有限域的康韦多项式
康韦多项式由R.Parker定义。其目的是提供有限域GF（p）中元素的标准符号n个)带有第页n个元素，p是素数。
例如，在计算机代数系统中使用它来获得可以在不同程序之间轻松移植的有限域元素。
Conway多项式也用于数据库中，如模块化地图集字符表，这是其定义的最初动机。
对于n=1，我们有GF（p）=Z/pZ，元素的标准表示法是通过代表0、…给出。。。，模p陪集的p-1这些元素由0<1<2<…<第1页。
对于n>1，存在递归定义。我们可以写GF（pn个)作为某些不可约多项式f（X）的GF（p）[X]/（f（X在n度的GF（p）[X]中。
在定义可能的f（X）中的哪一个是Conway多项式之前，我们引入GF（p）上n次多项式的一个序。设g（X）=gn个X（X）n个+ ... + 克0和h（X）=小时n个X（X）n个+ ... + 小时0.然后我们定义g<h当且仅当存在一个带克我=小时我对于i>k和（-1）n-k个克k个< (-1)n-k个小时k个.
这个康威多项式（f）p、 n个（十） 对于GF（pn个) 是关于这个排序的最小n次多项式这样：
- （f）p、 n个（X） 是monic吗
- （f）p、 n个（十） 是基本的，也就是说，任何零都是GF（p）的（循环）乘法群n个)
- 对于n的每个适当除数m，我们都有（f）p、 米（X）（第页n个-1） /（p米-1）)=0模块（f）p、 n个（十） ；也就是说，（pn个-1） /（p米-1） -第个f的零点的幂p、 n个（十） 是f的零p、 米（十）
这些多项式的存在性可以用中国余数表示定理。
对于基本性，检查每个适当（最大）除数k第页n个-1我们有fp、 n个（十） 不可分割X（X）k个-1.注意，对于这个，p的素因子n个-1都是必需的。它们以长时间运行的整数中的许多p和n而闻名工厂化项目通过互联网提供结果，请参见第页，共页理查德布伦特和乔纳森克朗比了解更多信息。
计算康威多项式基本上有两种方法。
第一个是遍历GF（p）上所有n次多项式遵守上述规定的顺序，并检查必要的条件。
第二种可能性是采用GF（pn个)并枚举该字段中满足兼容性的所有元素条件3。以上。然后检查每个元素是否为基元，并且如果是，则在GF（p）上计算其最小多项式。最小的这样找到的多项式就是康威多项式。
R.Parker使用这两种方法计算了一长串Conway多项式。这些在计算机代数系统中可用，如间隙或岩浆他们是在其他几个程序中使用，如MeatExe公司.
有时需要计算新的康威多项式，通常在较大零星群的模块表示的上下文。这是也是这个项目的动机，更准确地说是GF（6718)需要回答一些关于里昂的问题简单组。
而上述第一种方法是在GAP中实现的，第二个不可用。第一种方法是当兼容性条件很少时，即n是质数。（许多素数为n的多项式很容易计算间隙为pn个-1可以分解，但不是所有这些多项式明确包含在这些页面的表格中。）
GAP函数计算时间的粗略估计（f）67,18（十） 大于1010年。另一方面，大约有9*1010要考虑的因素用第二种方法。计算这样数量的最小多项式可以如果一个人同时使用多台计算机，那么就实际完成了。
我（在2001年）编写了一个带有中央服务器和多个客户端计算这些最小多项式并找到最小多项式的过程。程序的输入是用Magma计算的。使用大约60台电脑67,18（十） 可以在12天内计算。然后我决定系统地扩大已知康威的名单多项式，从可能成为其他零星简单群的模块表示很有趣。
与此同时，其他一些人提供了更多新的康威多项式，使用上述两种方法。我们的下表包含精确的参考。
参考和确认
康威多项式的定义和长长的列表都是由R.Parker给出的。这还没有公布，但名单已经飘浮了一段时间示例，包含在GAP或Magma中。Parker列表中的所有多项式现在通过独立程序进行检查。（包含一些列表/系统在一段时间内，p＝3、n＝21的情况下的错误多项式。但这是现在在我所知的所有系统中进行了更正。）
Conway多项式存在性的形式证明如下
W.镍，Endliche Körper在dem gruppentheoretischen程序系统中间隙,亚琛职业技术学院毕业论文（1988年）
计算所有最小多项式的计算方法在中重新发现了兼容元素
L.S.Heath和N.A.Loehr，有限域上生成Conway多项式的新算法领域,第十届ACM-SIAM年会会议记录离散算法（马里兰州巴尔的摩，1999），429-437，美国计算机学会，纽约（1999）
我对新康威多项式的计算是在计算机上完成的多个网络，有时单个网络上有100多台机器在工作案例。下面列出的列表的总计算时间大约为几个数十年的CPU时间。感谢同事和管理员提供对这些机器的访问权限。特别是我使用的机器来自：
- 年计算机科学部的64 x 400MHz PII集群苏格兰圣安德鲁斯
- RWTH计算机科学部26 x（2x500MHz）PIII集群亚琛，性能评估和分布式系统实验室
- 计算机科学系32 x 400MHz PII Joulian集群，波士顿东北大学
- 亚琛RWTH Fachbereich Mathematik 10 x 500MHz PIII池
- （当然）莱赫斯图尔·Dür Mathematik，RWTH的各种机器亚琛
否则，最后提到的两个网络的空闲CPU周期（部分更新更快的机器）仍用于计算更多即将实现的多项式。
R.Parker在2004年计算的许多多项式都是在机器由DPMMS（DPMMS）在剑桥。所需的较大特征的因式分解是通过以下程序计算的在这里.
多项式
下面我们提供了几乎所有目前已知的康威多项式的列表。（如上所述，素数为n的其他多项式可以是用GAP很容易计算，只要第页n个-1可以计算或已知。）如果你知道一个复合n的康威多项式，它在这些函数中是缺失的名单，请告诉我！
每个多项式后面都有一个链接，指向关于其原点的注释。然而，大多数多项式也由独立程序进行了检查。
导入这些数据
上述所有多项式均在GAP中提供，网址为最低版本4.4.10。（2007年9月）
您可以使用以下命令从这些页面导入数据数据文件（1028 kB，或gzipped版本219 kB）。它有以下格式：
- 第一行包含
所有Conway多项式：=[
- 最后一行包含
0 ];
- 其他行具有该形式
[p，n，[a0，a1，…，1]]，哪里第页是质数，n个一个正整数和[a0，a1，…，1]是一个整数列表康威多项式fp、 n个（X） ================================================================(a0模块第页) + (a1级模块第页)X+（X+）(a2类模块第页)X（X）2+ ...+ X（X）n个.
文件可以按原样读入，例如GAP或Maple。应该很容易做到用其他程序解析它，可能需要用编辑器稍作准备。