解决方案三元组: 三个不同整数{M，N，T}的集合，使得Mξ（M）=Nξ（N）=Tξ（T）将被称为溶液三重.我们可以分为三部分这样的整数变成七个共素因子a，b，。.，g，如图所示第1a条。

006图9

显然，每一对{M，N}，{M，T}，和{N，T}都是一个解对。考虑到对{M，N}我们注意到gcd（M，N）=eg，所以这对的解核是ad，bf。根据命题2，我们有

扩大左边的加法属性给出

类似地解对{N，T}导致条件

这个最后两个方程之间的差异给出了一个必要和充分的{M，N，T}为解三元组的条件：

一个搜索此类三元组的方法是生成解决方案列表（对）然后一次检查两对核，以确定它们是否满足（4）。然而，每组解决方案对实际上对应于两个可能的解决方案为三倍。考虑三对{M，N}，{M，T}和{N，T}如图1a所示。对应于这些对的内核是{ad，bf}，{ae，cf}，}be，cd}。现在考虑三对{M′，N′}，{M′，T′}和{N′，T’}如图1b所示。这个这些对的核是{bf、ad}、{cf、ae}和{cd、be}，它们是相同的尽管{M，N，T}和{M′，N′，T′}是截然不同的。发生这种情况是因为存在组件排列a、 b、，。.，f保持成对内核不变（除了组件被转置）。具体来说，由三个换位

生产具有相同成对内核的新三元组。我们将这两个三元组称为双重的彼此之间。

鉴于两个解核{u，v}和{r，s}，我们可以进行赋值

和然后计算各个分量，如下所示

如果这些分量满足（4），然后我们称之为整数a，b，。.，f是三元组内核。然后我们可以用（3）计算ξ（g）。对于任何具有此值的gξ（g）的整数M=adeg，N=bfeg，T=cdfg构成一个解三倍的。

在另一方面，给定相同的解对{u，v}和{r，s}，我们可以同样出色地完成任务

在里面在哪种情况下，单个组件由以下公式给出

如果这些分量满足（4），然后整数M′，N′，T′为图1b中定义的是解决方案三元组。举个例子，考虑这两个解对{12,11}和{22,19}。如果我们做作业

然后我们有组件

哪一个给出了三个整数（根据图1a）

这些数字不构成解决方案三元组，因为组件无法满足方程（4）。然而，这个三元组的“双重”给出了组件

顺从的三个整数

哪一个满足g定义为ξ（g）的解三元组的要求= 18.

显然用这种方法可以找到任意数量的三核函数。表4包含几种可以由表1，但正在评估在每种情况下，只有两种可能的排列中的一种，所以列表是不完整。最小的三重解是

哪一个基于内核

拿g=21。

我们观察到表4最多只有a、b、c>中的一个1.此外，这六个整数

构成三核当且仅当u，v和u，w（允许换位）是q（u，v）=q（u、w）的双核。

较高的订购解决方案集: 类似地，我们可以确定4个整数A、B、C、D的集合，这样

Aξ（A）=Bξ（B）=Cξ（C）=Dξ（D）

和表4提供了几个示例。其中一个4解决方案包括整数

哪一个满足等式

扩展的表4并给出了5种解决方案的示例。如果我们定义

然后是整数

对于ξ（k）=52的任何k构成一个5解。这相当于素数集

S={2,2,3,5,11,17,19,29,59,71,89}

包含5个不同的子集₁，秒₂, ...，s₅这样的话

哪里

如果我们将素数47和另一个5加到S上，然后在上面的方程中加上52消失了。然而，在某种意义上，素数5和47是设置。（我们稍后会考虑是否存在不含惰性元素的此类装置。）

我们可能会取消S的元素是素数的限制，取而代之搜索通用整数集，以便

A类进一步的推广是允许常数为负。子集_我可以或不可以分离和覆盖（如前所述示例）。

发现k阶解集：命题4指出{m，n}构成解核当且仅当数量

是一个正整数。这可以重写为

哪一个仅当且仅当

（因为我们可以展开ξ函数并从两边减去ξ（q））。因此，对于任意两个整数M和N，M+ξ（M）=N+ξ和gcd（M，N）=q，其中q是任何正整数，整数M/q和N/q构成一个解决方案内核。

这个可以立即推广到k个元素的解集。对于任何正整数c让χ（c）表示整数n的数量，从而n+ξ（n）=c。（这称为原子价函数G）此外，让τ（c）表示c减去该组n个值ξ（n）的总和。那么，给定这组k个整数n₁，个₂, ...，n_k个这样的话

我们可以构造一组整数N₁，N个₂, ..，N_k个这样的话

通过拿

哪里数量u_j个和s由定义

和ξ^-¹表示逆ξ函数。因此，N的表达式中的右侧因子_j个是一个整数b，如ξ（b）=τ（c）+ξ（s）。（一般来说函数ξ^-¹是多值。)这就要求τ（c）+ξ（s）为正。

因此，χ（c）=k的每个整数cτ（c）+ξ（s）>0对应于k个元素的解决方案集。据推测反之亦然，即k个元素的每个解集都是与χ（c）等于（或更大）的整数c相关k。χ（c）和τ（c_我对于每个1到100之间的整数c列在表5.

它是考虑一个例子很有用。第一个“三重”进入表4由定义价值观

这个给出了解的三元组族

哪里g=ξ^-¹(165).这个也一样三元组在扩展的表5其中，对于c=216，我们发现

哪一个给予

和

s=gcd（38000、39000、37050）=50

注意ξ（s）=12，我们看到这给出了相同的解族上表中的三元组。

讨论：我们可以简单地将s从三个整数（n）中分解出来₁n个₂),（n）₁n个_三)，（n₂n个_三)并断言解三元组{760q，780q，741q}，其中现在q=50ξ^-¹(153).这些q值是g=ξ值的子集^-¹(165).然而，它们不构成完整集，因为有整数g其中ξ（g）=165，但不可被50整除。例如，g=(163)(2).这是因为逆ξ的非唯一性功能。