零件6: 在总和多项式的素因子

 

线性的多项式

 

似乎x形式的迭代ξ(ax+b)恒定导程对任何固定整数a和b的闭合循环x值小于100000,ξ(8x+1)的迭代总是导致23步循环

 

66 46 47 42 337 63 106 286 119953 76 39 313

175 470 3761 30089 367 103 24193 111 134 66。。。

 

打开另一方面,ξ(7x+3)的迭代总是导致以下两个周期

 

循环1:30 74 521 85 38 269 6639 30。。。

 

周期2:92 647 118 829 290510171 109 385 92。。。

 

我们可以限制我们对gcd(a,b)=1的函数的注意,因为如果xn是ξ(ax+b)下的迭代序列,gcd(a,b)=c,然后让aB表示互质整数a/c和B/c

 

 

因此ξ(ax+b)的迭代满足

 

 

如果我们定义了移位变量yk=xkξ(c)我们可以把这个写在表格里

 

 

因为A和B是互质的,很明显,A和ξ(c)+B也是互质,所以每个序列xn只是序列y的移位版本n对于具有互质系数的函数。

 

我已经确定b<a<14时的所有“线性-ξ环”初始x值小于100。似乎所有的循环通常从前10个或20个初始值中遇到,其余的是重复,所以这可能代表所有可能的循环。对于选定功能我检查了非常大的初始值(例如100000),发现它们都回到了最初的循环集合。

 

这个这个范围内最长的循环是ξ(13x+12),它有59个周期似乎是这个函数唯一可能的极限环。这个函数ξ(13x+1)具有长度为7和56的极限环。函数ξ(13x+2)有6个不同的极限环,长度分别为1、1、1、1、15和23。

 

每个线性sopf迭代序列最终都是周期性的吗?任何给定函数的极限环数是有限的?

 

另一个托马斯提出了一系列关于素数和的问题他建议定义函数

 

 

他要求整数n的分布使得d(n)=0。还有,让D(n)表示D(j)的和,对于j=2到n,他要求渐近解D(n)的行为。下图显示(蓝色)D(n)的值为n范围从1到20000。

 

006%20image005

 

这个绿线表示截至该点的整数n的累计数其中d(n)=0。注意D(x)可以是x的正或负高达14000左右,但除此之外,它是积极的,而且显然还在继续上升趋势。有趣的是,在它使我们精确地归零,也就是说,我们有D(14858)=0,但是这是在这个偏移过程中的最低值,随后的值是总是积极的。

 

这个下面的曲线图证实了这一点,图中用蓝色表示x的D(x)高达200000。这种趋势肯定是向上的,尽管它肯定不是单调的。

 

006%20image006

 

运送这又增加了一个数量级,下面的图显示了D(x)对x的2百万。

 

006%20图像007

 

所有这些图的绿色曲线代表整数的累积数使d(n)=0。如果s(x)表示该累计和,则ln(s(x))与ln(x)是非常线性的,如下所示。

 

006%20image008

 

这个表明s(x)可能渐近接近x为了一些价值大约是0.35(虽然这是一个非常粗略的估计,而且不是说明任何非零截获)。

 

 

二次方的多项式

 

任何正整数n让ξ(n)表示(绝对值)的和of)n的素数因子。例如,整数12有素数因式分解(2)(2)(3),所以我们有ξ(12)=2+2+3=7。给予任何二次多项式f(x)=ax2+对于整数a,b,c我们可以考虑函数ξ(f(x))的迭代,特别关注周期和不动点。然而,由于ξ(f(x))的值更大对于x的大多数值,循环是非常罕见的。事实上,唯一已知的圈是某些多项式f的不动点,即x的值ξ(f(x))=x。

 

有趣的是,二次f(x)=x2x+41在这方面。这个多项式是著名的,因为它给出了许多素数x的值,与判别式是163,哪个是最大的,类号=1。碰巧ξ(x2x+41)x取这个值609不常见。为了这些如果用(x)代替x 609年)我们有解决方案

 

 

当然,平方x2+1217x+370313仍有判别163以下27个x值满足该等式:

 

 

在每种情况下,二次方分裂为3个素数,即。,

 

       

鉴于一个解pqr的任何两个素因子,我们都可以代入这个得到第三个因子的一个二次方程,从中我们可以推断出两个第三个因子的可能值。其中一个值将来自原来的三倍。如果二次曲线的另一个根恰好是质数,然后给出方程(1)的另一个解。(整数解这种形式的方程在排列解的注释中被讨论f(x+y+z)=xyz.)

 

显然如果我们去掉了p,q,r是素数的要求,那么方程(2)无穷多解,但能证明它有无穷多解吗素数p,q,r的解?另外,有没有(1)的解决方案那个x是三个素数的乘积? 

 

很明显,判别式为163的多项式有很多素数因为x2x+41是许多小的素数值x,所以在f(x)的判别式及ξ(f(x))=x的解的个数ξ(f(x))的循环周期与类之间有关系f(x)判别式的个数?

 

周期迭代x的ξ(f(x))的周期大于1非常罕见(如果它们存在的话),因为ξ(f(x))通常更大为了产生更丰富的周期结构,我们可以应用ξ算符两次,即我们可以考虑ξ(ξ(f(x)))形式的函数。这些似乎产生了类似于应用ξ产生的循环算符只需一次线性函数。

 

举例说明,考虑ξ(ξ(x)的迭代2 x+1))。除了固定的点x=1,x=11,x=20,这个函数给出几个周期性的长度大于1的序列。例如,从x=2开始,我们得到顺序

 

 

换句话说,经过22次迭代,序列进入周期性周期长度为11。如果我们从x=6开始,接下来的序列是6,31,14,。。。,所以这也导致了长度为11的周期。另一方面手,从x=4开始,我们得到

 

 

所以这就产生了一个长度为3的周期。我们还有循环{49,99}和{42,1723,119}。总之,这个函数有七个极限环

 

 

似乎每个初始值最终都会导致这些循环中的一个。例如,从x=17开始

 

 

所以这就得到了不动点x=11。

 

另一个例子,考虑ξ(ξ(x)的迭代2 1) )。此函数具有不动点{8},{43},{53},{1619},以及下面所示的循环。

 

 

应用这个迭代函数从任何小于100的整数开始,我们最终到达其中一个不动点或极限环,尽管可能需要多次迭代。例如,从x=23开始迭代给出值

 

 

也,迭代可以在达到其极限环。例如,从x=92开始,迭代通过

 

2874700183441905088136471841546421149589

 

哪一个因素

 

(61)(13432819)(3991388853449)(878964871713667979)

 

最终这就回到固定点53。

 

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