Polyomino枚举

一种名为“俄罗斯方块”的流行电脑游戏涉及对由四个正方形组成的各种簇。七种不同类型的集群如下所示像这样的一簇相连的方块被称为“多胞菌”Solomon Golomb著。特别是，如果四个正方形连接在一起这样的结果被称为破伤风。俄罗斯方块游戏使用所有七种可能的四溴乙烯。当然，只有如果不将反射计算为与众不同。五角星由五个正方形的星团组成你可以验证有12个不同的五角大楼，而不是计算旋转和反射。同样，有35个不同的六边形，107个不同的七边形，等等。我们可以计算出n个较小值的n个十进制数，但目前还没有已知的n-阿米诺数公式一般来说。对于每个n，实际上有几个与n-ominoes枚举下表给出了以下函数用于n=1到12。e（n）=最小矩形包络数（旋转前）其包围n个连续的正方形。g（n）=n个预兆的数量，不包括旋转或反射。h（n）=n个十进制数，不包括旋转数。t（n）=不同n个ominoes的总数。s（n）=不变的n个十进制数（直到旋转）在反思中。a（n）=h（n）中贡献1个元素到t（n）的元素数。b（n）=h（n）中对t（n）贡献2个元素的元素数。c（n）=h（n）中对t（n）贡献4个元素的元素数。这是桌子：n e（n）g（n）h（n）t（n）s（n）a（n）b（n）c（n）1       1        1      1      1        1        1      0      02       1        1      1      2        1        0      1      03       2        2      2      6        2        0      1      14       3        5      7     19        3        1      3      35       4       12     18     63        6        1      3     146       6       35     60    216       10        0     12     487       8      108    196    760       20        0     12    1848 11 369 704 2725 34 3 41 6609      14     1285   2500   9910       70        2     42   245610      17     4655   9189  36446      121        0    155   903411      21    17073  33896 135268      250        0    158  3373812      26    63600 126759 505861      441        9    574 126176s（n）的值似乎与中心二项式密切相关系数，但并不完全相同。此外，还有一些显而易见的这些功能之间的关系，例如h（n）=a（n）+b（n）+c（n）t（n）=a（n）+2b（n）+4c（n）s（n）=2g（n）-h（n）3a（n）+2b（n）=4h（n）-t（n）注意，由a（n）计数的簇具有4向对称性表示每个正方形（奇数中的中央正方形除外信封）必须出现四次。这就是为什么a（n）=0代表每n与2或3一致（mod 4）。最小包络数e（n）可以表示为1/n（n+1）n\e（n）=---|-----+[（n+2）/2]-[sqrt（n）]-SUM[n/k]|2\2 k=1/其中[x]表示小于x的最大整数（注意[8] =7.）右侧的总和可以替换为tau（k），k=1到n-1，其中tau是“divisors数”函数，所以我们有复发e（n）=e（n-1）+{n/2}-{τ（n-1其中{x}表示大于或等于x的最小整数。这可以推广到d维的“立方体”簇。包含n个“立方体”的不同最小信封的数量d尺寸由下式给出n-1个e_d（n）=总和（A_d（k）-M_d（k））k=0其中A_d（k）是k到d或更少的正整数，M_d（k）是乘法数将k分为d或更少的适当因子（即因子更大比1）。这也可以用递推公式表示e_d（n）=e_d