可表示为（a^2-1）（b^2-1）的数字

不久前我提到588107520这个数字是可以表达的格式为（X^2-1）（Y^2-1不同的方式，并询问是否有人知道一个6向可表达的数字。到目前为止，还没有发现6向可表达的数字，尽管一个数字并没有被证明是不可能的。关于5向数字，Dean Hickerson和Fred Helenius都独立发现了另外五个，所以到目前为止五向可表达数字是588107520672706944005469399936002128050512640374006977344005566067918611200似乎没有人知道是否有无限多这样的数字，或者即使还有更多超出此列表的内容。有几种可能的方法来构造这种。一种方法是注意，如果a、b、c、d是四个整数这样，它们中任意两个的乘积就是一个“害羞的正方形”，即。，ab=x ^2-1 ac=y ^2-1 ad=z ^2-1bc=u^2-1bd=v^2-1cd=w^2-1（1）那么（abcd）至少可以用三种方式表达，即abcd=（ab）（cd）=（ac）（bd）=（ad）（bc）（2）对于四个数字的集合，有一些很好的参数公式属性（1）。例如，以a=nb=q（qn+2）c=（q+1）（（q+1）n+2）d=4abc+2（a+b+c）（3）其中n是整数，q是任意有理数，例如bc是整数。产品abcd是F（q，n）=4qn（qn+1）（qn+2）（q+1）F（q，n）的值至少有三种表示形式，但他们可能有更多，显然任何数字都可能超过三个必须有三个，所以这些是需要检查的好数字。事实上我们发现每个数字F（3,4）=588107520F（5,5）=67270694400F（10.3）=546939993600F（12,2）=2128050512640F（4，-20）=3740697734400F（4/3156）=5566067918611200如前所述，有五种不同的表示。自每个数字以五种方式分成两个害羞的方块，每个方块其中有10种不同的三向表达方式（即从5个因子分解中选择3个的10种方法）。事实上其中一个数的形式为F（q，n），这意味着10个三向集合必须采用形式（2）。并非所有三向解决方案都是形式（2）。最通用的3路集合由八个分量a、b、c、d、e、f、g、h组成，其中三个分量因式分解abcdefgh=（abcd）（efgh）=（abef）（cdgh）=类似地，最通用的4路集将由16个组件组成，而最通用的5路集合将由32个组件组成。收件人了解为什么N路集合可能需要2^N个组件，请注意分量被二等分N次，在每个二等分中有一个分量或者与组件“a”在同一个段中，或者不在同一段中。因此，我们可以用N位二进制编码每个组件的行为数字，其中a={111…1}。每隔一个N位数字可能发生，因此可能有2^N种不同类型的组件。无论如何，构造多表示数的另一种方法是查看可以表示为a的形式为c^2-1的整数其他两个相同形式的整数的乘积。定义f（a，b，…，z）=（a^2-1）（b^2-1）。。。（z^2-1）然后找到三个整数a，b，c，这样f（a，b），f（a、c）和f（b，c）都是害羞的方块。然后是整数N=f（a，b，c）有三种表示N=f（a，b）f（c）=f注意，对于任何整数u，整数v的f（u，v）是出现在二阶线性递归序列中的害羞方形。例如，使得f（5，v）是害羞平方的整数v是..., 3821, 386, 39,  4, 1, 6, 59, 584, 5781, ...其中，项满足递归s[n]=10*s[n-1]-s[n-2]。在一般来说，对于任何整数u，序列都有中心值…，u-1，1，u+1。。。它满足递归s[n]=2u*s[n-1]-s[n-2]。也，注意，对于任何整数u和j，整数f（s[u；j]，s[u，j+1]）是一个害羞的正方形。因此，三个数字u、s[u；j]和s[u，j+1]满足规定的条件，所以数字N=h（u，s[u；j]，s[u；j+1）作为两个害羞方块的乘积整数u和j的任意选择。为了说明，在u=5和j=2的情况下，我们有秒[5；2]=59秒[5，3]=584因此，数字f（5,59584）可以表示为两个害羞方块的乘积有三种不同的方式，如下f（5,59584）=f（534451）=f因此，s序列一起构成了一个3路的2参数族可表达的数字。此外，对于任何给定的整数u，都可以生成一个序列此类型来自任何整数“a”，这样（u^2-1）（a^2-1因为如果我们定义b=x+au，我们就有（u^2-1）（b^2-1其中y=bu-a。重复这个过程，我们可以定义c=y+bu和那么我们有（u^2-1）（c^2-1其中z=cu-b，依此类推。将y=bu-a代入方程c=y+bu表示重复c=2ub-a所以数字a、b、c，。。。构成一系列解决方案。为了证明f（s[j]，s[j+1]）本身是任何这些s序列的害羞平方，注意，在（5）中输入x=b-au并扩展这些项可以得到（ua）^2-u^2-a^2+1=b^2-2abu+（au）^2-1将（b^2-u^2）（a^2-1）加到两边得到（ab）^2-a^2-b^2+1=（ab）哪些因素是（a^2-1）（b^2-1”）=（ab-u）^2-1表明序列a，b，c，…的任意两个连续元素，。。。满足这种形式的关系。迪安·希克森（Dean Hickerson）和（独立）采取了另一种方法弗雷德·海伦纽斯（Fred Helenius）：定义f（a，b）=（a^2-1）（b^2-1）和4百万（平方米-1）（平方米-2-1）（立方米-1）g（m，n）=------------------------------（m-n）^2如果m和n是整数，使得n-m除以m^2-1，则g（m，n）是一个整数，有三种表示形式：/2 m n ^2-m-n \/2n m ^2-m-n\g（m，n）=f（m，---------------）=f\n-m/\n-m//锰-1\=f（------，2mn-1）\n-米/此外，对于m和n的某些值，还有额外的陈述。特别是，如果我们设置n=m+3，其中m不是可以被3整除，我们有一个四向可表达的整数/2米3+12米2+16米-3\g（m，m+3）=f（m，-------------------------）\              3           //2米3+6米2-2米3\=f（m+3，--------------------）\               3          //平方米+3米-1\=f（----------------，2m^2+6m-1）\      3                      //2平方米+6米-5\=f（------------，m^2+3m+1）\       3                    /这证明了有无穷多个四向可表示的数字。通过检查大量这些，你有时会发现其中一个有第五个代表。例如，当m=31或37时，我们有g（31，34）=546939993600=f（31，23869）=f（34，21761）=f（271，2729）=f（3512107）=f（7011055）克（37,40）=2128050512640=夫（9163097）=夫（3739441）=f（4036481）=f（4932959）=f（9851481）另一个有趣的例子是设置m=2r^2-r-2和n=2r^2-1，它给出了四向可表达的数字g（m，n）=f（2r^2-r-2，16r^5-24r^4-8r^3+16r^2-1）=f（2r^2-1，16r^5-32r^4-4r^3+28r^2-2r-5）=f（（2r-1）（2r^2-2r-1），（2r+1）（4r^3-4r^2-4r-3））=f（4r^3-2r^2-4r+1，8r^4-12r^3-4r^2+6r+1）检查其中一些结果表明，当r=3或4时，会出现5'代表性：g（13,17）=588107520=f（131871）=f（171429）=f=f（79307）=f（129188）g（26,31）=67270694400=f（269983）=f（318371）=f=f（2091241）=f（433599）另一组4向可表达数字通过设置m=r（r^2-3）/2 n=（r^3+r^2-4r-2）/2我们还有其他结果克（209365）=法（4/3156）=5566067918611200这似乎不是四向数代数族的一部分。总之，多表示数的基本构造块是三向可表示数字的双参数公式可以在代数上专门化为四向的单参数族可表达的数字。其中一些四向表达也有一个第五种表示法，但不清楚是否存在代数表示法专业化提供这些，或者它们只是数字上的意外。似乎还有一些5向数字不是代数四路族。不知道是否有6路可表达的数字。