聚球体符号：托尔斯滕·西尔克，FRA，1998-06--------------------------多边形可以用边连接的立方体来模拟。已经打开了这两种模型之间的区别就是镜像。如果允许非连接的多边形，我们将得到进一步的区分。出现区别的第一种情况[Cf91，Ch 18 p148]是三体o个o o（它生活在六边形晶格中。见下表中的第6条。）__ ____/_/| /_/|/_/|_|/ |_|/|_|/ __/_/|/_/| /_/|_|/|_|/ |_|/作为边连接立方体或多角形十二面体有镜像，但作为多边形，有一个非对称的附加对称操作整个格子的。绕轴旋转（+-1、+-1、+-1）用60度将每三个六角形子晶格固定与此轴正交。对于连接的多边形只有当它们生活在六角形晶格中时才会出现这种情况。标准符号：对于每一个片段，使用词典编纂的最小非负数坐标（在立方体的反射组上）。这给出了标准坐标。的所有坐标具有n个球体的多义球体按字典顺序排序从一开始编号。这为以下内容提供了编号然后我们可以进行总体编号（见下表）。镜像用负号表示。例子：20个四球体的集合是（允许反射）7..2625个四球体的集合是（仅旋转）7..26, -10, -11, -19, -23, -2428个四边相连立方体的集合是（仅旋转）7..26, -10, -11, -15, -16, -19, -23, -24, -26.包装示例：以下谜题可以在[Gor86]中找到。我对聚球面四面体和金字塔填料进行了系统研究类似的碎片高达八角形，还发现了其他几个。. . . 0。..0。0。7 . . 方形金字塔. 1 . 4 . 2 . . 7 . 7 . . 9 . 10个3号三球面，1 . 5'. 6 . 2 5 . 4'. 6 5 . 6 9 2溶液（4’<->5’）. 1 . 4 . 2 . . 8 . 8 . . 9 . [Gor86，第10节]. . 3 . 3 . . . . 8 . . 托尔斯滕·西尔克1994. . . 3 . . .- . . . . 3 . . . . 4 . . . . - 截断四面体. 1 . . 三。3 . . 4 . 4 . . 2 . 4个13号四球，. . 2 . . 1 . 3 4 . 2 . . 1 . . 独特的解决方案…-。2。1.-。[Gor86，第11节]6 . 4 . . 4 . 5 4 . 1 . . 4 . 0盒-面心立方填料. 6 . 0 5 . 5 . . 1 . 0 7 . 三。8个13号四球，7 . 6 . . 5 . 0 7 . 1 . . 三。3 3个解决方案，困难. 6 . 2 7 . 2 . . 2 . 1 3 . 2 . [Gor86，第3节]3 . . . . 0 . . . . 0'. . . . 2个四面体. 1 . . 三。0 . . 三。2' . . 2 . 5个15号四球，. . 1 . . 1 . 0 3 . 4 . . 2 . . 2个解决方案（0'<->2'）. . . 1。4。4 . . 4 . . . [Gor86，第10节]沃尔夫冈·施奈德（Wolfgang Schneider），约1970年立方体到菱形十二面体：边缘连接立方体填料的密度为1/2。如果你解剖从那里的中心将未使用的立方体分成六个金字塔，并将其添加到使用过的立方体会得到致密的菱形十二面体填料。平面多晶硅的额外对称性：点（x，y，z）在轴t*（1,1,1）上的反射是积分iff 3|x+y+z。对于六边形平面多边形，我们可以选择x+y+z=0此操作有效。推导反射R的公式。设e^T=（1,1,1），则点“a”在T*（1,1,l）上的投影为r=e（e ^T a）/（e ^ T e）由此我们得到反射R为R（a）=2 R-a=2 e（e ^T a）/（e ^ T e）-a=2/3 e e ^ T a-a=（2/3 e ^T-I）a1 [ -1 2 2 ]=-[2-1 2]*a3 [ 2 2 -1 ]参考文献：Cof91：Stewart T.Coffin；多面体解剖的困惑意志，系列：数学招聘，第五名，牛津大学出版社，纽约，1991年http://www.johnrausch.com/PuzzlingWorld网站/（在线版本）戈尔86：伦纳德·戈登；关于球锥和相关谜题的一些注释，privite出版物，修订版，Chico CA，1986年7月，14pWie96:Bernhard Wiezorke；多面体谜题简编，特许出版，第二版，1996年8月----------------------------------------------------------------------------表：平面多边形、边连接立方体或菱形十二面体1号：1编号2:1-1坐标：000图片：o1号：2号编号2:1-2坐标：000 011图片：o o1号：3 o编号2:1-3坐标：000 002 011图片：o o1号：4号编号2:2-3坐标：000 011 022图片：o o o1号：5 o编号2:3-3坐标：000 011 101图片：o o编号1:6 o编号2:4-3坐标：000 011 112图片：o o1号：7点编号2:1-4坐标：000 002 011 013图片：o o编号1:8 o编号2:2-4坐标：000 002 011 020图片：o o o编号1:13 o编号2:7-4坐标：000 011 013 022图片：o o o编号1:14编号2:8-4坐标：000 011 022 033图片：o o o o1号：15 o编号2:9-4坐标：000 011 022 101图片：o o o1号：16 o编号2:10-4坐标：000 011 022 123图片：o o o1号：18点编号2:12-4坐标：000 011 101 112图片：o o1号：21点编号2:15-4坐标：000 011 112 123图片：o o1号：22点编号2:16-4坐标：000 011 112 202图片：o o1号：25点编号2:19-4坐标：001 010 012 021图片：o o1号：26 o编号2:20-4坐标：001 111 120 212图片：o oo个表：平面聚球体、边连接立方体或多角形十二面体-对称群的编号、坐标、顺序、性质no1 no2坐标Ord_Ref Ord_Root属性Ord_Mixed----------------------------------------------------------------------------1 1-1 | 000参考48 Rot 24 Prop HS订单242 1-2 | 000 011参考8 Rot 4 Prop HS订单43 1-3 | 000 002 011参考4 Rot 2 Prop S订单24 2-3 | 000 011 022参考8 Rot 4 Prop HS订单45 3-3|000 011 101参考6 Rot 3 Prop H订单36 4-3|000 011 112参考2 Rot 2 Prop H m订单-27 1-4|000 002 011 013参考4 Rot 2 Prop S订单28 2-4|000 002 011 020参考4 Rot 2 Prop S订单29 3-4 | 000 002 011 101参考4 Rot 2 Prop订单210 4-4|000 002 011 103参考1 Rot 1 Prop M订单-111 5-4 | 000 002 011 110参考1 Rot 1 Prop M订单-112 6-4 | 000 002 011 121参考2 Rot 1 Prop订单113 7-4 | 000 011 013 022参考2 Rot 1 Prop S订单114 8-4 | 000 011 022 033参考8 Rot 4 Prop HS订单415 9-4 | 000 011 022 101参考1 Rot 1 Prop H m订单-116 10-4 | 000 011 022 123参考1 Rot 1 Prop H m订单-117 11-4 | 000 011 101 110参考24 Rot 12 Prop订单1218 12-4 | 000 011 101 112参考4 Rot 2 Prop H订单219 13-4 | 000 011 103 112参考2 Rot 2 Prop M订单-220 14-4 | 000 011 112 121参考2 Rot 1 Prop订单121 15-4 | 000 011 112 123参考2 Rot 1 Prop H订单122 16-4 | 000 011 112 202参考2 Rot 1 Prop H订单123 17-4 | 000 011 112 211参考1 Rot 1 Prop M订单-124 18-4 | 000 011 112 222参考2 Rot 2 Prop M订单-225 19-4 | 001 010 012 021参考16 Rot 8 Prop S订单826 20-4 | 001 111 120 212参考6 Rot 6 Prop H m订单-627 1-5|000 002 004 011 013参考4 Rot 2 Prop S订单228 2-5|000 002 004 011 103参考2 Rot 2 Prop M订单-229 3-5 | 000 002 011 013 020参考2 Rot 1 Prop S订单130 4-5 | 000 002 011 013 022参考2 Rot 1 Prop S订单131 5-5 | 000 002 011 013 024参考2 Rot 1 Prop S订单132 6-5 | 000 002 011 013 101参考1 Rot 1 Prop M订单-133 7-5 | 000 002 011 013 103参考1 Rot 1 Prop M订单-134 8-5 | 000 002 011 013 114参考文献1 Rot 1 Prop M订单-135 9-5 | 000 002 011 013 121参考1 Rot 1 Prop M订单-136 10-5 | 000 002 011 013 123参考1 Rot 1 Prop M订单-137 11-5 | 000 002 011 020 022参考16 Rot 8 Prop S订单838 12-5 | 000 002 011 020 101参考1 Rot 1 Prop M订单-139 13-5 | 000 002 011 020 103参考1 Rot 1 Prop M订单-140 14-5 | 000 002 011 020 112参考1 Rot 1 Prop M订单-141 15-5 | 000 002 011 022 033参考2 Rot 1 Prop S订单142 16-5 | 000 002 011 022 103参考1 Rot 1 Prop M订单-143 17-5 | 000 002 011 022 123参考1 Rot 1 Prop M订单-144 18-5 | 000 002 011 031 121参考2 Rot 1 Prop订单145 19-5 | 000 002 011 101 110参考2 Rot 1 Prop订单146 20-5 | 000 002 011 101 121参考2 Rot 1 Prop订单147 21-5 | 000 002 011 103 110参考1 Rot 1 Prop M订单-148 22-5 | 000 002 011 103 112参考文献1 Rot 1 Prop M订单-149 23-5 | 000 002 011 103 114参考1 Rot 1 Prop M订单-150 24-5 | 000 002 011 103 121参考1 Rot 1 Prop M订单-151 25-5 | 000 002 011 103 202参考1 Rot 1 Prop M订单-152 26-5 | 000 002 011 103 204参考1 Rot 1 Prop M订单-153 27-5 | 000 002 011 103 213参考文献1 Rot 1 Prop M订单-154 28-5|000 002 011 110 112参考4 Rot 2 Prop订单255 29-5 | 000 002 011 110 121参考1 Rot 1 Prop M订单-156 30-5 | 000 002 011 110 200参考2 Rot 1 Prop订单157 31-5 | 000 002 011 110 211参考1 Rot 1 Prop M订单-158 32-5 | 000 002 011 110 220参考1 Rot 1 Prop M订单-159 33-5 | 000 002 011 112 123参考1 Rot 1 Prop M订单-160 34-5 | 000 002 011 112 213参考1 Rot 1 Prop M订单-161 35-5 | 000 002 011 121 130参考1 Rot 1 Prop M订单-162 36-5 | 000 002 011 121 211参考2 Rot 1 Prop订单163 37-5 | 000 002 011 121 220参考1 Rot 1 Prop M订单-164 38-5 | 000 002 011 121 231参考2 Rot 1 Prop订单165 39-5|000 002 110 112 121参考2 Rot 1 Prop订单166 40-5 | 000 004 011 013 022参考4 Rot 2 Prop S订单267 41-5 | 000 004 011 013 112参考2 Rot 1 Prop订单168 42-5 | 000 004 011 103 112参考2 Rot 2 Prop M订单-269 43-5 | 000 011 013 022 031参考4 Rot 2 Prop S订单270 44-5 | 000 011 013 022 101参考1 Rot 1 Prop M订单-171 45-5 | 000 011 013 022 103参考1 Rot 1 Prop M订单-172 46-5 | 000 011 013 022 110参考1 Rot 1 Prop M订单-173 47-5 | 000 011 013 022 112参考文献1 Rot 1 Prop M订单-174 48-5 | 000 011 013 022 114参考1 Rot 1 Prop M订单-175 49-5 | 000 011 013 022 121参考1 Rot 1 Prop M订单-176 50-5 | 000 011 013 022 123参考1 Rot 1 Prop M订单-177 51-5 | 000 011 013 022 132参考1 Rot 1 Prop M订单-178 52-5 | 000 011 013 024 112参考2 Rot 2 Prop M订单-279 53-5 | 000 011 013 112 121参考1 Rot 1 Prop M订单-180 54-5 | 000 011 013 112 123参考1 Rot 1 Prop M订单-181 55-5 | 000 011 013 112 222参考1 Rot 1 Prop M订单-182 56-5 | 000 011 022 024 033参考2 Rot 1 Prop S订单183 57-5 | 000 011 022 033 044参考8 Rot 4 Prop HS订单484 58-5 | 000 011 022 033 101参考文献1 Rot 1 Prop H m订单-185 59-5 | 000 011 022 033 112参考文献2 Rot 1 Prop H订单186 60-5 | 000 011 022 033 134参考文献1 Rot 1 Prop H m订单-187 61-5 | 000 011 022 101 110参考2 Rot 1 Prop订单188 62-5|000 011 022 101 112参考文献2 Rot 1 Prop H订单189 63-5 | 000 011 022 101 121参考2 Rot 2 Prop M订单-290 64-5 | 000 011 022 101 123参考1 Rot 1 Prop H m订单-191 65-5 | 000 011 022 101 132参考1 Rot 1 Prop M订单-192 66-5 | 000 011 022 101 202参考2 Rot 1 Prop H订单193 67-5 | 000 011 022 101 211参考1 Rot 1 Prop M订单-194 68-5 | 000 011 022 103 112参考文献1 Rot 1 Prop M订单-195 69-5 | 000 011 022 112 123参考1 Rot 1 Prop H m订单-196 70-5 | 000 011 022 112 213参考1 Rot 1 Prop H m订单-197 71-5 | 000 011 022 114 123参考1 Rot 1 Prop M订单-198 72-5 | 000 011 022 123 132参考2 Rot 1 Prop订单199 73-5 | 000 011 022 123 134参考文献1 Rot 1 Prop H m订单-1100 74-5 | 000 011 022 123 213参考1 Rot 1 Prop H m订单-1101 75-5 | 000 011 022 123 222参考1 Rot 1 Prop M订单-1102 76-5 | 000 011 022 123 224参考2 Rot 2 Prop H m订单-2103 77-5 | 000 011 022 123 233参考1 Rot 1 Prop M订单-1104 78-5 | 000 011 024 112 123参考1 Rot 1 Prop M订单-1105 79-5 | 000 011 033 112 123参考1 Rot 1 Prop H m订单-1106 80-5 | 000 011 101 112 121参考1 Rot 1 Prop M订单-1107 81-5|000 011 101 112 222参考2 Rot 1 Prop订单1108 82-5 | 000 011 101 121 211参考2 Rot 1 Prop订单1109 83-5 | 000 011 101 121 220参考1 Rot 1 Prop M订单-1110 84-5 | 000 011 101 121 222参考1 Rot 1 Prop M订单-1111 85-5 | 000 011 103 112 202参考1 Rot 1 Prop M订单-1112 86-5 | 000 011 103 112 211参考1 Rot 1 Prop M订单-1113 87-5 | 000 011 103 112 222参考1 Rot 1 Prop M订单-1114 88-5 | 000 011 112 114 123参考1 Rot 1 Prop M订单-1115 89-5 | 000 011 112 114 213参考1 Rot 1 Prop M订单-1116 90-5 | 000 011 112 121 202参考2腐烂1道具订单1117 91-5|000 011 112 121 211参考2 Rot 1 Prop订单1118 92-5 | 000 011 112 121 213参考1 Rot 1 Prop M订单-1119 93-5 | 000 011 112 123 132参考1 Rot 1 Prop M订单-1120 94-5 | 000 011 112 123 202参考1 Rot 1 Prop H m订单-1121 95-5 | 000 011 112 123 211参考1 Rot 1 Prop M订单-1122 96-5 | 000 011 112 123 213参考1 Rot 1 Prop H m订单-1123 97-5 | 000 011 112 123 222参考1 Rot 1 Prop M订单-1124 98-5 | 000 011 112 123 224参考2 Rot 2 Prop H m订单-2125 99-5 | 000 011 112 123 233参考1 Rot 1 Prop M订单-1126 100-5 | 000 011 112 132 222参考1 Rot 1 Prop M订单-1127 101-5 | 000 011 112 202 301参考1 Rot 1 Prop M订单-1128 102-5|000 011 112 204 213参考2 Rot 2 Prop M订单-2129 103-5|000 011 112 211 220参考2 Rot 2 Prop M订单-2130 104-5|000 011 112 211 301参考1 Rot 1 Prop M订单-1131 105-5|000 011 112 211 321参考1 Rot 1 Prop M订单-1132 106-5 | 000 011 112 213 222参考1 Rot 1 Prop M订单-1133 107-5 | 000 011 112 213 224参考2 Rot 1 Prop H订单1134 108-5 | 000 011 112 213 303参考2 Rot 1 Prop H订单1135 109-5 | 000 011 112 213 312参考1 Rot 1 Prop M订单-1136 110-5 | 000 011 112 213 323参考2 Rot 2 Prop M订单-2137 111-5 | 000 011 112 222 231参考1 Rot 1 Prop M订单-1138 112-5 | 000 011 112 222 233参考2 Rot 2 Prop M订单-2139 113-5|000 011 112 222 312参考1 Rot 1 Prop M订单-1140 114-5|000 011 112 222 321参考1 Rot 1 Prop M订单-1141 115-5 | 001 010 012 014 023参考4 Rot 2 Prop S订单2142 116-5 | 001 010 012 021 111参考8 Rot 4 Prop订单4143 117-5 | 001 010 012 021 113参考2 Rot 1 Prop订单1144 118-5 | 001 010 012 023 032参考4 Rot 2 Prop S订单2145 119-5 | 001 010 012 111 221参考2 Rot 1 Prop订单1146 120-5 | 001 010 012 113 122参考1 Rot 1 Prop M订单-1147 121-5 | 001 010 012 120 131参考1 Rot 1 Prop M订单-1148 122-5 | 001 010 012 120 210参考2 Rot 2 Prop M订单-2149 123-5 | 001 010 012 120 221参考1 Rot 1 Prop M订单-1150 124-5 | 001 010 102 111 221参考2 Rot 2 Prop H m订单-2151 125-5 | 001 010 102 120 212参考2 Rot 2 Prop H m订单-2152 126-5 | 001 010 111 122 201参考1 Rot 1 Prop M订单-1153 127-5 | 001 010 111 122 212参考2 Rot 2 Prop M订单-2154 128-5 | 001 010 111 212 221参考文献4 Rot 2 Prop H订单2155 129-5 | 001 021 111 210 212参考8 Rot 4 Prop订单4156 130-5 | 001 111 113 120 212参考1 Rot 1 Prop M订单-1157 131-5 | 001 111 120 212 313参考2 Rot 2 Prop H m订单-2对称组：Ord_ref：晶格反射组的子组的顺序，它修复了多面体。Ord_rot：晶格旋转组的子组的顺序，它修复了多面体。属性：性质H：这个多面体在六角形晶格中是平面的。属性S：这个多面体在方形晶格中是平面的。属性M：此多边形（或边连接的立方体）具有镜像。<=>Ord_ref=Ord_rot AND NOT属性H属性m：此边连接的多维数据集具有镜像。Ord_ref=Ord_rot和属性H多面体的数量，菱形十二面体n球/O_3球/O_3+菱形十二面体/O_3+1 1 1 12 1 1 13 4 4 54 20 25 285 131 210 2256 1211 2209 22747 12734 24651 249558 144158 284768 2861439 1687737 3360995 336744310 40328652 40358811--邮寄地址：Torsten.Sillke@uni-bielefeld.dehttp://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~赛尔克/