同基因Koorden der Ebene
Wir wollen die euklidische Ebene im dreidimensionalen Raum$\mathbb{R}^3$einbetten（我的意思是，我的名字是Ebene）。Dabei soll gewährleistet sein，dass die Ebene den Ursprung nicht enthält.（大北索尔格瓦赫列斯特城，乌尔斯普林宫）。Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dies zu tun，aber als rechnerisch am einfachsten erweist sich die Einbettung parallel zur$xy$-Ebene auf dem Niveau$z=1$。Jeder Punkt der eingebetten Ebene（im Applet der Punkt A）是Schnittpunkt eines eindimensionalen Untervektorraums des$\mathbb{R}^3$（blauer Pfeil im Applet）和Ebene。
Somit gibt es eine eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten der eingebetteten Ebene und苏米特讽刺道
den eindimensionalen Untervektorräumen des$\R^3$，die nicht komplett in der$xy$-Ebene-liegen。
Stell sich nun die Frage nach den eindimensionalen Untervektorräumen，die die Ebene nicht schneiden。Ihnen kommt ebenfalls eine解释zu。Wenn wir diese Untervektorräume als Geradenrichtungen auffassen，können wir jedem Parallelbüschel der Ebene einen eindimensionalen Untervekorraum，der komplett in der$xy$-Ebene liegt，zuordnen。
Somit gibt es eine eineindeutige Beziehung zwischen den Fernpunkten und den eindimensiantalen公司
Untervektorräumen des$\mathbb{R}^3$，die komplett in der$xy$-Ebene liegen。
Wir wollen nun das Ganze正式fassen。我是Folgenden wollen wir die homen Koorden der Punkte definieren。Dafür müssen wir jeden eindimensionalen Untervektorraum des$\mathbb{r}^3$darstellen（达夫穆森）。Jeden der eindimensionalen Untervektorräume können wir mittels eines Vektors repräsenieren，der diesen aufspannt。Diese Darstellung is aber nicht eindeutig，da alle skalaren Vielfachen ungleich Null dieses Vektors ebenso den Untervektorraum aufspannen。Um eine eindeutige Darstellung zu erhalten，müssen wir all diese Vielfachen identifieren，我是一位来自世界各地的专家。Aus diesem Grund erhalten wir die Quotientenstruktur公司\[\数学{P}=\压裂{\mathbb{R}^3\setminus\{（0,0,0）^T\}}{\mathbb{R}\setminus\{0\}}\]杰德-阿尔-艾克瓦伦兹克拉塞$[P]=\{\lambda\cdot P:\lambda \in\mathbb{R}\setminus\{0\}$der Menge$\mathcal{P}$entspricht entweder einem Punkt der euklidischen Ebene oder einem Fernpunkt。Die a quivalenzklassen，Die den Punkten der Ebene entsprechen，haben einen Repäsentantes mit einer von Null verschieden$z$-Koordentin，wohingegen Die a quitalenzklassen，Die Die Fernpunkte Repräsenieren，eine verschwindende$z$-Koordinate besitzen。第一修女\[[P] =\left[\left（\begin{array}{c}x\\y\\z\end{arrary}\right）\right]\]eine as equivalenzklasse mit$z\ne 0$，因此entspricht$P$einfach dem Punkt\[\左（\begin{array}{c}x/z\\y/z\end{arrary}\right）\]埃比内岛。哈本·维里姆·盖根萨茨-达祖（Gegensatz dazu die a quivalenzklasse）\[\left[\left（\begin{array}{c}-b\\a\\0\end{arrary}\right）\right]，\]因此，entspricht diese dem Fernpunkt，in dem sich Geraden der Gestalt${（x，y）^T\in\mathbb{R}^2:ax+by+c=0\}$treffen。Ebenso wie den Punkten können wir den Geraden der euklidischen Ebene homogene Koordinaten zuweisen是一种真核生物。Gerade在Gleichung期间$ax+by+c=0$beschrieben wird，liegt es nahe eine Gerade mittels des Vektors公司\[g=\left（\开始｛数组｝｛c｝a \\b \\c \结束｛数组｝\right）\]祖·雷帕森蒂伦（zu repräsenieren）。Da die beschreibende Gleichung eine均质Gleichong ist，führen die Vektoren$g$als-auch$\lambda\cdot g$mit$\lampda\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$auf-dieselbe Gerade。Somit können wir dieselbe Quotientenstruktur benutzen，um die Menge der Geraden$\mathcal{G}$zu repräsenieren。维尔阿尔滕也死了均质Koorden der Geraden.杰德·阿瓦·克瓦伦兹克拉斯\[[g] =\left[\left（\begin{array}{c}a\\b\\c\end{arrary}\right）\right]\]mit$（a，b）^T\in\mathbb{R}^2\setminus\{（0,0）^T}$entspricht nun der Geraden$\{。类似于Fernpunkten能源公司。Ihr entspricht die a quivalenzklasse$[（0,0,1）^T]$。Zum Abschluss bleibt noch zu klären，ob die均质Koorden der Punkte und Geraden verteräglich mit der Inzidenzrelation$\mathcal{I}$sind。Es seien nun$[P]$und$[g]$同质化Koorden eines Punkts und einer Geraden。Wir definieren修女：\[[P] \；\mbox{liegt-auf}\；[g] \iff\langle P，g\rangle=0，\]wobei$\langle\cdot，\cdot\rangle$das Standardskalarprodukt bezeichnet。Da das Standardskalarprodukt eine双线性形式ist，is es fefensichtlich，dass die Definition verteräglich mit deráquivalenzklassenblidung ist。此外，können wir o.B.d.A.annehmen，dass$P=（x，y，1）^T$镀金。Somit ergibt sich公司\[[P] \；\mbox{liegt-auf}\；[g] \iff\langle P，g\rangle=\left\langle\left（\begin{array}x\\y\\1\end{array}\right），\left，\]woraus die Verträglichkeit der Inzidenzrelation$\mathcal{I}$folgt。达斯·特里佩尔$（\mathcal{P}，\mathcal{G}，\ mathcal}）$nennt man模卷预测Ebene$\mathbb{RP}^2$。
