零件5：其他相关结果

广义加法函数: 在ξ（n）的定义中，我们对任何整数x和y的可加性

是满意的。如果我们放宽这一要求，使其仅具有可加性需要应用于任意两个余素整数x和y，然后稍微大一点函数族是可能的。这些函数必须满足f（1）=0并且

哪里g和f是任何积分值函数，不一定是线性函数。如果，作为之前，我们设置f（p_我)=p_我，然后定义g（a，p）=一^米对于某个固定整数m，我们有一个加法族功能

因此，ρ₀（N） 是N的不同素因子之和，ρ₁（N）=ξ（N）是所有素因子的总和。举例说明，对于N=（2）²(3)=12我们有

ρ₀(12) = 2⁰(2)+1个⁰(3) = 5

ρ₁(12) = 2¹(2)+1个¹（3） =7

ρ₂(12) = 2²(2)+1个²(3) = 11

这个这个家族中唯一完全可加的成员是ρ₁.如果N为无平方，意味着素因式分解中的所有指数都是1，我们有ρ_k个（N） =ρ₀（N） 对于所有k。因此，任何ρ的解集₁由无平方整数组成也是每个ρ的解集_k个功能。

这个G形密度: 有趣的是，形式为n+ξ（n）的表示总数对于所有小于或等于n的整数n，紧跟小于或等于N的复合整数的数目。设c（N）表示小于或等于N的复合材料数量，我们有

通知对于每个素数p，我们有p+ξ（p）=2p，这意味着大于N/2的素数有助于求和。另一方面，所有小于N/2的整数，素数和复合数，都有助于求和。因此，为了使前面的近似值成立小于N/2的素数必须近似等于“排除”数复合材料”大于N/2。换句话说，如果w（x）表示整数k小于x且k+ξ（k）>x的数量，则π（x）~w（2倍）。表7给予“新的最大”错误”，无论是正面还是负面，对于所有达到2000000的m。这是绘制的如下图所示。

这个下图显示ln（x）的图²/w（x）与“错误”|w（x）−π（x/2）|。

这个数字表明

A类相关观察与“共轭”函数有关

我们将表示为的价显然对于每个素数p

所以由此可见

如果我们把在k上代表所有人我们发现从1到N的整数k

这个这意味着，由于这些价中没有质数复合材料k大于x，因此k− ξ（k） <x必须近似等于小于x的素数。

在总之，我们找到了π（x）的两个近似值：

π（x）~复合材料的数量k小于2x，使得k+ξ（k）>2x

π（x）~复合材料的数量k大于x，使得kξ（k）<x

两者都有π（x）的这些近似值中，有一个是根据范围从x到2x。第一个统计此范围内的复合材料数量当它们的素因子之和相加时，就超出了范围。第二个计算此范围内的复合材料数量，当总和减去它们的主因子，就不在这个范围内了。表9提供了价态统计所有m以上至100。

每n=p−2形式的整数-at的价至少1，因为是整数2p。这与以下事实类似：m=2p形式的整数的G-价至少为1，因为整数p。

否定τ（m）值: 回想一下第4节，给定一组整数{m₁，米₂,..,米_k个}对于任何给定的N，例如m_j个+ξ（mj）=N，函数τ（N）定义为

它注意到τ（N）几乎对所有N都是正值，平均值τ（N）随N的增加而增加。事实上，对于τ（N）似乎对于任何x都有一个整数k，因此τ（N）>x表示所有N>k。然而，对于少量整数N，该值τ（N）的值为消极的.第一个这样的值（只有一个较小的值大于500）为239，其中τ（239）=−21。表8列出的唯一其他引用m小于200万时为负τ（m）。

自τ（c）=c−∑ξ（n_我)可以是无论是正值还是负值，很自然会怀疑它是否曾经为零，给出b=1n中没有公共因子_我，这意味着存在一组素数的s_我构成自然分隔没有必要用“惰性”来增加集合S素数。表8没有提供这种现象的例子。τ（N）未知=0表示任意整数N，但我们可以对τ（N）的行为对任何此类N施加了严格约束。

贾德Mccranie对10以内的整数进行了数字检查⁹没有发现病例τ=0，但他确实继续发现偶尔的整数τ的负值相对较小。（他总共发现了大约2000个。）有趣的是，只有一组特定的负值会出现，而这些值会出现重复。例如，我们在这个范围内有以下15个整数τ（N）=−29：

它不难看出，这是某些因素存在的结果将1分为埃及单位分数。假设我们能找到一个整数N，使以下五个数字中的每一个都是质数：

它m+ξ（m）=N，其中m是五个数字2a、3b中的任意一个，4c、5d、19e。如果此N不存在其他“m值”，则τ（N）=−29。

什么这组数字{2,3,4,5,19}有什么特别之处吗？记住，根据定义τ（牛顿）我们有

替换上述a、b、c、d、e和分隔项的表达式

这个第一个括号中的单位分数之和为1第二个括号中的补码分数是4，得出结果τ（N）=−29独立于N。所以古埃及分数起着这一现象的重要部分。除−29以外的其他数字也可以使用此功能我们需要找到另一个不同单位分数总和为1的总和，分母都大于素数1（素数为4因为ξ（4）=4）。假设我们有一组k个不同的素数{p₁，第页₂,...第页_k个}（再次允许将4视为素数），以便

和

它如果N是任意整数，则每个数字

对于j=1,2，。。，那么k是素数τ（N）=k−1−M有效地排除了寻找整数N的可能性此表单的τ（N）=0，因为k素数之和显然总是大于k−1。然而，这本身就是一个有趣的结果。

这个提出了一些有趣的问题：对于任何固定的素数集{p1，p2，..，pk}，是否有无穷多的N给出了（N）的所有素数值− 第页_j个)/（第页_j个+1） 对于j=1,2，。。，克？此外，是否所有的负值τ构件这种类型的家庭？第二个问题的答案是否定的，因为大多数τ为负的整数显然不是这样的例如，负τ的第一次出现是τ（239）=-21，具有一组“m值”

因此239是整数N的一个例子，这样（N−2）/3，（N−3）/4。。。，（N−11）/12都是质数（不存在其他m值）。对于任何此类整数，我们有

哪一个减少到

通知如果N=2759，则（N−2）/3。。。，（N−11）/12为素数，那么它就会给出τ = 0. 实际上，（2759−2）/3和（2759−11）/12都是素数，但其余条件是不满足，因此τ（2759）不等于零。然而，没有似乎有先验的为什么像这样的东西不能最终发生在某个N上，τ为零。

返回致平等家庭τ值，我已经确定了大多数τ的持续小负值。这些对应于以下几组素数（再次将4视为素数）：

系列定义为G和H：在上一节中，迭代功能G_k个（n） 和H_k个（n） 定义了，我们还讨论基于连续对数h的相似函数_k个（x）和g_k个（x） ●●●●。在每种情况下，我们都可以考虑这些单调函数。例如，我们定义

这个g的对应函数_k个（x） 给出了以与素数大致相同的速率增长的量，即两个连续值y和y之间的间隙+Δ中的y序列是ln（y）。在此基础上，我们推测

发散（尽管速度很慢）。然而，G的增长率_k个速度很快足以给出收敛和。有趣的是，对于任何给定的整数n序列G_k个（n） 跟踪一组单调递增的整数，此“路径”在不同点由其他“路径”。两条路径连接的点正是两个整数m，n的出现，使得G（m）=G（n）参见，对应于H（N）=H（M）的解族）。类似地多条路径连接的点对应于高阶解集。

它很明显，如果两个整数n和m在意义上是“连接的”它们位于最终连接的G路径上，然后θ（n）− θ（m）是有理的。都是吗G-paths最终连接？分离股的数量增长非常缓慢（如log（x））。

这个功能

收敛非常迅速，而且它有一个有趣的特性

和产品

对称的功能：尽管ξ（n）函数作为整数值函数引入也可以认为它具有加性性质，以及n作为构成素数的基本对称函数。这个建议考虑这些函数的其他基本对称函数素数。我们可以用ξ表示_j个（n） j的所有乘积之和n的素因子。当然，这些量只是系数多项式的根是n的素因子。

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