实值函数f中的对数f（x）=任何正实数基b的logb（x）唯一拥有添加剂财产

对于如果我们把注意力集中在正整数，那么分析函数必须满足f（1）=0和

我们是可以任意定义素数参数的f值。如果我们设置f（p）_我)=p_我对于每个质数p_我那么f（N）是N的素因子之和。以后我们用ξ（N）来表示这个函数。例如ξ（12）=2+2+3=7。它的前几个值功能如下表所示。

006图4

这个注主要集中在不同整数对M，N上，使得Mξ（M）=Nξ（N）。我们经常利用ξ（N）这一显而易见的事实≤N、这是下面给出的更强烈的不平等的结果引理。

引理1: 如果正整数N是k素数的乘积（不一定distinct）然后

也，我们有等式ξ（N）=N当且仅当N等于4或一个素数。（上述表达式中的左手关系也是N的等式=1.）

证据：的右手关系可以改写为

因为2^k≤ N、这种关系源自

哪一个简化为k≤ 2^k−1，对所有整数都适用k（k=1或2的等式）。证明引理，注意，根据定义，ξ（1）=0和ξ（N）=N，如果N是a通过检验，这两种情况都满足引理，所以包括k=0和k=1的情况。如果N是复合的（即k>1），则有正整数a，b，使得ab=N且ξ（N）=ξ（a）+ξ（b）和1<a，b<N。让正整数k，k_一，k_b分别表示N，a，b的素数，所以k=k_一+k_b如果我们假设N是引理的最小整数不成立，那么引理对较小的整数a，b成立，所以我们有

因此，

重新安排条件，这给了

因为和，如下所示产品以及是一个小于N的正数，所以如果我们在上面的表达式中省略这个乘积，那么这个关系就被保留了，这就引出了有待证明的关系。◊

命题1: 如果Mξ（M）=Nξ（N），则gcd（M，N）>1。

证据：假设gcd（M，N）=1。然后N除ξ（M），M除ξ（N）。使用引理1这意味着M≤ ξ（N）≤ N和N≤ ξ（M）≤ M、只有当M=N、与M和N是共素的假设相矛盾。◊

命题2: 在不同整数M，N中满足等式Mξ（M）=Nξ（N）当且仅当

哪里m=m/gcd（m，N）和N=N/gcd（m，N）。

证据：基本等式可以写成

划分两边用gcd（M，N）和用加法展开ξ函数财产给予

解决因为ξ（gcd（M，N））给出了期望的结果。不等式ξ（gcd（M，N））>1来自命题1和ξ（k）>1的事实k>1（因为k必须至少被一个素数整除≥ 2）一。◊

讨论：命题2证明了求不同整数M，N使Mξ（M）=Nξ（N）我们只需要找到两个余素数m和n，这样数量

是大于1的整数。则M=km和N=kn满足要求任何k的等式，使得ξ（k）等于Q（m，n）。例如，因为Q（13,18）=5，整数M=13k和N=18k构成使ξ（k）=5的任意整数k。这导致了两个解决方案对：

在一般来说，对于任意两个余素正整数m，n，使得Q（m，n）是大于1的整数，存在一个与每个素数分隔Q（m，n）的。我们将这些对m，n称为“解核”，采用m<n的约定，很明显任意两个不同核的解对集是不相交的，因为任何两个整数M，N都有一个唯一的gcd。

表1列出所有n<100的溶液核。最小解对基于核13,18，gcd（M，N）=5，得到解对65,90。

到在下一个演示中缩短表达式我们定义函数H（n）=nξ（n），用它我们陈述了以下引理。

引理2: 对于任何正整数u，v我们都有

证据：证据是直接因为

哪一个被展示出来。◊

命题三: 存在无穷多对不同的整数M，N使得Mξ（M）=Nξ（N）。

证据：我们证明通过给出一个显式公式来断言对。我们声称对于任何质数p ≥ 11价值

是整数，且整数M=kp和N=k（p+1）满足条件H（M）=H（N）。为了证明k是整数，我们只需要证明前面表达式中k的指数2是非负的整数。因为p是奇数，所以p是奇数²− H（p+1）−3是偶数，所以指数是一个整数。另外，由于p>1是奇数，因此得出p+1不是素数，所以H（p+1）的最大值是2q（q+2），当q=（p+1）/2是质数时发生。因此，k中的指数为大于或等于

哪一个对每个质数p都是正的≥ 11.将函数H应用于上面定义的整数k给出

添加pH（k）+kH（p+1）两侧，并注意到p²=H（p），我们有

通过引理2这证明了

所以我们有一个无限的解序列，这就是我们要展示的。◊

命题4: n>8的余素数m，n构成解核if和只有当数量

是正整数。

证据：我们证明了这一点通过证明，对于n>8，Q（m，n）是一个大于1当且仅当q（m，n）为正整数。q是整数的事实iff Q是一个整数，它来自于包含身份

如果q是整数，然后是n−m除以ξ（m）− ξ（n），其中这意味着它除以了这个方程的整个右手边，所以也分左手边。反之，如果Q是整数，则n−米除以左手边，所以它必须除以右手项m（ξ（m））− ξ（n）），因为m是对n的共素数也是对n的共素数−m、这证明了n−米必须除以ξ（m）− ξ（n）。

我们现在证明如果整数q为正且n>8，则整数q大于1。首先假设（n−m） >1。由此可知ξ（m）− ξ（n）大于1，因为它可以被n整除−m、我们也有身份

因为ξ（m）≤ 由引理1得到的不等式

哪一个证明了Q>1如果（n−m） >1。如果（n−m） =1我们必须允许ξ（m）的可能性− ξ（n）=1。在这种情况下，假设首先是m>ξ（m）。因此Q=qm− ξ（n）>1根据需要。但是，如果m=ξ（m），那么m是素数p，n=p+1。ξ（m）的唯一途径− ξ（n）不超过1是如果ξ（n）=ξ（p+1）=p−1.由于p是奇数，我们可以把p+1的a 2乘以设ξ（p+1）=ξ（（p+1）/2）+2=p−因此，p−3=ξ（（p+1）/2）≤ （p+1）/2（引理1）给出p≤ 7等等≤ 8