零件5: 其他相关结果

 

广义的加性函数在ξ(n)的定义中,我们要求整数x和y的可加性

 

 

满意的。如果我们放宽这一要求,使可加性需要应用于任意两个辅素数x和y,然后稍微大一点函数族是可能的。这些函数必须满足f(1)=0和

 

 

哪里g和f是任何整数值函数,不一定是线性的。如果,像之前,我们设定f(p)=p,然后定义g(a,p)=p对于某个固定整数m,那么我们有加性族功能

 

 

因此,ρ0(N) 是N和ρ的不同素数因子之和1(N)=ξ(N)是所有素数因子的和。举例来说,对于N=(2)2(三)=12我们有

 

ρ0(12) =2个0(二)+10(3) =5

ρ1(12) =2个1(二)+11(3) =7

ρ2(12) =2个2(二)+12(3) =11

 

这个这个家族中唯一完全可加的成员是ρ1如果N是平方自由,意味着素数分解中的所有指数都是1,我们有ρk(N) =ρ0(N) 因此,任何ρ的解集1由平方自由整数组成的是也是每一个ρ的解集k功能。

 

这个G形密度有趣的是,形式为n+ξ(n)的表示总数对于所有的整数n小于或等于n紧跟着小于或等于N的复合整数的个数。让c(N)表示小于或等于N的复合材料数量,我们有

 

 

通知对于每个素数p,我们有p+ξ(p)=2p,这意味着大于N/2的素数有助于求和。另一方面,所有小于N/2的整数,素数和复合数,都有助于总结。因此,要使前面的近似为真,数字小于N/2的素数必须大约等于“排除”的数量复合材料”大于N/2。换句话说,如果w(x)表示k小于x且k+ξ(k)>x的整数个数,则π(x)~w(2倍)。表7给“新的最伟大的误差“,”正和负,所有m到2000000。这是绘图在下图中。

 

 

这个下图显示了ln(x)的曲线图2/w(x)与“错误”| w(x)π(x/2)|。

 

无花果

 

这个数字表明

 

 

A相关观察与“共轭”函数有关

 

 

我们将表示为很明显,我们拥有的每一个质数p

 

 

所以因此

 

如果我们把对所有人来说从1到N的整数k我们发现

 

 

这个这意味着,由于这些价中没有质数,因此复合材料k大于x并且使得k ξ(k) <x必须大约等于小于x的素数。

 

总结一下,我们找到了π(x)的两个近似值:

 

π(x)~复合材料数量k小于2x,使得k+ξ(k)>2x

π(x)~复合材料数量k大于x,使得kξ(k)<x

 

两者兼而有之其中π(x)的近似值是根据范围从x到2x。第一个计算此范围内复合材料的数量当它们的素数相加时,就超出了范围。第二个计算此范围内的复合材料数量,当它们的素因子被减去,落在范围之外。表9给予价统计量为了所有的人到100。

 

形式为n=p的整数2个有-at的价至少1,因为整数2p。这类似于形式m=2p的整数的G价至少为1,因为整数p。

 

否定的τ值(m)回想一下第4节,给定一组整数{m1,米2,..,k}对于任何给定的N,这样mj+ξ(mj)=N,函数τ(N)定义为

 

 

注意到τ(N)对几乎所有N都是正的,并且平均值τ(N)随N的增加而增加。事实上,对于τ(N)似乎对于任何x都有一个整数k,使得τ(N)>x表示所有N>k。但是,对于少数整数N,该值τ(N)的消极的.第一个这样的值(以及唯一一个较小的值)大于500)为239,其中τ(239)=21表8仅列出小于200万的m为负τ(m)。

 

因为τ(c)=c的值∑ξ(n)可以不管是正的还是负的,我们很自然地想知道它是否为零,给出b=1n中没有公共因子,这意味着存在一组素数的构成自然分隔没有必要用“惰性”来增加集合质数。表8没有提供这种现象的例子。不知道τ(N)=0对于任何整数N,但是我们可以对τ(N)对任何此类N施加严格约束的行为。

 

朱德麦克拉尼用数字检查了10以下的整数9没有发现病例τ=0,但他仍然偶尔发现τ的负值相对较小。(他总共找到了2000个。) 有趣的是,只有一组特定的负值出现了,而且这些值也发生了反复。例如,我们在这个范围内有以下15个整数τ(N)=29日:

 

006图14

 

不难看出,这是某些人存在的结果把1分成埃及单位分数。假设我们能找到一个整数使下列五个数都是素数:

 

 

下面是m+ξ(m)=N,其中m是5个数字2a,3b中的任何一个,4c、5d、19e。如果这个N没有其他“m值”,那么τ(N)=29

 

什么数字{2,3,4,5,19}的特殊性?记住根据的定义τ(N)我们有

 

 

替代a,b,c,d,e的上述表达式和分离项

 

 

这个第一个括号中单位分数的和是1,并且第二个括号中的补码分数是4,给出结果τ(N)=29岁独立于N,所以古埃及的分数是这一现象的重要部分。为了一些别的人29我们需要找到另一个和为1的不同单位分数的和,其分母都是1大于质数的(以4为质数)因为ξ(4)=4)。假设我们有一组k个不同素数{p1,p2,...pk}(再次允许4被认为是质数)这样

 

 

如果N是任意整数,则每个数

 

 

对于j=1,2,。。,那么k是一个素数τ(N)=k1M、 这个有效地排除了求整数N的可能性这张表格的τ(N)=0时,因为k素数的和显然总是大于k1不过,这本身就是一个有趣的结果。

 

这个提出了一些有趣的问题:对于任何固定的素数集{p1,p2,…,pk},是否有无穷多的N给出(N)的所有素数值 pj)/(pj+1) 对于j=1,2,。。,是吗?而且,所有的负值都是τ成员这种类型的家庭?第二个问题的答案是否定的,因为大多数τ为负的整数显然不是这样形式。例如,第一次出现负τ是τ(239)=-21,其中有一组“m值”

 

 

因此239是整数N的一个例子,使得(N2) /3,(N3) /4。。。,(N)11) /12都是素数(不存在其他m值)。对于任何这样的人整数,我们有

 

 

哪一个减少到

 

通知如果N=2759,则2) /3。。。,(N)11) /12是质数,那么它就会τ=0。事实上(2759年)2) /3个和(2759)11) /12都是素数,但其余条件都是不满足,所以τ(2759)不等于零。但是,没有好像有先验的为什么这样的事情不能最终发生在某个N上,τ为零。

 

返回平等的家庭τ值,我已经确定了大多数家庭τ的持续小负值。这些对应于以下几组素数(同样将4作为素数处理):

 

006图15

 

系列用G和H定义:在上一节中,迭代函数Gk(n) 和Hk(n) 我们也讨论了基于连续对数h的相似函数k(十)还有gk(x) 一。在每种情况下,我们都可以考虑这些单调函数。例如,我们定义

 

 

这个g的对应函数k(x) 求逆和与质数增长速度大致相同的数量,i、 e.两个连续值y和y之间的间隙+Δy在序列是ln(y)。在此基础上我们推测

 

 

分流(尽管很慢)。然而,Gk很快足以得出一个收敛的和。有趣的是,对于任何给定的整数顺序Gk(n) 跟踪一组单调递增的整数,并且这个“路径”在不同的点被其他的连接起来“路径”。两条路径连接的点正是两个整数m,n的出现使得G(m)=G(n)(正如我们所说可见,对应于H(N)=H(M)的解族。同样多条路径连接的点对应于高阶解集。

 

很明显,如果两个整数n和m在这个意义上是“连通的”它们位于最终会合的G-路径上θ(n) θ(m)是有理数。都是G路径最终连接?看来分开的线的数量增长非常缓慢(如log(x))。

 

这个功能

 

会聚很快,它有一个有趣的特性

 

 

产品

 

对称的功能:尽管ξ(n)函数是一个整数值函数具有可加性,也可与n作为组成素数的基本对称函数。这个建议考虑其他基本对称函数质数。我们可以用ξ表示j(n) j的所有乘积之和当然,这些量只是系数(直到符号)的根是n的素因子的一元多项式的。

 

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