单位分数的贪婪算法

假设我们想把简单分数2/3写成具有不同奇数分母的单位分数。如果我们应用“贪婪算法”，包括获取最大的资格每个阶段的单位分数，我们将从1/3开始，剩下1/3。因为我们需要不同的分母我们第二学期不能用1/3，所以我们继续下一学期最大奇数单位分数，为1/5。剩下的是2/15，小于2/15的最大奇数单位分数为1/9，这是我们的第三个学期，剩下的正好是1/45。因此，2/3的奇数贪婪扩张在四个步骤后终止，给出结果2/3  =  1/3 + 1/5 + 1/9 + 1/45在这一过程中，我们遇到的非零余量是1/3，2/15和1/45，分子为1、2、1。有一些与奇怪贪婪相关的有趣的未解决问题扩张。一个悬而未决的问题是是否每个分数都有保证以有限的步骤结束。这不是一个小问题，如1的奇数贪婪展开所示（第一个不使用1/1步骤）。结果是1  =  1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 + 1/23 + 1/721 + 1/979007+ 1/661211444787 + ...目前还不知道这是否最终会终止。顺便说一句，如果我们将自己限制在现有的基本分母范围内1  =  1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1811 + 1/654149 + ...大多数分数在奇贪婪的应用下很快终止算法，但有些需要相当多的术语。例如，如果分数3/179被转换为奇数单位分数之和分母使用贪婪算法，需要19个项。此外余数序列的分子是3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、2、3、4、1当然，如果我们不需要使用贪婪算法，那么分数3/179具有奇数分母的3项展开式1/63+1/1611+1/3759，反之，如果允许奇数和偶数分母，然后贪婪算法生成2项展开式1/60+1/10740。这只是同时强加这两者导致异常冗长的需求（奇怪和贪婪）扩展。还要注意，连续项的分子是从3到17的连续整数。（这提出了一个问题是否可以通过从给定的余数序列。）一般来说，如果我们有一个分数N/D，我们可以生成一个展开式N 1 1 1 1---  =   ----  +   ----   +   ----   +   ----   +  ...D日[0]D日[1]日[2]日[3]二次收敛（即正确数字的数量每项大约加倍）使用递归（N+k）d[k+1]=（N+k-1）d[k]^2-（N+k）d[k]+（N+k+1）初始值d[0]=1+（d+1）/N。我们可以重写表单中的重复日期[k]^2-1d[k+1]=d[k]^2-d[k]+1-----------（1）N+k当然，这并不能保证d[j]的值一定是整数。要使d[0]成为整数，必须有d=-1（mod N）。此后在第k步，我们必须使d[k]^2-1可以被（N+k）整除，这意味着d[k]=+1或-1（mod N+k）。以分数5/179为例，我们有N=5和D=179，这给出d[0]=37d[1]=1105d[2]=1045489d[3]=956415297493d[4]=813093530024486866555885d[5]=2975044898554565064901765456700565614513893820093/5这给出了单位分数的扩展，直到分母d[5]，它不是整数，因为d[4]=4（mod 9），所以它不是全等的到+1或-1（mod N+k）。因此，余数序列为6, 7, 8, 9, 2,...的分子N/D-1/D[0]-1/D[1]-1/D[2]-1/D[3]-1/D[4]应该是10，但d[4]恰好可以被5整除，所以分子是2。结果，递归停止给出整数，因为它是基于这样的假设，即剩余物每增加一个步骤。当然，我们可以用这个新的N/D值。再举一个例子，再次考虑分数3/179。在这种情况下递推公式（1）给出d[0]=61d[1]=2731d[2]=5963959德[3]=29640666497443d[4]=753059237496518829212535343德[5]=496210938281483556785833636950652507016084391058576351等等初始值d[0]=61的递归（1）为时间很长，多达19个学期。d[k]-1的因式分解有些累计，如下所示d[0]-1=（2）（2）d[1]-1=（2）（3）（5）（7）（13）d[2]-1=（2）（3）（7）（11）（13）（331）d[3]-1=（2）（3）（7）（13）（331）（14909897）d[4]-1=（2）（3）（11）（13）（331）（7505）（77839）（323759）（14909897）d[5]-1=（d[4]-1）（3）（3，5）（5）（大复合）如果我们让f_N（N）表示比第一个非整数的指数少一由递推公式（1）给出的值，初始值d[0]=n，然后我们前面看到f5（37）=4。我还发现f_3（51）=2，f3（61）=13。当然，这并不能完全描述展开，因为一旦整数分解，我们可以重新开始如案例3/179所示，使用新N/D：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、2、3、4、1|---------------------------------------------------|   |--------|  |-|顺便说一下，可能与西尔维斯特，在斯隆的整数序列手册（M0865）中定义为a（n+1）=a（n）^2-a（n这与公式（1）相同，只是它没有最后一项涉及N。我们可以尝试在天真的概率基础上估计预期任何给定N和N的f_N（N）值，因为它似乎只依赖于每个d[k]是否与+-1（mod N+k）同余。如果d[k]同样可能属于任何N+k等价类mod N+k，这将给出第k步给出的概率为2/（N+k）整数。因此，我们可以推断，小分子N将给出最佳结果长字符串的概率和j个连续整数的概率会是这样的不！------2平方英尺（N+j）！然而，如果这是正确的，那么3/179的情况就有可能发生约占425675250分之一。显然，等概率假设等价类是错误的。下面是一个简短的分数列表，其作用类似于下面的3/179的迭代次数x[k-1]^2-1x[k]=x[k-1]^2-x[k-1]+1-----------（1）N+k“持续奇数与贪婪”分母表分子3       5        7        11       13        17         19-----   -----   ------    ------   ------    ------    --------179 139 12473 1627 50387\218483\168149197    1399     18143    14299     84239/   223651/    223211377    2209     20663    17071    129947    366283\    334931629    2699     22049    41381    260597    371449/827    3649     24023    46331    594047\   3980711079 4909 32129 58057 627899/5899331367    5039     40193    77417    6743091619    5809     43679    994391817    5849     458631997    7289     460732069    85492249例如，分子5的第一个“顽固”分数是5/139。接下来是5/1399，依此类推至少重复最初的9个步骤。为了超越这一点，我们可以计算各种素数p的递归（mod p），这使得我们来确定序列给出整数的持续时间（尽管它不知道这些整数是什么）。显然，这些顽固的分数N/D中的每一个都有D=-1（mod 2N）。此外，如果N=1（或0）（mod 3），则D=-1（mod 6N）。我没有在上表中包括N=1，但确定它很有趣这种情况下的持久分母。看起来最持久的是D=19、61、73、151、181、193、271、283、379和等等。奇自由展开式的前10个分母5/139 = 1/29 + 1/673 + ...等。已给出在这里。序列在19个步骤后终止，并且余数的分子是5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,26,51,2,3,4,1我们希望有效地确定（1）的连续迭代，可能产生整数，从对于任何给定分数N/D，初始值x[0]=（D+1）/N+1。我能看到的唯一简单方法是通过评估各种素数p>N+1的迭代（mod p）。如果x[p-N-1]不一致到+1或-1（mod p），则字符串必须在N+k达到p时的点。字符串必须分解到的极限质数分数如下3/179    17         5/139   171970年3月17日1399年5月19日3/377    13         5/2209  193/629    13         5/2699  173/827    13         5/3649  173/1079   13         5/4909  173/1367   41         5/5039  173/1619   17         5/5809  313/1817   19         5/5849  173/1997   13         5/7289  173/2069   29         5/8549  173/2249   133/2267   133/2447   193/2699   133/2879   233/2897   133/2969   13这表明3/1367、3/2069、3/2879和5/5809是好的候选人的高度“顽固”奇怪贪婪扩张，因为在这些情况下，余数均匀增加的序列没有*必须分解，直到N+k分别等于41、29、23和31。当然，它们很快就会崩溃。其他人（13岁和17）绝对不会产生长度大于17的膨胀。解决此问题的另一个有趣的方法是确定序列贪婪的充分条件。如果1/n为序列中的一个项，然后是序列中所有后续项的总和必须小于差值1/n-1/（n+2）=现在，对于所有奇数n（大于1），我们得到了不等式2/（n（n+2））>1/n^2+1/n^4+1/n^8+。。。由此可知，如果每个分母都大于平方对于前一个，那么序列是贪婪的。问题是无限贪婪序列的和是否可能有理。（当然，我还没有证明这是贪婪，但这只是一个必要条件。因此，可能存在贪婪不满足“二次条件”的序列。）这个问题在中回答二次和的无理性此外，还有一种方法用任意长奇贪婪展开构造分数带连续整数余数的分子显示在奇贪婪单位分数展开.