插值代数

Eine代数Kurve im$\R^2$ist das Nullstellengebilde eines Polynoms\[f（x，y）：=\总和a_{i，j}x^是^j\]在zwei Variablen。Als Grad des Polynomes wird dabei das Maximum des Wertes$i+j$über alle nicht verschwindenden Summanden bezeichnet（综合指数）。Ein Polynom von Grad 1在Polynom der Form中的位置\[a_{0,0}{\颜色{深红色}\；+\；a_{1,0}x+一个_{0,1}年}. \]Die entsprechende Nullstellenmenge就是一个杰拉德。Polynome zweiten等级haben die Form\[a_{0,0}{\颜色{深红色}\；+\；a_{1,0}x+一个_{0,1}年}｛\color｛DarkGreen｝\；+\；一个_{2,0}x^2+a_{1,1}xy型+一个_{0,2}年^2}. \]Als Nullstellengebilde ergeben sich alle möglichen Kegelschnitte（diese können gegebenenfalls zwei oder einer Geraden degenerieren）。格莱春根德拉德斯（因此是格莱春根）

\[a_｛0,0｝｛\color｛DarkRed｝\；+\；a_{1,0}x+一个_{0,1}年}{\颜色{深绿色}\；+\；一个_{2,0}x^2+a_{1,1}xy型+一个_{0,2}年^2} {\颜色{深蓝色}\；+\；一个_{3,0}x^3+a级_{2,1}x^2年+年_{1,2}xy型^2+a_{0,3}年^3}. \]

我是Allgemeinen haben Gleichungen vom Grad$d$insgesamt$（d+1）（d+2））/2$Summanden，我是mit höchstem Grad nicht verschwinden sollte的Summanden。Polynome的线性、四分之一和kubischen Antile都是由Farben gekennzeichnet设计的。Das Nullstellengebilde von$f（x，y）$und$\lambda f（x、y）；\lambda\neq 0$unterscheidet sich nicht，也称为kann man immer annehmen，dass einer der nicht verschwindenden Paramter auf den Wert$1$normiert wurde。死亡是中性的，根据线性Kurve im Wesentlichen durch zwei参数最佳immt ist，ein Kegelschnitt im Wecentlichen-durch fünf参数，eine Kubik durch neun参数und so weiter。Diese参数werden durch die位置von entsprechend vielen Punkten im Allgemeinen eindeutig festgelegt。所以geht z.B.durch fünf Punkte（bis auf verschwindend wenige degeneriete fälle）是Kegelschnitt的Allgemeinen genau。美国国家科学院科学技术研究所（Beispiel des Kegelschnittes soll erläutert werden），这是一个最优秀的系统。Hierfür seien fünf朋克$（x_1，y_1），\；（x_2，y_2），\；（x_3，y_3），\；（x4，y4），\；（x5，y5）$gegeben。Wir normieren（unter Vernachlässigung einiger weniger Spezialfälle）den konstanten Term$a_{0,0}$zu$1$und suchennach Parametern$a，b，c，d，e$，所以是Gleichungen

\[{ax_i+by_i}{\；+\；cx_i^2+dx_iy_i+ey_i^2}=-1\]

für alle$i=1，\ldots，5$erfüllt sind。死亡是格莱中体系中的利基和利基。在矩阵形式ergibt sich中：

\[\left（\开始{数组}{ccccc}x_1&y_1&x_1^2&x_1y_1&y_1^2\\x_2&y_2&x_2^2&x2y_2&y_2 ^2 \\x_3&y_3&x_3^2&x_3y_3&y_2^3&y_3^2 \\x_4&y_4^2&x_4y_4&y_4^2 \\ x_5&y_5^2&x_5y_5&y_5^2\\结束{数组{右）\开始{array}{c}a\\b\\c\\d\\e\end{array}\right）=-\left（\begin{arrary}{c}1\\1\\%1\\end{array}\rift）\]

Löst man dieses Gleichungssystem，erhält man dieses gesuchten参数。Das folgende Applet demonstriert Das Verhalten eines Kegelschnittes durch fünf gegebene Punkte（小程序演示）。

在vollkommen类比中，Weise kann man die参数einer Gleichung dritten Grades durch neun gegebene Punkte bestimmen。

Ebenso ergibt sich eine Quartik（Nullstellengebilde eines Polynoms vierten Grades）在14 Punkte期间。