3滤波器，连续的“0”输入数字流将保持输出不变，即保留以前的输出值。另一方面，连续的“2”个输入数字流将导致每个步骤的输出在1和2之间振荡。一个当奇偶校验是偶数，当奇偶校验为奇数时，奇偶校验的作用类似于“1”结果是输出将在奇数步上改变状态。