第1部分:定义和基本命题

 

实值函数f中的对数f(x)=任何正实数基b的logb(x)唯一拥有添加剂财产

 

 

对于如果我们把注意力集中在正整数,那么分析函数必须满足f(1)=0

 

 

我们是可以任意定义素数参数的f值。如果我们设置f(p))=p对于每个质数p那么f(N)是N的素因子之和。以后我们用ξ(N)来表示这个函数。例如ξ(12)=2+2+3=7。它的前几个值功能如下表所示。

 

006图4

 

这个注主要集中在不同整数对M,N上,使得Mξ(M)=Nξ(N)。我们经常利用ξ(N)这一显而易见的事实N、 这是下面给出的更强烈的不平等的结果引理。

 

引理1如果正整数N是k素数的乘积(不一定distinct)然后

 

 

也,我们有等式ξ(N)=N当且仅当N等于4或一个素数。(上述表达式中的左手关系也是N的等式=1.)

 

证据:的右手关系可以改写为

 

 

因为2kN、 这种关系源自

 

 

哪一个简化为k2k1,对所有整数都适用k(k=1或2的等式)。证明引理,注意,根据定义,ξ(1)=0和ξ(N)=N,如果N是a通过检验,这两种情况都满足引理,所以包括k=0和k=1的情况。如果N是复合的(即k>1),则有正整数a,b,使得ab=N且ξ(N)=ξ(a)+ξ(b)和1<a,b<N。让正整数k,k,kb分别表示N,a,b的素数,所以k=k+kb如果我们假设N是引理的最小整数不成立,那么引理对较小的整数a,b成立,所以我们

 

 

因此,

 

重新安排条件,这给了

 

 

因为,如下所示产品以及是一个小于N的正数,所以如果我们在上面的表达式中省略这个乘积,那么这个关系就被保留了,这就引出了有待证明的关系。

 

命题1如果Mξ(M)=Nξ(N),则gcd(M,N)>1。

 

证据:假设gcd(M,N)=1。然后N除ξ(M),M除ξ(N)。使用引理1这意味着M ξ(N) N和N ξ(M) M、 只有当M=N、 与M和N是共素的假设相矛盾。

 

命题2在不同整数M,N中满足等式Mξ(M)=Nξ(N)当且仅当

 

 

哪里m=m/gcd(m,N)和N=N/gcd(m,N)。

 

证据:基本等式可以写成

 

 

划分两边用gcd(M,N)和用加法展开ξ函数财产给予

 

 

解决因为ξ(gcd(M,N))给出了期望的结果。不等式ξ(gcd(M,N))>1来自命题1和ξ(k)>1的事实k>1(因为k必须至少被一个素数整除2) 一。

 

讨论:命题2证明了求不同整数M,N使Mξ(M)=Nξ(N)我们只需要找到两个余素数m和n,这样数量

 

 

大于1的整数。则M=km和N=kn满足要求任何k的等式,使得ξ(k)等于Q(m,n)。例如,因为Q(13,18)=5,整数M=13k和N=18k构成使ξ(k)=5的任意整数k。这导致了两个解决方案对:

 

 

一般来说,对于任意两个余素正整数m,n,使得Q(m,n)是大于1的整数,存在一个与每个素数分隔Q(m,n)的。我们将这些对m,n称为“解核”,采用m<n的约定,很明显任意两个不同核的解对集是不相交的,因为任何两个整数M,N都有一个唯一的gcd。

 

表1列出所有n<100的溶液核。最小解对基于核13,18,gcd(M,N)=5,得到解对65,90。

 

在下一个演示中缩短表达式我们定义函数H(n)=nξ(n),用它我们陈述了以下引理。

 

引理2对于任何正整数u,v我们都有

 

 

证据:证据是直接因为

 

 

哪一个被展示出来。

 

命题存在无穷多对不同的整数M,N使得Mξ(M)=Nξ(N)。

 

证据:我们证明通过给出一个显式公式来断言对。我们声称对于任何质数p 11价值

 

 

整数,且整数M=kp和N=k(p+1)满足条件H(M)=H(N)。为了证明k是整数,我们只需要证明前面表达式中k的指数2是非负的整数。因为p是奇数,所以p是奇数2H(p+1)3是偶数,所以指数是一个整数。另外,由于p>1是奇数,因此得出p+1不是素数,所以H(p+1)的最大值是2q(q+2),当q=(p+1)/2是质数时发生。因此,k中的指数为大于或等于

 

 

哪一个对每个质数p都是正的11.将函数H应用于上面定义的整数k给出

 

 

添加pH(k)+kH(p+1)两侧,并注意到p2=H(p),我们有

 

 

通过引理2这证明了

 

 

所以我们有一个无限的解序列,这就是我们要展示的。

 

命题4n>8的余素数m,n构成解核if和只有当数量

 

 

正整数。

 

证据:我们证明了这一点通过证明,对于n>8,Q(m,n)是一个大于1当且仅当q(m,n)为正整数。q是整数的事实iff Q是一个整数,它来自于包含身份

 

 

如果q是整数,然后是nm除以ξ(m)ξ(n),其中这意味着它除以了这个方程的整个右手边,所以也分左手边。反之,如果Q是整数,则n除以左手边,所以它必须除以右手项m(ξ(m)) ξ(n)),因为m是对n的共素数也是对n的共素数m、 这证明了n必须除以ξ(m) ξ(n)。

 

我们现在证明如果整数q为正且n>8,则整数q大于1。首先假设(nm) >1。由此可知ξ(m)ξ(n)大于1,因为它可以被n整除m、 我们也有身份

 

 

因为ξ(m)由引理1得到的不等式

 

 

哪一个证明了Q>1如果(nm) >1。如果(nm) =1我们必须允许ξ(m)的可能性ξ(n)=1。在这种情况下,假设首先是m>ξ(m)。因此Q=qmξ(n)>1根据需要。但是,如果m=ξ(m),那么m是素数p,n=p+1。ξ(m)的唯一途径ξ(n)不超过1是如果ξ(n)=ξ(p+1)=p1.由于p是奇数,我们可以把p+1的a 2乘以设ξ(p+1)=ξ((p+1)/2)+2=p因此,p3=ξ((p+1)/2)(p+1)/2(引理1)给出p7等等8

 

相反,如果Q>1,它紧跟在恒等式Q+ξ(n)=mq之后q是正的。

 

腐蚀性4.1对于任何解核m,n,我们有Q(m,n)(n-m)。

 

证据:式11给出Qξ(m)ξ(n),命题3陈述后者为正且可被(n-m)整除。

 

腐蚀性4.2满足关系式M+ξ(M)=N+ξ(N)当且仅当M=mq(m,n)和n=nq(m,n),其中{m,n}是解决方案内核或m=7,n=8。

 

证据:由命题3{m,n}构成解核的充要条件是q(m,n)是a正整数,n>8。通过检查,唯一的另一种情况是当m=7,n=8时,q(m,n)是正整数。因此,这些是确切地说,当我们可以设置gcd(M,N)=q(M,N)来给出解决。

 

引理对于任何正整数N我们都有

 

 

证据:对于任何数量U=ξ(N)N的值可以通过将U划分为u的总和1+美国2+ ... + 美国k,其中uj=一个jpj为了一些好pj指数aj.那么

 

 

因此美国j贡献了一个乘法因子到N。允许pj还有一个j为了获得积极的实际价值,我们有

 

 

这个关于p的导数j设定结果等于零表示最小值出现在p处j=e(基础天然原木)。p的最小值j/ln(pj)为p的整数值jp=3时发生。因此最大贡献nj为每一个uj不能大于if pj=3。相反,任何给定N的U的最小值可以不小于如果N是3的纯幂。

 

提案5:如果Mξ(M)=Nξ(N),其中N>M那么

 

 

哪里n=n/gcd(M,n)。

 

证据:让m=M/gcd(米,N)。从n开始m除以ξ(m)ξ(n)通过命题4,ξ(m)根据引理1,我们有

 

所以

 

划分两边都被n给了

 

 

哪一个导致不平等

 

 

我们通过最小化ξ(n)/n使这个比率最大化结果。

 

讨论:它是比较命题5和另一种解释很有趣。假设我们认为当N有最大值和M的最小值与要求Mξ(M)=Nξ(N)。对于任何整数n我们都有

 

 

通过引理1和3。因此,仅根据ξ(n)的量级范围,我们不能排除Mξ(M)=Nξ(N)与Mξ(M)同时出现的等式=米2Nξ(N)=3N ln(N)/ln(3),这将给出极限比

 

 

哪一个是无界的,与命题5给出的上限2相反。这说明了离散整数的整除性要求函数对解决方案对施加重大限制从连续函数的角度来看是显而易见的。

 

我们已经证明(腐蚀4.1)如果m,n构成溶液核,那么Q(n)m) 一。我们将引用解核m,n使得Q=(n米)作为最大核数,对应的解对M,N as最大解决.

 

命题6如果{m,n}是n>m的极大核,则m是素数。

 

证据:最大值内核的定义是,

 

 

哪一个可以写成

 

 

很明显n必须除以这个方程的右边,但它是m的余素数所以它必须除以mξ(m)。但是,n大于m,所以它是明显大于mξ(m)。因此,n除以mξ(m)当且仅当mξ(m)=0,引理1为真当且仅此如果m是素数或4。

 

命题7n>m和n>8的整数m,n构成一个极大核且仅当m是素数且

 

 

证据:如下所示如果设m,则立即从方程(33)中得出ξ(m)=0,则意味着术语2mξ(n)n在左手边也等于0。

 

讨论表2列出所有n<2000的最大核数,以及表3列出每100个最大解n小于400000的核。让µ(x)表示最大带n的核x、 下图显示了μ(x)到x的曲线图=40万。

 

006图1

 

从图中可以看出μ(x)几乎与x成线性增加,类似于x/2的质数。一种可能的形式是

 

 

腐蚀性7.1如果n,m构成一个极大核,那么n是复合的,并且是幂是至少两个不同因素的乘积。

 

证据:我们有n>m>ξ(n),所以n由引理1合成。现在假设n=pk一些质数p>2。然后我们有了

 

哪一个显然不是质数,与命题7相矛盾。因此,n不能是除2外的单素数幂。

 

腐蚀性7.2如果{n,m}构成极大解核且n=kt对某些人来说正整数k和t,然后是gcd(n,tξ(k))2

 

证据:假设gcd(n,tξ(k))=c>2。然后我们有了

 

 

哪一个显然不是质数。因此,根据命题7,整数{m,n}不是构造一个极大解核。

 

讨论:作为示例在Corrollary 7.2中,我们有最大的2核,n等于立方体(110),(310个),(470),和(494)这些都是根据需要,共充至3。

 

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