零件4:高阶解决方案

 

解决方案三元组三个不同整数{M,N,T}的集合,使得Mξ(M)=Nξ(N)=Tξ(T)将被称为溶液三重.我们可以分为三部分这样的整数变成七个共素因子a,b,。.,g,如图所示第1a条。

 

006图9

 

显然,每一对{M,N},{M,T},和{N,T}都是一个解对。考虑到对{M,N}我们注意到gcd(M,N)=eg,所以这对的解核是ad,bf。根据命题2,我们有

 

 

扩大左边的加法属性给出

 

 

类似地解对{N,T}导致条件

 

 

这个最后两个方程之间的差异给出了一个必要和充分的{M,N,T}为解三元组的条件:

 

 

一个搜索此类三元组的方法是生成解决方案列表(对)然后一次检查两对核,以确定它们是否满足(4)。然而,每组解决方案对实际上对应于两个可能的解决方案为三倍。考虑三对{M,N},{M,T}和{N,T}如图1a所示。对应于这些对的内核是{ad,bf},{ae,cf},}be,cd}。现在考虑三对{M′,N′},{M′,T′}和{N′,T’}如图1b所示。这个这些对的核是{bf、ad}、{cf、ae}和{cd、be},它们是相同的尽管{M,N,T}和{M′,N′,T′}是截然不同的。发生这种情况是因为存在组件排列a、 b、,。.,f保持成对内核不变(除了组件被转置)。具体来说,由三个换位

 

 

生产具有相同成对内核的新三元组。我们将这两个三元组称为双重的彼此之间。

 

鉴于两个解核{u,v}和{r,s},我们可以进行赋值

 

 

然后计算各个分量,如下所示

 

 

如果这些分量满足(4),然后我们称之为整数a,b,。.,f是三元组内核。然后我们可以用(3)计算ξ(g)。对于任何具有此值的gξ(g)的整数M=adeg,N=bfeg,T=cdfg构成一个解三倍的。

 

另一方面,给定相同的解对{u,v}和{r,s},我们可以同样出色地完成任务

 

 

在里面在哪种情况下,单个组件由以下公式给出

 

 

如果这些分量满足(4),然后整数M′,N′,T′为图1b中定义的是解决方案三元组。举个例子,考虑这两个解对{12,11}和{22,19}。如果我们做作业

 

 

然后我们有组件

 

 

哪一个给出了三个整数(根据图1a)

 

 

这些数字不构成解决方案三元组,因为组件无法满足方程(4)。然而,这个三元组的“双重”给出了组件

 

 

顺从的三个整数

 

 

哪一个满足g定义为ξ(g)的解三元组的要求= 18.

 

显然用这种方法可以找到任意数量的三核函数。表4包含几种可以由表1,但正在评估在每种情况下,只有两种可能的排列中的一种,所以列表是不完整。最小的三重解是

 

 

哪一个基于内核

 

 

g=21。

 

我们观察到表4最多只有a、b、c>中的一个1.此外,这六个整数

 

 

构成三核当且仅当u,v和u,w(允许换位)是q(u,v)=q(u、w)的双核。

 

较高的订购解决方案集类似地,我们可以确定4个整数A、B、C、D的集合,这样

 

Aξ(A)=Bξ(B)=Cξ(C)=Dξ(D)

 

表4提供了几个示例。其中一个4解决方案包括整数

 

 

哪一个满足等式

 

 

扩展的表4并给出了5种解决方案的示例。如果我们定义

 

 

然后是整数

 

 

对于ξ(k)=52的任何k构成一个5解。这相当于素数集

 

S={2,2,3,5,11,17,19,29,59,71,89}

 

包含5个不同的子集1,秒2, ...,s5这样的话

 

 

哪里

 

 

如果我们将素数47和另一个5加到S上,然后在上面的方程中加上52消失了。然而,在某种意义上,素数5和47是设置。(我们稍后会考虑是否存在不含惰性元素的此类装置。)

 

我们可能会取消S的元素是素数的限制,取而代之搜索通用整数集,以便

 

 

A类进一步的推广是允许常数为负。子集可以或不可以分离和覆盖(如前所述示例)。

 

发现k阶解集:命题4指出{m,n}构成解核当且仅当数量

 

 

一个正整数。这可以重写为

 

 

哪一个仅当且仅当

 

 

(因为我们可以展开ξ函数并从两边减去ξ(q))。因此,对于任意两个整数M和N,M+ξ(M)=N+ξ和gcd(M,N)=q,其中q是任何正整数,整数M/q和N/q构成一个解决方案内核。

 

这个可以立即推广到k个元素的解集。对于任何正整数c让χ(c)表示整数n的数量,从而n+ξ(n)=c。(这称为原子价函数G)此外,让τ(c)表示c减去该组n个值ξ(n)的总和。那么,给定这组k个整数n1,个2, ...,nk个这样的话

 

 

我们可以构造一组整数N1,N个2, ..,Nk个这样的话

 

 

通过

 

哪里数量uj个和s由定义

 

 

ξ-1表示逆ξ函数。因此,N的表达式中的右侧因子j个是一个整数b,如ξ(b)=τ(c)+ξ(s)。(一般来说函数ξ-1多值。)这就要求τ(c)+ξ(s)为正。

 

因此,χ(c)=k的每个整数cτ(c)+ξ(s)>0对应于k个元素的解决方案集。据推测反之亦然,即k个元素的每个解集都是与χ(c)等于(或更大)的整数c相关k。χ(c)和τ(c对于每个1到100之间的整数c列在表5.

 

它是考虑一个例子很有用。第一个“三重”进入表4由定义价值观

 

 

这个给出了解的三元组族

 

 

哪里g=ξ-1(165).这个也一样三元组在扩展的表5其中,对于c=216,我们发现

 

 

哪一个给予

 

 

s=gcd(38000、39000、37050)=50

 

注意ξ(s)=12,我们看到这给出了相同的解族上表中的三元组。

 

讨论:我们可以简单地将s从三个整数(n)中分解出来1n个2),(n)1n个),(n2n个)并断言解三元组{760q,780q,741q},其中现在q=50ξ-1(153).这些q值是g=ξ值的子集-1(165).然而,它们不构成完整集,因为有整数g其中ξ(g)=165,但不可被50整除。例如,g=(163)(2).这是因为逆ξ的非唯一性功能。

 

非常高阶解决方案集6给出了χ(c)等于1、2、3的c的前几个值,..., 24.假设,对于任何给定的正整数k,都有无穷多个使χ(c)=k的多个c。使χ=12等于14399。这将导致具有n值的12核如下所示:

 

006图10

 

这种情况下c=14399,ξ(n)是13400,n没有公因数,所以b是ξ(b)=999的任何整数。

 

这个χ(c)=12的次小整数c是15119。相应的n的值如下所示

 

006图11

 

这种情况下ξ(n)的和)大于c,且n没有公因数,所以ξ(b)=2759,这是不满足的对于任何整数b。

 

收件人再举一个非常高阶解集的例子,我们注意到χ(720719)=24,这意味着存在如下所示的24内核表。

 

006图12

 

这个表中显示τ(720729)=219745,n中没有常见因素。因此,我们可以使用上述公式构造24个解的族。这个这个系列中的解的数量等于素数分区的数量第219745页。

 

每个n的值在这个24的解决方案中是p形式q个其中p和q素数是这样的

 

 

搜索此类解的有效方法是观察到我们可以加1并按如下公式计算得出的方程式:

 

 

因此,我们只需要确定这样的两部分乘法分区ab=c+1那是一个-1和b-1是质数。在本案中我们有c=720719,所以我们需要检查以下因素

 

c+1=720720=(2)4(3)2(5)(7)(11)(13)

 

坎宁安是n的明显趋势因子是的素数形式p=2q+1,其中q也是素数。具有此性质的素数序列被称为坎宁安链。前两条坎宁安链长度为

 

 

如果N=素数r和s的rs,则N+ξ(N)=rs+r+s。现在,如果M=pq其中p=2r+1和q=(s-1)/2(两个素数),那么我们有

 

 

因此,通过将坎宁安链按递增顺序乘以降序给出具有相同N+ξ(N)值的整数。对于例如,具有相等G函数的11个整数的最小集为

 

006图13

 

这种情况下c=4319,所以ξ(b)=-159,这意味着这个集合不能用于构造11个内核。然而,这清楚地说明了坎宁安链可用于生成解决方案集。我们也可以解释考虑卷积链的几个三核函数

 

 

推测但未证明存在任何形式的坎宁安链有限长度,这意味着存在任意解集大小。

 

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