托尔斯滕·西尔克，FRA，1998-08有多少单词具有相同的自相关值？在第80届阿希姆·弗拉门坎普奥运会开始时，我和对康威的掷硬币游戏公式感兴趣如[Gardner 74]所述。这里给出的递归证明可以在中找到[L.J.Guibas，A.M.Odlyzko，1981，弦长中的周期，第7.1条]。考虑到自相关函数，自然会要求它们的倒数（在给定的字母表上）。让我们数数X2[a]=#自相关2^（-1）=#{w在0{0，1}^*|w:w=a}中X3[a]=#自相关3^（-1）=#{0中的w{0，1，2}^*|w:w=a}Xq[a]=#自相关_q^（-1）=#{在0{0，1，…，q-1}^*|w:w=a}中的w（u:v的概念称为相关函数。它是在本文末尾解释。）然后我们确定了序列X2[2^n+const]。最后，这将导致X2[a]的递归。设A2[n]是字母{0，1}上长度为n的单词数以“0”和平凡（2^（n-1））自相关函数开头。A2[n]=X2[2^（n-1）]。A2[n]满足以下递归公式A2[1]=1A2[2n]=2 A2[2n-1]-A2[n]对于n>=1当n>=1时，A2[2n+1]=2A2[2n]设B2[n]是字母{0，1}上长度为n的单词数以“0”开头，自相关函数为2^（n-1）+1。B2[n]=X2[2^（n-1）+1]。B2[n]满足以下递归公式B2[2]=1当n>=2时，B2[2n-1]=2 B2[2n-2]-B2[n]B2[2n]=2 B2[2n-1]+B2[n]，对于n>=2设C2[n]是以长度n的“0”开头的二进制字的数目自相关函数为2^（n-1）+2C2[3]=0，C2[4]=1，C2[2n-1]=2 C2[2n-2]+2 C2[n]，当n>=3时当n>=3时，C2[2n]=2 C2[2n-1]-C2[n]-C2[2n+1]设D2[n]是以长度n的“0”开头的二进制字的数目自相关函数是2^（n-1）+3D2[3]=1，D2[4]=0，当n>=3时，D2[2n-1]=2 D2[2n-2]+D2[n]当n>=3时，D2[2n]=2 D2[2n-1]+D2[n]-D2[n+1]带有A2[1..19]至D2[1..19]:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19-------------------------------------------------------------------------A2 | 1 1 2 3 6 10 20 37 74 142 284 558 1116 2212 4424 8811 17622 35170 70340号B2电话：0 1 1 3 5 11 19 41 77 159 307 625 1231 2481 4921 9883 19689 39455 78751C2 | 0 0 1 2 3 8 13 30 55 116 221 458 895 1816 3589 7238 14391 28892D2 | 0 0 1 0 1 3 6 11 23 44 91 179 364 723 1457 2902 5827 11633 23310电话自相关函数2^（n-1）+c的一般递推阿希姆从序列中发现了E2[2n-1，c]=2 E2[2n-2，c]+和{k>=0}α2（c，2k）E2[n+k，c]E2[2n，c]=2 E2[2n-1，c]+和{k>=0}α2（c，2k-1）E2[n+k，c]n>=log2（c）+2。函数alpha2是α2（c，k）=φ（楼层（c/2^k）），对于k>=0字母2（c，-1）=（-1）^（c+1）具有4个周期函数phi，即φ（n）=0，n=0 mod 4φ（n）=-1，n=1 mod 4对于n＝2 mod 4，phi（n）＝2φ（n）=1，n=3 mod 4设比特（c，k）是c的二进制表示的第k位，则alpha2（c，k）=2位（c，k+1）-对于k>=0，位（c、k）alpha2（c，k）=2位（2c+1，k+2）-对于k>=-1，位（2c+1，k+1）对于CS的人来说，这是两个比特上的2比特补码的负数。我在阿希姆的旧便笺上找到了这个。现在，如果n足够大，a找到X2（2^（n-1）+c）的递归。对于小n，我们找到了关系X2[2^（n-1）+c]=X2[c]*[X2[2^（n-1，+c]>0]。条件X2[2^（n-1）+c]>0是存在性问题条件见[L.J.Guibas，A.M.Odlyzko 1981]。该测试在n中呈线性。>>有人想证明这一点吗。到目前为止，这是唯一的数字证据<<无症状分布：a2=lim_{n->oo}2A2[n]/2^nb2=lim_{n->oo}2 b2[n]/2^nc2=lim_{n->oo}2C2[n]/2^nd2=lim_{n->oo}2 d2[n]/2^n常数计算到220位。a2=0.26778684021788911237667140358430255505989798484320763118885112149\3778523276285354476223856136843466446447207331150068764671638142714485\4162563424029263893834402719055447409920457941095037971765840156929107\6474696957b2=0.30042007151830329623000629138269940101525070873926867827513580421691\0146436463481739497550314671803707924354053091385644383653256162168099\3261751049121521315106374913548420203105266729981760100988282367635056\0682228172c2=0.110006178936985734131570526893595999590139052432740489362517829054628\7042274434273696252032772369441572276551963931644825633440026404816509\0948221935970749579220900186497336352972745452741530739949068426643198\0246026503（向上取整）d2=0.088918129896665990735022084327920234135722270571926807031236381660997\0236256949222332049616300280832126610497725638778865262552776695991294\1152276475767170778796370188263291643369812442854056340704551680525377\0720538761（向上取整）让A3[n]是以长度n的“0”开头的三个单词的数量自相关函数为2^（n-1）A3[1]=1当n>=1时，A3[2n]=3 A3[2n-1]-A3[n]当n>=1时，A3[2n+1]=3 A3[2n]设B3[n]是以长度n的“0”开头的三个单词的数量自相关函数为2^（n-1）+1B3[2]=1当n>=2时，B3[2n-1]=3 B3[2n-2]-B3[n]当n>=2时，B3[2n]=3 B3[2n-1]+2 B3[n]设C3[n]是以长度n的“0”开头的三元单词数自相关函数为2^（n-1）+2C3[3]=0，C3[4]=1，当n>=3时，C3[2n-1]=3 C3[2n-2]+3 C3[n]当n>=3时，C3[2n]=3 C3[2n-1]-C3[n]-C3[n+1]设D3[n]是以长度n的“0”开头的三元单词的数量自相关函数为2^（n-1）+3D3[3]=1，D3[4]=0，当n>=3时，D3[2n-1]=3 D3[2n-2]+2 D3[n]当n>=3时，D3[2n]=3 D3[2n-1]+2 D3[n]-D3[n+1自相关函数2^（n-1）+c的一般递推因为trinary只是二进制情况的微小修改E3[2n-1，c]=3E3[2n-2，c]+Sum_{k>=0}alpha3（c，2k）E3[n+k，c]E3[2n，c]=3E3[2n-1，c]+Sum_{k>=0}α3（c，2k-1）E3[n+k，c]n>=log2（c）+2。函数alpha3是alpha3（c，k）=3位（c，k+1）-对于k>=0，位（c、k）alpha3（c，k）=3位（2c+1，k+2）-对于k>=-1，位（2c+1，k+1）A3[1..15]至D3[1..15]:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-----------------------------------------------------------------------A3 | 1 2 6 16 48 138 414 1226 3678 10986 32958 98736 296208 888210 2664630B3 | 0 1 2 8 22 70 202 622 1844 5576 16658 50114 150140 450824 1351850C3 | 0 0 2 6 16 54 154 480 1418 4302 12836 38670 115802 347868D3|0 0 1 0 2 8 24 70 214 638 1930 5782 17394 52160 156620无症状分布：a3=lim_{n->oo}3 a3[n]/3^nb3=lim_｛n->oo｝3 b3[n]/3^nc3=lim{n->oo}3C3[n]/3^nd3=lim_{n->oo}3D3[n]/3^na3=0.55697939764230293652941319025352568356116596037690340763309094999085\1780730306956028402504861427967790182789312028427637802168971096220362\148959412945658399763343841686628944611138438126200325850816360025697\3466732885b3=0.28270348173738811467828111939094972994535425105794346765630402481567\6228069173288200768054246000793888267504084114755913761559836490021509\9858622653129392437975497843792146697661788691686656526157148139715463\9805627295c3=0.072714271615932464984019361244568137627400696736768207103315826950236\9815108290996358418512269367089360144975390806834534257712409313844687\3360898085140800690035612827942364702385847119494994385100600332132872\8914302905d4=0.0327526253473105285996334068117668576604014578791094705698986630700\6693583957279220877939108696928256871442518761892569096544602813922122\8713506308644144490026127116930469708806876182491611005606617372088677\7025953082谁能改进无症状配方？计算递归给出了一个线性算法用于确定这些常数。这可以改进吗？我不认为这是已知的常数。相关函数：（来自“Concete Mathematics”的符号）设W是长度L（W）的单词，分别表示W^（k）和W_（k）W的最后k个字符和前k个字符。则两个单词U和V之间的相关函数为U： V=和{1<=k<=最小值（L（U），L（V））}2^（k-1）[U^（k）=B_（k）]单词W的自相关是W： W公司示例（摘自《康塞特数学》）A=高温高湿A： A=（1000010101）_2=512+16+4+1=533HTHTHHTHTH正常HTHTHHTH（高温高湿）HTHTHHTH（高温高湿）HTHTHHTH（高温高湿）第h个HTHTHHTHTH正常HTHTHHTH（高温高湿）HTHTHHTHTH正常HTHTHHTH（高温高湿）好的参考文献：-环境影响报告A2=A045690，2*A2=A003000；-A.Benczur，I.Katai；关于序列模式的出现次数，数学学报。匈牙利，47（1986）371-382Zbl 625.68053（未审核）-Gunnar Blom；问题94-20：二进制序列重叠，SIAM评论37（1995），619-620-马丁·加德纳；关于非传递关系引发的矛盾情况，《科学美国人》，231:4（1974年10月）120-124。预印在《时间旅行与其他数学困惑》中Freeman（1988），纽约，第5章：非传递悖论，55-69-罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）、奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik）；具体数学：计算机科学的基础，Addison-Wesley出版社。，阿姆斯特丹，第二版，1994年。Zbl 668.00003（第1版）Zbl 836.00001（第二版）第8.4节：翻转硬币-D.J.Greaves、Stephen J.Montgomery-Smith；不可伪造的标记序列，http://www.math.missouri.edu/~史蒂芬/预印本/不可伪造/A2系列的应用。他们将a2确定为一个系列。-Leo J.Guibas，Andrew M.Odlyzko；字符串中的句点，组合理论杂志A 30（1981）19-42Zbl 464.68070号第7节：人口它们的L_n（C，q）是我的q*Xq[2^（n-1）+C]的另一种形式。Thm 7.1给出了该人群的基本复发率。（β值表1 p37列出了常数a2、b2、c2、d2、a3、b3、c3、d3、a24、b24）-Leo J.Guibas，Andrew M.Odlyzko；字符串重叠、模式、匹配和非传递对策，组合理论杂志A 30（1981）183-208Zbl 454.68109号-Heiko Harborth；Endliche 0-1-Folgen mit gleichen Teilbl“奥肯，《Reine und Angewandte Mathematik杂志》，271（1974）139-154，Zbl 297.05008号（als Habilitationsschrift der nat.Fakult\“位于布伦瑞克大学angenommen）他的L（0，k）是2*A2[k]。-P.托尔斯特拉普·尼尔森；关于无双固定序列的注记，IEEE传输。信息。理论IT-19（1973），704-706二进制序列的初始值表：标记为“-”的条目未定义，标记为“”一等于零。第c行中的非零项是X2（c）。（省略了给出零序列的c。）抄送：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16--------+------------------------------------------------0 | 11 | - 110 | - - . 111 | - - 1 .100 | - - - . . 2101 | - - - . 1 1111 | - - - 1 . .1000 | - - - - . . . 三1001 | - - - - . . 3 31010 | - - - - . 1 . .1111 | - - - - 1 . . .10000 | - - - - - . . . . 610001|-------------------------。5 510010 | - - - - - . . 2 . 210011 | - - - - - . . 1 1 110101|----。1 . . 111111 | - - - - - 1 . . . .100000 | - - - - - - . . . . . 10100001 | - - - - - - . . . . 11月11日100010 | - - - - - - . . . 三。三100011 | - - - - - - . . . 3 3 3100100 | - - - - - - . . 2 . . .100101 | - - - - - - . . 1 . 1 .101010 | - - - - - - . 1 . . . .111111 | - - - - - - 1 . . . . .1000000 | - - - - - - - . . . . . . 201000001 | - - - - - - - . . . . . 19 191000010 | - - - - - - - . . . . 8 . 81000011 | - - - - - - - . . . . 6 6 61000100 | - - - - - - - . . . 4 . . 41000101 | - - - - - - - . . . 1 . 1 11000111 | - - - - - - - . . . 1 1 1 11001001 | - - - - - - - . . 3 . . . 三1010101 | - - - - - - - . 1。11111111 | - - - - - - - 1 . . . . . .10000000 | - - - - - - - - . . . . . . . 3710000001 | - - - - - - - - . . . . . . 41 4110000010 | - - - - - - - - . . . . . 13。1310000011 | - - - - - - - - . . . . . 11 11 1110000100 | - - - - - - - - . . . . 8 . . 810000101 |------------。4 . 4 410000111 | - - - - - - - - . . . . 3 3 3 310001000 | - - - - - - - - . . . 3 . . . .10001001 | - - - - - - - - . . . 3 . . 三。10010010 | - - - - - - - - . . 2 . . . . 210010011 | - - - - - - - - . . 1 . . . 1 110101010 | - - - - - - - - . 1 . . . . . .11111111 | - - - - - - - - 1 . . . . . . .--邮寄地址：Torsten.Sillke@uni-bielefeld.dehttp://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~赛尔克/