零件3: 迭代函数

 

鉴于任意两个二进制运算a(x,y)和b(x,y),假设有一个函数f就这样

 

 

任何一组这样的函数,定义辅助函数

 

 

它是很容易看出u和v是“共轭体”,在这个意义上

 

 

稍微不那么明显的事实是u(x)和v(x)的第n个组成部分由un(x) 和vn(x) 分别也是共轭物,即。,

 

 

这个恒等式有时在简化计算时很有用。为了说明,考虑a(x,y)=xy,b(x,y)=x+y,f(x)=ln(x)的情况。在这里辅助功能有

 

 

初始x值为10时,u(x)的前几次迭代为

 

10.000000,23.025851,72.223287,309.098522

 

开始初始x值f(10)=2.302585 v(x)的前几次迭代

 

2.302585,3.136617,4.279762,5.733660

 

比较这些迭代序列,我们看到函数f从一映射到其他。例如,我们有f(309.098522)=5.733660。更一般地说,如果我们取f(x)=对数b(x) 对于任何基b,并定义辅助项功能

 

 

然后这些函数的第n次迭代,用u表示n(x) 和vn(x) 你说,由方程式关联

 

 

这个对数有唯一的逆(尽管对数本身是多值的否定论点),所以这允许我们给你n(x) 明确地v的术语n(日志b(x) )作为

 

 

一般来说,任何具有“加法规则”的函数f(x)都可以是适应这个过程。下面总结了几个例子。

 

 

 

 

 

这个该方法也适用于加法数论函数。举例来说,考虑一下这个案例

 

 

哪里ξ(x)是“素因子之和”函数。在这种情况下辅助的

功能

 

 

开始初始值为10时,H的前几次迭代为

 

10、70、980、22540、1036840

 

开始当初始值ξ(10)=7时,G的前几次迭代给出

 

7、14、23、46、71

 

我们可以证明ξ(1036840)=71。

 

命题12: 让Hn(N) 还有Gn(N) 表示第N次迭代函数H(N)=Nξ(N)和G(N)=N+ξ(N),我们有

 

 

对于任意整数m。

 

证据:很容易归纳表明

 

 

对于任何整数a。现在假设

 

 

那么我们有

 

 

这个方括号内的数量等于Gk(ξ(m)),如有可能在G的早期表达式中设置a=ξ(m)k(a) 你说,所以证明是通过归纳法完成的。

 

推论12-1号: 对于任何非负整数n和m,我们都有

 

 

证据:由我们有12号提案

 

 

结合这两个方程给出了

 

 

重新排列条件给予

 

 

这个右边等于0,所以左边也等于0非负整数k。

 

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