计算n的分区

让p（n）表示正整数n可以表示为正整数的和，不考虑顺序。有很多方法可以确定分区的数量给定整数n的p（n）。Euler给出了著名的生成式p（n）的函数（参见加法和乘法分区)，但是还有许多其他有趣的表征和计算方法p（n）的值。例如，我们有以下公式包含sum-of-disvisors函数1个p（n）=-总和s（k）p（n-k）n k=1理解为p（0）=1。这里s（k）表示总和如果k有素因式分解（p1^a1）（p2^a2）。。。（pt^at），则k的除数之和为t pj^（aj+1）-1s（k）=产品---------------j=1 pj-1计算序列p（n）最简单的方法之一是递归使用公式p（n）=总和（-1）^（k-1）p（n-k（3k+-1）/2）其中，求和是针对所有k进行的，因此k（3k+-1）/2位于范围从1到n。更一般地说，给定任何不同整数的集合C（例如{2,3}或素数集，或正方形集，等等）计算n的方式数的有效算法可以表示为C元素的总和，允许多重性但不考虑秩序。设c1、c2、c3，。。。表示元素并将C_0=0设置为表示空元素。然后，对于每对整数i，j，我们定义函数f（i，j）带着作业f（0,0）=1f（i，j）=0，如果i或j小于或等于零（但不是都为零）和递归关系j个f（i，j）=总和f（i-c_j，k）k=0对于所有i，j>0。那么整数n的方式可以表示为C的元素之和n个v（n）=f（n，k）之和k=1有趣的是，存在“双重”整数集一的第n个元素是将n划分为元素的数量反之亦然。请参见分区转换周期。顺便说一下，欧拉生成函数1---------------------=1+p（1）x+p（2）x^2+p（3）x^3+。。。（1-x）（1-x^2）（1-x^3）。。。可以立即推广到任意分区整数集。我们只需在每个允许和的分母s。例如，生成将n分为素数的函数是1---------------------------------------（1-x2）（1-x^3）（1-x^5）（1-x ^7）（1-x ^11）。。。=1+0x+1x^2+1x^3+1x^4+2x^5+2x^6+3x^7+。。。再举一个例子，假设我们希望确定不同的根据可用硬币兑换一美元的方法。这个与要求将100个分区的数量计算为集合1、5、10、25、50和100的元素（表示便士，镍币、一角硬币、四分之一、五十美分和银元）。基本生成函数为1-----------------------------------------------（1-x^1）（1-x*5）（1-x10）（1-x25）（1x^50）（1-x^100）=1+1x+1x^2+1x^3+1x^4+2x^5+2x^6+2x^7+。。。此展开式中的系数x^100为293，这是所需的结果。然而，这并不是一种非常实用的计算答案的方法。简化计算的一种方法是留出便士，因为他们可以完成任意总和，只需考虑将小于或等于100的数字表示为数字之和5、10、25、50和100。每个表达式都对应一个唯一的用所需数字表示数字100的方法便士。此外，我们可以将简化后的所有数字相除问题乘以5，所以我们正在寻找表示20或数字1、2、5、10、20的数量更少。的生成函数这些数字的总和是1-------------------------------------（1-x^1）（1-x*2）（1-x^5）（1-x ^10）（1-x ^20）=1+1x+2x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+6x^7+7x^8+8x^9+11x^10+12x^11+15x^12+16x^13+19x^14+22x^15+25x^16+28x^17+31x^18+34x^19+41x^20+。。。所以表示20或更少的方法的数量是系数高达x^20，即。，1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 11+12+15+16+19+22+25+28+31+34+41=293这些系数可以使用集合和的f数组来确定{1,2,5,10,20}如前所述。这就给出了一个容易制成表格的数组如下所示：0 1 2 3 4 5总和0 1 0 0 0 0 11 0 1 0 0 0 0 12    0  1  1  0  0  0        23    0  1  1  0  0  0        24    0  1  2  0  0  0        35    0  1  2  1  0  0        46    0  1  3  1  0  0        57    0  1  3  2  0  0        68    0  1  4  2  0  0        79    0  1  4  3  0  0        810    0  1  5  4  1  0       1111    0  1  5  5  1  0       1212    0  1  6  6  2  0       1513    0  1  6  7  2  0       1614    0  1  7  8  3  0       1915    0  1  7 10  4  0       2216    0  1  8 11  5  0       2517    0  1  8 13  6  0       2818    0  1  9 14  7  0       3119    0  1  9 16  8  0       3420    0  1 10 18 11  1       41---总计=293哈代和拉马努扬采用更复杂的分析方法研究1918年左右广泛使用配分函数，发现p（n）的对数渐近于PI sqrt（2n/3），从而得出近似公式e^（PI平方（2n/3））p（n）~-----------------4平方米（3）随后，他们著名的“圆圈法”被用来获得公式1天/天（PI平方（2n/3-1/36））\p（n）=----------------（-------------------------）+O（e^（k平方码（n））2PI平方（2）dn\sqrt（n-1/24）/其中k<PI/6。进一步的改进导致了一个公式（带有修正项）这使得p（200）在实际值3972999029388的0.004范围内。稍后，Rademacher在这些方面做了更多的改进，并能够给出p（n）的级数展开。Abramowitz和Stegun给出了这个公式《数学函数手册》，但它相当复杂，并不特别对实际计算有用。