零件6: 总和多项式的素因子

线性的多项式

它形式x的迭代→ ξ（ax+b）总是领先任何固定整数a和b的闭合循环。例如，使用任何初始值x的值小于100000，ξ（8x+1）的迭代总是导致23步循环

66  46  47  42  337  63  106  286  119 953  76  39  313 

175 470 3761 30089 367 103 24193  111  134  66 ...

打开另一方面，ξ（7x+3）的迭代总是导致以下两个循环

循环#1:30 74 521 85 38 269 6639  30 ...

循环#2:92 647 118 829 290510171  109  385  92 ...

我们可以将我们的注意力限制在gcd（a，b）=1的函数上，因为如果x_n个是ξ（ax+b）下的迭代序列，gcd（a，b）=c，然后让aB表示我们有的互质整数a/c和B/c

因此ξ（ax+b）的迭代满足

如果我们定义了移位变量y_k个=x_k个−ξ（c）我们可以把这个写在表格里

自A和B是互质，很明显A和Aξ（c）+B也是互质，所以每个序列x_n个只是序列y的移位版本_n个对于具有互质系数的函数。

我已经确定了b<a<14的所有“线性-ξ环”初始x值小于100。似乎所有的循环通常仅在前10或20个初始值中遇到，其余为重复，因此这可能表示所有可能的循环。对于选定的函数我检查了非常大的初始值（例如100000），发现它们都返回到原始的循环集合。

这个这个范围内最长的回路是ξ（13x+12），周期为59似乎是该函数唯一可能的极限环。这个函数ξ（13x+1）具有长度为7和56的极限环。函数ξ（13x+2）有6个不同的极限环，长度分别为1、1、1，1、15和23。

是每个线性sopf迭代序列最终都是周期的，这是真的吗？是给定函数的有限极限环数？

另一个托马斯提出了一系列关于素因子之和的问题Volet建议定义函数

和他要求整数n的分布使得d（n）＝0。此外，让D（n）表示j=2到n的D（j）之和，他要求渐近D（n）的行为。下图显示（蓝色）D（n）的值为n范围从1到20000。

这个绿线表示截至该点的整数n的累计数量其中d（n）=0。注意，对于x，D（x）可以是正的也可以是负的高达14000人左右，但除此之外，情况变得积极起来，而且显然还在继续呈上升趋势。有趣的是，在14858，它使我们精确到零，即D（14858）=0，但这是它在该偏移中的最低值，随后该值为总是积极的。

这个由下面的图确认，图中以蓝色显示x的D（x），最高可达200000。这一趋势肯定是向上的，尽管它肯定不是单调的。

运送这是另一个数量级，下面的曲线图显示了x的D（x）到2百万。

在所有这些图中，绿色曲线表示整数的累计数量n使得d（n）=0。如果s（x）表示该累计和，则ln（s（x））与ln（x）是相当线性的，如下所示。

这个表示s（x）可能渐近接近x^米为了一些价值m约为0.35（虽然这是一个非常粗略的估计，但实际上并非如此解释任何非零截距）。

二次方多项式

对于任何正整数n让ξ（n）表示（绝对值）之和of）n的素数因子。例如，整数12具有素数因式分解（2）（2），所以ξ（12）=2+2+3=7。给定任何二次多项式f（x）=ax²+bx+c对于整数a，b，c我们可以考虑函数ξ（f（x））的迭代，特别关注循环和不动点。然而，由于ξ（f（x））的值较大与x相比，对于x的大多数值，循环是非常罕见的。事实上，唯一已知的圈是某些多项式f的不动点，即x的值ξ（f（x））=x。

有趣的是，平方f（x）=x²−x+41似乎在这方面。这个多项式很有名，因为它给出了许多素数x的值，与判别式为−163这一事实有关是最大的，类编号为1。碰巧ξ（x²−x+41）−x的值通常为−609。对于这些如果我们将x替换为（x− 609)我们有解决方案

的当然，二次x²+1217x+370313仍具有判别因子−163。以下27个x值满足此方程：

在每种情况下，二次函数都分裂成3个素数，即。，

鉴于解pqr的任意两个素因子，我们可以代入等式得到第三个因子的二次方，从中我们可以推断出两个第三个因素的可能值。这些值之一将来自原来的三人组。如果二次函数的另一个根恰好是素数，然后给出了方程（1）的另一个解。（的整数解这种形式的方程在注释“排列解”中进行了讨论f（x+y+z）=xyz。）

显然如果我们去掉了p，q，r是素数的要求，那么方程（2）无穷多个解，但能证明它有无穷多个吗素整数p，q，r的解？此外，是否有（1）这样的解决方案那个x是不三个素数的乘积？

它似乎很清楚，具有判别式163的多项式有这么多素数解决方案，因为x²−x+41是这么多小的素数x的值，所以f（x）的判别式和ξ（f（xξ（f（x））的周期与类之间有关系f（x）的判别数？

循环迭代x的→ 周期大于1的ξ（f（x））为非常罕见（如果它们确实存在的话），因为ξ（f（x））通常较大为了产生更丰富的周期结构，我们可以应用ξ算子两次，即我们可以考虑形式为ξ（ξ（f（x）））的函数。这些似乎产生了类似于应用ξ产生的循环运算符只对线性函数执行一次。

收件人举例说明，考虑ξ（ξ（x²− x+1））。除了固定的点x=1、x=11和x=20，此函数给出了几个周期长度大于1的序列。例如，从x=2开始，我们得到顺序

在换句话说，在22次迭代后，序列进入周期性长度为11的周期。如果我们从x=6开始，接下来的序列是6，31, 14,..., 这也导致了长度11的循环。另一方面手，从x=4开始，我们得到

所以这导致一个长度为3的循环。我们还有循环｛49，99｝和{42, 1723, 119}. 总之，该函数有七个极限环

它似乎每个初始值最终都会导致其中一个循环。对于例如，从x=17开始，我们有

所以这导致不动点x=11。

对于另一个例子，考虑ξ（ξ（x²− x−1））。此函数具有不动点{8}、{43}、}53、{1619}和下面所示的循环。

应用这个迭代函数从小于100的任何整数开始，我们最终到达这些固定点或极限环之一，尽管可能需要多次迭代。例如，从x=23开始迭代给出值

也，迭代可以在到达它的极限循环。例如，从x=92开始，迭代通过

2874700183441905088136471841546421149589

哪一个因素为

(61)(13432819)(3991388853449)(878964871713667979)

最终这将返回到固定点53。

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