连续N次幂之和等于N次幂

卢卡斯（1875）著名的“炮弹堆叠”问题需要从1开始的连续平方和等于一个平方。唯一非平凡的解决方案是1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 24^2  =  70^2然而，正如劳伦特·比克曼（Laurent Beeckmans）在94年5月的文章中所讨论的那样数学月刊，如果我们允许任何一组k个连续的方块（不一定从1开始）有k=1的解，2、11、23、24、33、47等等。对于每一个，我们都有无穷大k个连续平方的多个序列，其和为平方。例如，当k=24时，我们不仅有上述序列也有9^2 + 10^2 + 11^2 + ... + 32^2  =  106^220^2 + 21^2 + 22^2 + ... + 43^2  =  158^2等。通常，以m^2开头的24个方块的和是m=1,9,20,25,44,76…的平方。。。这些值可以是通过求解相应的Pell方程确定，因为以m^2开头的k个连续平方和为（k/6）（6m^2-6m+6mk+1-3k+2k^2）对于任何固定的k、 以m和N表示的Pell方程。例如，当k=24时，我们有24m^2+552m+4324=N^2解决m的这个问题会给出____________-138+/6牛顿^2-6900米=--------------------12所以必须有一个整数q，这样6N^2-q^2=6900有六个无穷族的解[N，q]，其中最小的成员是[70,150]  [106,246]  [158,378]  [182,438]  [274,666]  [430,1050]对于这六个基本解[N0，q0]中的任何一个相应的无限族由下式给出__ _ _ __|Nj||5 2|j|N0||      | = |         |  |      ||_qj 12 5 q0_|等价地，序列Nj和qj都满足二阶复发s[j]=10s[j-1]-s[j-2]。对于任何q，对应的m的值为（q-138）/12。如果我们继续考虑高次幂和，似乎有两个或多个连续四次幂的和不等于四次幂吗幂，或两个或多个连续n次幂的总和等于任意n>3的n次方。有人能提供证据吗，参考，还是反例？这就留下了立方体的例子，当然还有一些立方体解决方案，但它们不会简化为简单的Pell方程，所以它们不像正方形那样容易分析。迪克森的《数论史》讨论了更普遍的问题找到一个等于连续立方体之和的立方体任何算术级数的元素。特殊情况第582页讨论了连续立方体。C.Pagliani（1830年）治疗求1000个连续整数及其立方体之和的问题是一个立方体。注意，x+1，x+2，。。。，x+m是s=m（y+1）（y^2+2y+m^2）/8其中y=2x+m。如果我们设置m=8n^3则s是n（y+4n^2）的立方体，如果y=0或y满足方程式3（4n^2-1）y=2（32n^6-24n^4+1）如果v表示2n，则上述语句等价于以下语句：（x+1）^3+（x+2）^3+-…+（x+v^3）^3=[vx+v*3（v+1）/2]^3如果6x=（v^2-1）^2-3（v^3+1）。这意味着x是一个整数如果v不能被3整除。例如，情况v=2、4和10给予3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^36^3 + 7^3 + ... + 69^3 = 180^31134^3 + ... + 2133^3 = 16830^3因此，这给出了无穷多个解。然而，并非所有金额等于一个立方体的连续立方体是这个系列的成员。注释以m^3开头的k个连续立方体的和是（k/4）（2m+k-1）（2m^2-2m+2km-k+k^2）将此数量设置为立方体N^3整数的解是千兆牛顿---  ---  ----3    3     64   11    2020    3    4020   15    7025    6    6049  291  115564    6   18099   11   33099  556  2805125   34   540153  213  1581153  646  3876288  273  2856343  213  2856512  406  5544很容易看出，k等于立方体的解（例如k=64、125、343和512）是无穷大的成员Pagliani发现的家族。但剩下的解决方案更多很有趣。注意k的值包括正方形4、25，49和64之间。对于k＝20、99、153，并且m=3、11、6和213。有趣的是立方体2856^3可以表示为两个连续立方体的总和不同的方式。戴夫·鲁辛从椭圆的角度处理这个问题曲线和分类的几种（可能的）解决方案：1.奇数k的平凡解——m=（1-k）/2（因此N=0），以及m=-k/2或-k/2+1（对于偶数k）2.当k=u^3时，扭转解--m=（u^3-2*u^2-4*u-4）*（u-1）/63.由1生成的子组中的其他元素。和2。（推测）仅k=4，m=11）4.等级1曲线的其他元素（无此类元素？见第六节）5.秩>1曲线的其他生成器（及其线性组合）对于k=3、20、25、49、99、153、288他推测类型3和类型4可能无法提供更多解决方案，但类型5更有可能产生额外的解决方案。“扭转解”对应于无穷族解Pagliani发现的。除此之外，即使在今天除了搜索之外，无法找到解决方案，可能使用和的代数因式分解的指导。吉姆·巴登哈根搜索k等于平方的解，并找到了这些情况k=119^2和k=251^2。Dave Rusin也指出，如果我们让A表示连续立方体的数量，B表示第一个和最后一个立方体，我们有A=k和B=2m+k-1，可以替换进入基本方程（k/4）（2m+k-1）（2m^2-2m+2km-k+k^2）=N^2将两边乘以8，我们得到A B（A^2+B^2-1）=K^3（1）其中K=2N。请注意，此方程在A和B、 但由于A+B=2（m+k）-1是奇数，很明显A和B有相反的奇偶校验。鲁辛指出，给出了“扭转点”按A=u^3，B=3（（u^2-1）/3）^2，然后对另一个进行分类关于A和B的最大公约数的解。我们可以通过描述三因子互素分量的项在（1）的左边，我将规定A是奇数，B是偶数。如果我们定义x=gcd（A，A^2+B^2-1）y=gcd（A，B）z=gcd（B，A^2+B^2-1）g=gcd（A，B，A^2+B^2-1）那么x，y，z是成对互质，我们有成对互素整数a、 b、c，以便A=axyg B=byzg（A^2+B^2-1）=cxzg如果我们把A和B代入右手关系，就很清楚了g必须等于1，我们有（轴）^2+（byz）^2-1=cxz（2）此外，将（1）替换为（abc）（xyz）^2=K^3（3）让G表示abc和xyz的最大公约数，必须有是互素整数u，v，这样abc=Gu^3 xyz=Gv^3（4）所以K=Guv^2。以下是所有这些参数的列表A、B小于30000的溶液。这包括两种解决方案这之前没有提到过。A B A B c x y z G u v----  ----    ---  ---   -----    ---  ---  ---    ----  ---  ---*    3     8      1   1        3      3   1    8        3    1   225     4      5   1       32      5   1    4       20    2   125    20      5   1      256      1   5    4       20    4   125    36      5   3       32      5   1   12       60    2   149    20      7   1       20      7   1   20      140    1   149   630      7   3    13310      1   7   30      210   11   1*   75    64      5   8       81     15   1    8      120    3   199   120      3   1       55     11   3   40      165    1   299  1210      3  11    49130      3  11   10      330   17   1*  125   192    125   8     2187      1   1   24       24   45   1153 578 3 17 59582 3 17 2 102 31 1153 1444 3 19 544 51 1 76 3876 2 1*343 768 343 16 14739 1 48 48 119 1833   288      7   3       68    119   1   96     1428    1   2* 1323   512      7  64     1331    189   1    8       56   22   3* 1331  4800   1331  40   206763      1   1  120      120  451   1* 2197  9408   2197  56   555579      1   1  168      168  741   1* 3267  1000     11 125     4913    297   1    8       11   85   6* 4913 27648   4913  32   912673      1   1  864       32 1649   36591  7200   2197  15   595508      1   3  160       60  689   2*12675  2744     65 343   107811    195   1    8      195  231   213923 19942      3  13    14042    357  13  118   547638    1   114161 17408    119  32  2248091      7  17   32     3808  131   1*21675  4096     85 512   238521    255   1    8     2040  172   1?     ?33124 70225     91  53      100    364   1 1325   482300    5   163001 85340    251   1 33094240      1 251  340    85340    5   1两个新的[A，B]解决方案是[65917200]和[1392319942]。这个第二个很有趣，因为它表明[49,20]不是u=v=1的唯一解。带星号的解决方案是指A或B为某个整数m的立方体，因此它们是无穷族的成员“扭转”解。在本表涵盖的范围内扭转解都具有三个解中的两个的性质参数x、y、z是立方体，第三个是（m^2-1）或3（m^2-1），取决于v是否可以被3整除。有趣的是，对于整个解决方案列表，包括Rusin发现的两个A、B大于30000的较大溶液和Buddenhagen，参数v总是1、2、3或（在一种情况下）6.v不等于其中一个的最小解是什么四个值？此外，请注意，此表中仅有的解决方案v=3或6是扭转集的成员，所以如果我们消除这些，剩下的所有解都是v=1或2。最小的是什么v大于2？的非扭转溶液？毫不奇怪，上面G的值总是大于1表，因为如果我们有G=1，那么方程（4）将意味着每个在a、b、c和x、y中，z是一个立方体，因此方程（2）将有这个表格[（'x'y'）^2]^3+[（b'y'z'）^2]^3=[（c'a'z'）]^3+1（5）其中素数变量是对应的非素数的立方根变量。这是“未遂事件”解决方案的限制情况费马立方体方程，这很有趣，因为它是另一个存在已知无限族解的情况，以及数量相当丰富的“零星”解决方案。换句话说，方程式X^3+Y^3=Z^3+1（6）由于以下恒等式，有无限多个解（1+9m^3）^3+（9m^4）^3=（9m*4+3m）^3+1（7）但也有其他解决方案，但似乎并不为人所知如果所有的解都是某个无限族的成员。无论如何，我们可以肯定地证明（5）没有形式的解（7） ，因为这要求1+9m^3是一个正方形，这意味着整数r，这样9m^3=r^2-1=（r+1）（r-1）注意，r+1和r-1都不能被3整除，所以其中之一可被9整除，另一个可与3互质。因此，如果r是偶数我们可以选择它的符号来给出整数s，t，这样r+1=9s^3 r-1=t^3从另一个中减去一个得出2=9s^3-t^3，即不可能（mod 9），其中0、+1、-1是唯一的立方体。另一方面手，如果r是奇数，那么我们知道m是偶数，所以2除以（r+1）、（r-1）和4相除。这提供了两种可能性r+1=18s^3，r-1=4t^3或r+1=36s^3，r-1=2t^3在第一种情况下，我们可以将这两个方程相减得出2=18s^3-4t^3，这显然与1=9s^3-2t^3相同不可能（mod 9）。在第二种情况下，我们有2=36s^3-2t^3，等于1+t^3=18s^3。这一因素包括（1+t）（1-t+t^2）=18s^3每个因子都可以被3整除，当且仅当t=2（mod 3），所以我们具有整数q，使得t＝3q+2，并且上述方程变为（q+1）（1+3q+3q^2）=2秒^3很明显，q必须是奇数，所以我们有这样的整数kq=2k-1，即k（12k^2-6k+1）=s^3因子是互质的，所以我们有整数m，n，这样k=m^3 12k^2-6k+1=n^3解k的第二个给出__________________            ___________6+-/36-48（1-n^3）3+-/12n^3-3k=-------------------------=------------------24                          12为了得到一个有理结果，必须有一个整数h，以便h^2=12n^3-3=3（4n^3-1）这意味着4n^3-1必须是3d^2的形式整数d。因此我们有3d ^2+1=4n ^3但请注意，如果我们定义有理数f=（3d-1）/2，我们有f^2+f+1=（9/4）d^2+（3/4）=3n^3此外，我们有方便的身份（2+f）^3+（1-f）^3=9（1+f+f^2）所以我们可以结合前面的关系给出（2+f）^3+（1-f）^3=（3n）^3这是费马的立方体方程，当然没有有理数解决。所以我们已经证明，如果在我们的原始问题中G=1，那么方程（6）必须有整数解，但不能是（7）。因此，它必须是另一个（密度低得多）参数解或零星解。