发件人：（托尔斯滕·希尔克）主题：一个单词问题日期：92年8月文字问题：设G=<a，b|aabb=baba，bbaa=abab>的自由群具有两个关系式aabb＝baba和bbaa＝abab的两个生成器a和b。显示aaabbb不等于bababa。：：此问题由David Sibley及时解决。：：然后是诺姆·艾尔基斯和马斯顿·康德的贡献。：：后来我了解到，问题已经由解决了：：J H Conway（见AMM 97（1990）757-773）。---------------------------------------------------------------------主题：Re：一个单词问题日期：1992年8月11日星期二19:07:31 MESZ我相信我有你想要的例子。我是被带到这里的根据前几天我发给你的理论材料。设H是8阶四元数群。H承认自同构循环排列i，j，k的3阶x。让K成为Z_3以这种方式作用于H的半直接产物。让G成为K和H的中心乘积，即G=（KxH）/<（-1，-1）>。设G中的a=（-x，i）和b=（-xi，j）a^2*b^2=（ba）^2和b^2*a^2=。我让你独立验证我的计算。大卫·西伯利sibley@math.psu.edu---------------------------------------------------------------------文章：科学杂志12518发件人：elkies@ramanujan.harvard.edu（诺亚姆·艾尔基斯）主题：回复：一个文字问题日期：92年8月11日17:27:30 GMT机构：哈佛数学系在文章中sibley@math.psu.edu写入：：在文章中26212@unibi.uni-bielefeld.de网址,:uphya159@unibi.uni-bielefeld.de（0118）写道：：>一个单词问题：:>：>设G=<a，b|aabb=baba，bbaa=abab>的自由群：>两个生成器a和b，具有两个关系式aabb=baba和bbaa=abab。:>：>显示aaabbb不相等的bababa。:：这里有两个排列和GAP验证。:：间隙>A；:( 1, 3, 6,16)( 2,20,22,27,11,13,15,23, 5, 7,12,31)( 4,10,17, 9):( 8,30,32,18,21,26,28,29,14,19,24,25)：间隙>B；:( 1,28,22,17,15,14, 6, 8, 5, 4, 2,32)( 3,19,31,10,27,25,16,18,13, 9, 7,26):(11,21,12,24)(20,29,23,30)：间隙>A^2*B^2=（B*A）^2；：true：间隙>B^2*A^2=（A*B）^2；：true：间隙>A^3*B^3=（B*A）^3；：false（错误）……这提出了几个问题：1） 这个特定的文字问题是从哪里来的？也许是想证明在下列条件下，奇数区域的矩形不能用L-三氨基平铺只允许两个方向（通过180度旋转相关）？2） 既然我们有了群论证明，是否有一个初等的关于瓷砖的相同结果的证明？注意，如果所有四个方向（甚至四个方向中的三个方向），然后是一个5x9的矩形可以用L-三胺基平铺。3） 大卫·西布利是如何找到上述两个预兆的？他们能不能上5维向量空间上的仿射线性变换Z/2？A和B的循环结构（4）（4）、（12）（12）兼容用这个猜测。--诺姆·埃尔基斯(elkies@zariski.harvard.edu)哈佛大学数学系---------------------------------------------------------------------《宪法》第12565条：发件人：cgodsil@watserv1.uwaterloo.ca（C.Godsil-C和O）主题：回复：一个单词问题日期：92年8月12日20:27:15 GMT单位：滑铁卢大学在文章中<1992年8月9日172411.26212@unibi.uni-bielefeld.de>uphya159@unibi.uni-bielefeld.de（0118）写道：>文字问题：>>设G=<a，b|aabb=baba，bbaa=abab>的自由群>两个关系为aabb=baba和bbaa=abab的生成器a和b。>>显示aaabbb不等于bababa。>>我尝试了从G到S10的所有同态，但都没有成功。>（例如，a->（123），b->（142）表示ab不相等ba，但aaabbb=bababa）>>托尔斯滕·希尔克群G=<a，b:a^2*b^2=（b*a）^2，b^2*a^2=设K是由p=a*b和q=b*a生成的子群。这个子群是正规的，商G/K是循环的（注：p^a=q，p^b=p^-1*q^2，q^a=q^-1*p^2，&q^b=p）。设L是由u=p^3和v=q^3生成的子群。这个子组也是正常的（u^a=v=u^b和v^a=u=v^b），和Abelian（因为实际上p和q都集中于u和v）。此外，商K/L是（3,3,3）三角形的同态像群<p，q:p^3=q^3=（p*q）^3=1>，它是Abelian-by-cyclic，因此是可溶的。既然G/K是循环的，K/L是可溶的，L是阿贝尔的，因此G本身是可溶的。这里是GF（2）上G的有限矩阵表示：A=[0 1 0 0]B=[1 0 1 1 0][ 0 0 1 0 0 ] [ 0 0 1 0 0 ][ 1 0 0 0 0 ] [ 1 0 0 0 0 ][ 0 0 0 1 0 ] [ 1 1 1 0 0 ][ 1 0 0 0 1 ] [ 0 0 0 0 1 ]A^3*B^3=[0 1 1 1 0]B^3*A^3=[0 1 1 1 0][ 1 0 1 1 0 ] [ 1 0 1 1 0 ][ 1 1 0 1 0 ] [ 1 1 0 1 0 ][1 1 1 0 0][1 1 1 1 0 0][ 0 0 0 1 1 ] [ 1 1 1 0 1 ]（A^3*B^3）^2=（B^3*A^3）|2=[1 0 0 0][0 1 0 0][ 0 0 1 0 0 ][ 0 0 0 1 0 ] [ 1 1 1 1 1 ] 这些矩阵生成一个96阶的因子组，中心为2阶，与AGL（4,2）的一个子组明显同构。马斯顿·康德(marston@dibbler.uwaterloo.ca)1992年8月12日---------------------------------------------------------------------发件人：（托尔斯滕·希尔克）日期：1992年8月13日这就是文字问题的来源：11 12 2 33 2 3 33 3 1 1 21 2 2 1 2 21 1 2 3 3 1 12 3 3 1 3 2 1 32 2 3 1 1 2 2 3 3o个此图显示可以用T2:o平铺三角形T9问题：哪个T（n）可以与T2平铺？解决方案：T（n）的点数为（n+1 \选择2）=T（n）。3|t（n）当n=0，2（mod 3）时。第一种情况：如果n=0，2，9，11（mod 12），那么T（n）是可平铺的。从T9可以得到T11和T12加上：1 2 2 1 2 2 1 2 2 11 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1或1 1 2 2 3 3 1 1 2 22 1 3 2 1 3 2 1 3 2 12 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1T11、T12和k倍1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 21 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2可以从T（n）构造T（n+12）。情况II：如果n=3、5、6、8（mod 12），则T（n）不可平铺。这是一个棘手的问题。你可以看看等效的三氨基谜题。在这种情况下，T5看起来像：o允许的L-三胺基为：哦哦哦o o o=T5 o o和oo o o oo o o o o（仅180度旋转）现在让我们试试群论：您可以在文章中阅读有关此技术的信息：德米特里·V·福明（Dmitry V.Fomin），将其与“多民族”联系起来，量子2:2（1991年11月/12月）20-23，61所以你得到了一组：G=<a，b|aabb=baba，bbaa=abab>。如果n=3，5，6，8（mod 12）时a ^n b^n<>（ba）^n，则T（n）不是可平铺。对于某些n=3,5,6,8（mod 12），是a^nb^n=（ba）^n吗a^3 b^3=（ba）^3。你可以看到这与案例一中的技术相同。你有额外的可能性在小组中减少。如果你显示a^3 b^3<>（ba）^3，则CASE II求解。David Sibley发现了一个同态，这表明了这个不等式。所以CASE II得到了证明。注释：诺姆·艾尔基斯是对的，大卫·西伯利的同态表明用L-triomino（仅允许180度旋转）。在这种情况下，你必须证明a ^3 b<>b a ^3。托尔斯滕·希尔克