Zu H41:Komposition von Bewegungen先生

Im$\R^2$sei-ein Dreieck mit den Seiten a，b，c>0 und den Winkeln$\alpha，\beta，\gamma$gegeben。Ohne Einschränkung seien dabei die Ecken A=（0；0），B=（c；0）und c=（B cos$\alpha$；B sin$\alha$）bezogen auf eine正交基des$\R^2$gewählt，siehe Figur。Ferner bezeichne$\sigma_g$die Achsenspiegelung and der Geraden$g{}$und$\delta_{Z，\varphi}$die Drehung um$Z{}$mit dem Winkel$\varphi$im Uhrzeigersinn。

1） Begründen Sie，warum$\delta_｛C，2\gamma｝\circ\delta_｛B，2\beta｝\circ\delta_｛A，2\alpha｝$die Identität ist。
2） Zeigen Sie，dass die Abbildung$\kappa:=\sigma_a\circ\sigma_b\circ\sigma_c$eine Spiegelung and der Verbindungsgerade$g{}$der Höhenfußpunkte$H_c$und$H_a$加上eine Verschiebung$s_{}$parallel zu$g{{}$，还有eine Gleitspeigelung ist。舒布维克多最佳成绩。

Lösung:1）瓦赫勒$\delta_{A，2\alpha}=\sigma_c\circ\sigma-b，\delta_{b，2\beta}=\sigma_A\circ\sigma_c，\delta_{c，2\gamma}=\sigma_b\circ\ sigma_A$
$\Rightarrow\delta_{C，2\gamma}\circ\delta_{B，2\beta}\circ\delta_A，2\alpha}$=$（\sigma_B\circ\sigma_A）\circσ_B=id$

洛桑。2） Die Komposition dreier Spiegelungsmatrizen is in der Ebene wieder eine SpiegeLungsmattrix，d.h.公司：
Die Komposition der drei Geradenspiegelungen is analysis isch eine Spiegelung$\sigma_f$an einer Geraden$f_{}$durch den Ursprung O加eine Translation$\tau_t$mit einer orientierten Schiebstrecke$t_{}$。
Zerlegt man$t_{}$orthogonal zu$g$in$t=u+s$，所以是$\tau_u\circ\sigma_f$die Spiegelung an einer Geraden$g||f$im orientierten Abstrand$u/2$von O，vgl。Achsenspiegelung公司$\Rightarrow\quad\kappa=\tau_s\circ\tau_f\circ\sigma_f=\tau_s\circ\sigma_g$ist eine Gleitspiegelung$\gamma_{g，s}$mit Achse$g$mit Schubvektor$s||g$。
Für$s=0$表示Gleitspiegelung einfach eine Achsenspiegelong和$g{}$。Es gilt also der Satz公司：

Ebene公司的董事会成员是Gleitspiegelung公司的董事会成员。

Eigenschaften von Gleitspegelungen：

Anwendung zur Bestimmung von$\kappa$：

Bezeichne$x'=\sigma_c（x），x''=\sigama_b（x'）=（\sigma_b\circ\sigma_c）（x）$und$x''=\sigma_a（x''）=（\sigma-a\circ\sigma _b\circ\sigama_c）（x）=\kappa（x）$

Betrachte die Bilder$A“”=\kappa（A）$von$A_{}$und$F“”=\ kappa$

$\Rightarrow$$H_a=M_{AA''}$und$H_c=M_}FF''}=M__{c'c}$liegen auf der Achse$g_{}$。

Da die Punkte$H_a$und$H_c$auf dem Thaleskreisüber der Strecke$AC$liegen，是Viereck$AH_c H_a c$ein Sehnenvireck und damit der Winkel$<）BH_cH_a=\gamma$。

Den Schubvektor$s_{}||g$erhält-min mit Hilfe des Spiegelpunktes$A^*=\sigma_g（A）$als$s_}=A^*A$。