解决方案三倍: 由三个不同的整数{M，N，T}组成的集合，使得Mξ（M）=Nξ（N）=Tξ（T）称为a解决方案三我们可以分成三部分把这些整数分成七个辅素因子a，b，。。，如图所示1a。

006图9

很明显，对{M，N}，{M，T}，和{N，T}中的每一个都是一个解对。考虑到对{M，N}我们注意到gcd（M，N）=eg，所以这对的解的核心是广告，男朋友。根据2号提案

扩大加性属性的左边给出了

同样解对{N，T}导致条件

这个最后两个方程之间的差给出了一个充要条件{M，N，T}为三解的条件：

一搜索这三元组的方法是生成一个解（对）列表然后一次检查两对，以确定它们是否满足（4）。然而，每组解对实际上对应于两个可能的解决方案是原来的三倍。考虑三对{M，N}，{M，T}，和{N，T}如图1a所示。对应于这些对的核是{ad，bf}，{ae，cf}，{be，cd}。现在考虑三对{M′，N′}，{M′，T′}和{N′，T′}如图1b所示。这个这些对的核是{bf，ad}，{cf，ae}，和{cd，be}，它们是相同的尽管{M，N，T}和{M′，N′，T}的成对核是不同的。发生这种情况是因为组件有排列a、 b，。。，这使得成对核保持不变（除了组件被转置）。具体地说，排列包括三次换位

生产一个新的三元组有相同的成对核。我们把这两个三元组称为双重的彼此之间。

鉴于两个解核{u，v}和{r，s}，我们可以进行赋值

和然后计算各个分量，如下所示

如果这些分量满足（4），我们称之为整数a，b，。。，三人组内核。我们可以用（3）来计算ξ（g）。对于任何有这个值的gξ（g）的整数M=adeg，N=bfeg，T=cdfg构成解三倍的。

打开另一方面，给定相同的解对{u，v}和{r，s}，我们可以同样做好作业

在里面在哪种情况下，单个组件由

如果这些分量满足（4），则整数M′，N′，T′as图1b中定义了一个解决方案三元组。作为一个例子，考虑这两个解对{12,11}和{22,19}。如果我们完成任务

然后我们有组件

哪一个给出三个整数（根据图1a）

这些数字不构成三重解，因为组成部分不能满足方程（4）。然而，这三重结构的“双重性”使组件

顺从的三个整数

哪一个满足解三元组的要求，其中g定义为ξ（g）=18。

显然用这种方法可以找到任意数量的三重核。表4包含有几种可以从表1，但正在评估在每种情况下，只有两种可能的排列中的一种，所以列表是不完整。最小的三重解是

哪一个是基于内核的

拿g=21。

我们请注意，中列出的大多数内核表4最多只能有a、b、c中的一个1.另外，看起来这六个整数

构成三重核当且仅当u，v和u，w（允许换位）是双核函数，q（u，v）=q（u，w）。

较高的排序解决方案集: 类似地，我们可以确定4个整数集A，B，C，D

Aξ（A）=Bξ（B）=Cξ（C）=Dξ（D）

和表4提供了几个示例。其中一个4-解决方案包括整数

哪一个满足平等

扩展的表4并给出了5-解的例子。如果我们定义

然后是整数

对于使ξ（k）=52的任何k构成5-解。这相当于质数集

S={2,2,3,5,11,17,19,29,59,71,89}

包含5个不同的子集₁，秒₂, ..., s₅就这样

哪里

如果我们把质数47和另外5加在S上，然后在上面的等式中加上52消失了。然而，在某种意义上，质数5和47是设置。（我们稍后会考虑是否存在没有惰性元素的此类集合。）

我们可能会取消S的元素是素数的限制，而是搜索一般整数集，以便

A进一步的推广是允许常数为负。子集s_我可能或不可能是不相交和覆盖的（如前所述示例）。

发现k阶解集：命题4指出{m，n}构成一个解核当且仅当数量

是正整数。这可以在表单中重写

哪一个当且仅当

（因为我们可以展开ξ函数并从两边减去ξ（q）。对于任意两个整数M和N，M+ξ（M）=N+ξ（N）gcd（M，N）=q，其中q是任何正整数，整数M/q和N/q构成解核。

这个可以立即推广到k元的解集。对于任何人正整数c让χ（c）表示整数n的个数，使得n+ξ（n）=c.（这称为原子价函数G.）还有，让τ（c）表示c减去这组n个值的ξ（n）的和。那么，给定这组k个整数n₁，n₂, ..., n_k就这样

我们可以构造一组整数N₁，N₂, ..,N_k就这样

通过拿

哪里数量u_j和s的定义是

和ξ^-¹表示反ξ函数。因此，N的表达式中的右手因子_j是整数b，如ξ（b）=τ（c）+ξ（s）。（一般来说函数ξ^-¹是多值。）这就要求τ（c）+ξ（s）为正。

因此，χ（c）=k的每个整数cτ（c）+ξ（s）>0对应于k个元素的解集。据推测反之亦然，即k元素的每个解集都是与χ（c）等于（或更大）的整数c相关联than）k。χ（c）和τ（c）的值以及n_我为每一个中列出了从1到100的整数c表5.

它是考虑一个例子很有用。第一个“三重唱”表4定义为价值观

这个给出了解族的三倍解

哪里g=ξ^-¹（165页）。同样的三元组在表5式中，对于c=216，我们发现

哪一个给予

和

s=gcd（38000、39000、37050）=50

注意ξ（s）=12，我们看到这给出了相同的解族如前表所示的三倍。

讨论：我们可以只需将s从三个整数（n₁n₂),（n）₁n_三)，（n）₂n_三)并断言解三元组{760q，780q，741q}其中q=50ξ^-¹（153）。这些q值是g=ξ值的子集^-¹（165页）。然而，它们不构成完整的集合，因为有整数g代表其中ξ（g）=165，但不能被50整除。例如，g=（163）（2）。这是因为反ξ的非唯一性功能。