Adjazenzmatrix和功能

Zur定义der Adjazenzmatrix$A_G$eines Graphen$G=（V，E）$verweisen wir vorweg auf图形简介.Wenn man das quartische Speicherschema公司Adjazenzmatrix矩阵als矩阵$A_G \in \mathbb{N}_0^{\|V\| \times \|V\|}$解说员，埃尔特·曼·奥斯·登·波滕岑·冯（erhält-man aus den Potenzen von）$A_G$马特里森乘法，喷洒aus den Matrizen

\[A_G^0=I，~A_G_1=A_G，~A~G^2=A_G\cdot A_G\]

详细介绍了Informationonenüber die Struktur von$G$。

Behauptung/Aussage公司

福尔杰德斯$r \in \mathbb{N}_0$在$i，j$-te Eintrag von$A_G^r$die Anzahl der$（i，j）$-Wege/Pfade der Länge$r$an中$（i，j）$-湿/湿der Länge$r$ist eine Folge von律师事务所Knoten$v_0，v_1，\ldots，v_r\in v$，wobei für alle$k\in{0，\ldot，r-1}:~v_k E v_{k+1}$。

贝维斯

Einen Beweis der obigen Aussage erhält-man durch vollständige Induktionüber$r\in\mathbb（埃宁·贝韦斯·德·奥比根·奥萨根·埃尔特）{N} _0（0）$. Induktionsanfang$r=0$是一个常见的问题，da$A_G^0=I$（维度矩阵$|V|$）gilt und es für jeden Knoten$i\in V$genau einen$（i，i）$-Weg der Länge$0$gitt und keinen$（i，j）$-Weg der Lánge$0$下跌$i\neq j$。Sei还修女Aussage für$r\in\mathbb{N} _0（0）$bereits令人担忧。Nach定义镀金

\[（A_G^{r+1}）{i，j}=\sum_{k=1}^{|V|}。\]

Wenn wir gemäß朱利叶斯·普吕克 “在格莱春根莱森”ergibt sich nach obiger Formel der$i，j$-te Eintrag von$A_G^{r+1}$wie folgt：Nach Induktionsannahme entspricht公司$(A_G^r)_{i,k}$der Anzahl von$（i，k）$-Wegen der Länge$r$。Steht也在$(A_G)_{k,j}$因为1美元，所以在奥比根Summediese Zahl mit aufsummiert公司。在diesem Fall gibt es aber genau$(A_G^r)_{i,k}$$（i，j）$-Wege der Länge$r+1$，因此dass$k$der vorletzte Knoten im Weg ist。索芬$(A_G)_{k,j} = 0$镀金，gibt es keinen$（i，j）$-Weg der Länge$r+1$，所以dass$k$der vorletzte Knoten des Weges ist，weshalb$（A_G^r）_{i，k}$在diesem Fall in der Summe nicht berücksichtigt wird。Da die Summationüber alle möglichen“vorletzten”Knoten$k$läuft，is die Aussage damit beliesen（“沃莱兹滕”）。

功能和小程序

Wie die obige Aussage zeigt，kann man手套der Adjazenzmatrix$A_G$verschiede特征von$G$detektieren：

• Existenz/Anzahl von$（i，j）$-Wegen der Länge$r\in\mathbb公司{N} _0（0）$（Einträge von$A_G^r$）
• Existenz/Anzahl von$（i，j）$-Wegen mit einer Maximallänge$r \in \mathbb{N}_0$（Einträge von$\sum_{k=0}^r A_G^k$）
• Zusammenhang（存在于$\sum_{k=0}^{|E|}A_G^k$中的ein Nulleintag？）
• Dreiecke（Suche Indexpaar$（i，j）$mit$（A_G）_{i，j}=1$und$（A_ G^2）_{i，j}>0$）
• 等。

我不相信苹果是一个不受欢迎的人。gerichteten Graphen graphisch eingeben/manipulieren公司。Zeitgleich大足werden die Matrizen$A_G^r$（obere矩阵）bzw$\sum_{k=0}^r A_G^k$（计数器矩阵）ausgegeben。

Zur Bedienung des Applets公司：

• 模拟zum Applet auf这是在图表中吗？.
• ｛0，\ldots，|E|｝$einstellen中的滑块。

图形矩阵.cdy（死于Applet kann灰姑娘奥斯赫特·沃登）