零件4: 高阶解

 

解决方案三倍由三个不同的整数{M,N,T}组成的集合,使得Mξ(M)=Nξ(N)=Tξ(T)称为a解决方案三我们可以分成三部分把这些整数分成七个辅素因子a,b,。。,如图所示1a。

 

006图9

 

很明显,对{M,N},{M,T},和{N,T}中的每一个都是一个解对。考虑到对{M,N}我们注意到gcd(M,N)=eg,所以这对的解的核心是广告,男朋友。根据2号提案

 

 

扩大加性属性的左边给出了

 

 

同样解对{N,T}导致条件

 

 

这个最后两个方程之间的差给出了一个充要条件{M,N,T}为三解的条件:

 

 

搜索这三元组的方法是生成一个解(对)列表然后一次检查两对,以确定它们是否满足(4)。然而,每组解对实际上对应于两个可能的解决方案是原来的三倍。考虑三对{M,N},{M,T},和{N,T}如图1a所示。对应于这些对的核是{ad,bf},{ae,cf},{be,cd}。现在考虑三对{M′,N′},{M′,T′}和{N′,T′}如图1b所示。这个这些对的核是{bf,ad},{cf,ae},和{cd,be},它们是相同的尽管{M,N,T}和{M′,N′,T}的成对核是不同的。发生这种情况是因为组件有排列a、 b,。。,这使得成对核保持不变(除了组件被转置)。具体地说,排列包括三次换位

 

 

生产一个新的三元组有相同的成对核。我们把这两个三元组称为双重的彼此之间。

 

鉴于两个解核{u,v}和{r,s},我们可以进行赋值

 

 

然后计算各个分量,如下所示

 

 

如果这些分量满足(4),我们称之为整数a,b,。。,三人组内核。我们可以用(3)来计算ξ(g)。对于任何有这个值的gξ(g)的整数M=adeg,N=bfeg,T=cdfg构成解三倍的。

 

打开另一方面,给定相同的解对{u,v}和{r,s},我们可以同样做好作业

 

 

在里面在哪种情况下,单个组件由

 

 

如果这些分量满足(4),则整数M′,N′,T′as图1b中定义了一个解决方案三元组。作为一个例子,考虑这两个解对{12,11}和{22,19}。如果我们完成任务

 

 

然后我们有组件

 

 

哪一个给出三个整数(根据图1a)

 

 

这些数字不构成三重解,因为组成部分不能满足方程(4)。然而,这三重结构的“双重性”使组件

 

 

顺从的三个整数

 

 

哪一个满足解三元组的要求,其中g定义为ξ(g)=18。

 

显然用这种方法可以找到任意数量的三重核。表4包含有几种可以从表1,但正在评估在每种情况下,只有两种可能的排列中的一种,所以列表是不完整。最小的三重解是

 

 

哪一个是基于内核的

 

 

g=21。

 

我们请注意,中列出的大多数内核表4最多只能有a、b、c中的一个1.另外,看起来这六个整数

 

 

构成三重核当且仅当u,v和u,w(允许换位)是双核函数,q(u,v)=q(u,w)。

 

较高的排序解决方案集类似地,我们可以确定4个整数集A,B,C,D

 

Aξ(A)=Bξ(B)=Cξ(C)=Dξ(D)

 

表4提供了几个示例。其中一个4-解决方案包括整数

 

 

哪一个满足平等

 

 

扩展的表4并给出了5-解的例子。如果我们定义

 

 

然后是整数

 

 

对于使ξ(k)=52的任何k构成5-解。这相当于质数集

 

S={2,2,3,5,11,17,19,29,59,71,89}

 

包含5个不同的子集1,秒2, ..., s5就这样

 

 

哪里

 

 

如果我们把质数47和另外5加在S上,然后在上面的等式中加上52消失了。然而,在某种意义上,质数5和47是设置。(我们稍后会考虑是否存在没有惰性元素的此类集合。)

 

我们可能会取消S的元素是素数的限制,而是搜索一般整数集,以便

 

 

A进一步的推广是允许常数为负。子集s可能或不可能是不相交和覆盖的(如前所述示例)。

 

发现k阶解集:命题4指出{m,n}构成一个解核当且仅当数量

 

 

正整数。这可以在表单中重写

 

 

哪一个当且仅当

 

 

(因为我们可以展开ξ函数并从两边减去ξ(q)。对于任意两个整数M和N,M+ξ(M)=N+ξ(N)gcd(M,N)=q,其中q是任何正整数,整数M/q和N/q构成解核。

 

这个可以立即推广到k元的解集。对于任何人正整数c让χ(c)表示整数n的个数,使得n+ξ(n)=c.(这称为原子价函数G.)还有,让τ(c)表示c减去这组n个值的ξ(n)的和。那么,给定这组k个整数n1,n2, ..., nk就这样

 

 

我们可以构造一组整数N1,N2, ..,Nk就这样

 

 

通过

 

哪里数量uj和s的定义是

 

 

ξ-1表示反ξ函数。因此,N的表达式中的右手因子j是整数b,如ξ(b)=τ(c)+ξ(s)。(一般来说函数ξ-1多值。)这就要求τ(c)+ξ(s)为正。

 

因此,χ(c)=k的每个整数cτ(c)+ξ(s)>0对应于k个元素的解集。据推测反之亦然,即k元素的每个解集都是与χ(c)等于(或更大)的整数c相关联than)k。χ(c)和τ(c)的值以及n为每一个中列出了从1到100的整数c表5.

 

它是考虑一个例子很有用。第一个“三重唱”表4定义为价值观

 

 

这个给出了解族的三倍解

 

 

哪里g=ξ-1(165页)。同样的三元组在表5式中,对于c=216,我们发现

 

 

哪一个给予

 

 

s=gcd(38000、39000、37050)=50

 

注意ξ(s)=12,我们看到这给出了相同的解族如前表所示的三倍。

 

讨论:我们可以只需将s从三个整数(n1n2),(n)1n),(n)2n)并断言解三元组{760q,780q,741q}其中q=50ξ-1(153)。这些q值是g=ξ值的子集-1(165页)。然而,它们不构成完整的集合,因为有整数g代表其中ξ(g)=165,但不能被50整除。例如,g=(163)(2)。这是因为反ξ的非唯一性功能。

 

非常高阶解集6给出c的前几个值,其中χ(c)等于1,2,..., 24.假设,对于任何给定的正整数k,存在无穷大许多c使得χ(c)=k。最小整数c使得χ(c)=12等于14399。这就产生了12个核,其值为n如下图所示:

 

006图10

 

这种情况下c=14399,ξ(n)的和)是13400,而n没有公因子,所以b是ξ(b)=999的任何整数。

 

这个下一个最小整数c,其中χ(c)=12是15119。对应的n的值具体如下:

 

006图11

 

这种情况下ξ(n)的和)大于c,n没有公因子,所以我们有ξ(b)=2759,这是不满足的对于任何整数b。

 

再举一个非常高阶解集的例子,我们注意到χ(720719)=24,这意味着存在以下24个内核表。

 

006图12

 

这个表中显示τ(720729)=219745,且n因此,我们可以用上面给出的公式构造一个24个解的族。这个这个族中的解的数目等于素数分区的数目在219745年。

 

每个n值在这24种溶液中,溶液的形式是p其中p和q质数是这样的吗

 

 

寻找这些解的有效方法是观察我们可以加1并按如下公式计算得出的方程:

 

 

因此,我们只需要确定两部分乘法分区ab=c+1那个-1和b-1是素数。在本案中我们得到c=720719,所以我们需要检查

 

c+1=720720720=(2)4(三)2(5) (七)(十一)(十三)

 

坎宁安这是n的一个明显的趋势因子是形式p=2q+1,其中q也是素数。具有此性质的素数序列被称为坎宁安链。前两个不寻常的坎宁安连锁店长度为

 

 

如果N=rs对于素数r和s,那么N+ξ(N)=rs+r+s。现在,如果M=pq式中p=2r+1,q=(s-1) /2个(两个素数),那么我们有

 

 

因此,通过将递增序的坎宁安链降序给出N+ξ(N)相同值的整数。例如,具有相等G函数的11个整数的最小集合是

 

006图13

 

这种情况下c=4319,所以ξ(b)=-159,这意味着这个集合不能用来构造一个11内核。然而,这清楚地说明了坎宁安链可用于生成解决方案集。我们也可以解释考虑卷积链的几个三核函数

 

 

是推测,但没有证明,存在任何有限长度,这意味着存在任意大小。

 

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