非均匀多尺度方法

HMM（异构多尺度方法）和多尺度建模的“无方程”方法。许多人都问过这样的问题：它们到底是什么？有什么相似之处和不同之处？它们真的有用吗？它们的潜在用途是什么？为了解决这些问题，我们必须把自己放在背景中在HMM之前已经存在的相关文献，以及``开发了无方程式“”。大多数人似乎没有意识到许多成功的捕获算法利用微尺度模型研究系统的宏观行为在HMM和“无等式”之前。Achi Brandt还提出了开发此类算法，通过使用插值在宏观和微观状态/模型之间切换和限制运算符，并对小型短时窗户。这些历史很少被讨论。此外，很难确定什么是“无方程”。

几年过去了。现在有大量关于HMM和“无方程式”。现在也许是开始的好时机解决上述问题。

本页提供了一些背景资料以及一些个人信息对这些问题的看法。还邀请了“无等式”方法的主要参与者提供他们的观点。这些将被发布收到后。

第1节。个人观点：

• 西澳大利亚州，HMM和多尺度建模的“无方程”方法，预打印。
• 西澳大利亚州，对发布的论文的评论.

第2节。一些经典示例：

• R.Car和M.Parrinello，分子动力学和密度泛函理论的统一方法，物理。修订稿。，第55卷，第22期，第2471-2474页，1985年。
• J.Knap和M.Ortiz，准连续介质方法分析，J.机械。物理。固体。，第49卷第9期，第1899-1923页，2001年。
原始的准连续介质方法在局部使用Cauchy-Born规则区域。此版本使用基于集群的求和规则，并且更接近与这里讨论的话题有关（不仅在哲学上，而且在技术细节）。
• S.M.Deshpande，连续气体动力学的Boltzmann格式, 1992.
有许多关于气体动力学动力学方案的重要论文。本文是根据该领域一些专家的建议而选择的。
• W.W.Grabowski和P.K.Smolarkiewicz，CRCP：模拟热带对流的云分辨连接参数化气氛《物理D》，第133卷，171-1781999年。

第3节。Brandt的评论：

• A.Brandt，多尺度科学计算：2000年回顾，预印本，2000，多尺度和多分辨率方法：理论与应用，约塞米蒂教育研讨会会议记录。，2000,Comp.课程讲稿。科学。和工程师，T.J.Barth等（编辑），第20卷，第3-96页，Springer-Verlag，2002年。
本审查概述了一种通用方法，现称为“系统升级”，对于多尺度、多物理问题，基于``多重网格法的插值-平衡-约束策略。它在许多方面超越了经典的多重网格方法。与此讨论特别相关的要点是：它旨在捕获闭式宏观方程为不可用，它试图通过执行在小窗口上进行微观模拟，很少扫描。这是一篇很长的文章。读者可能想查阅第14节，了解例如。尽管整体哲学已经明确阐述，并且有许多例子经讨论，算法细节相当不清楚。

第4节。一些HMM论文：

• W.E和B.Engquist，异质性多尺度方法，通信数学。科学。，第1卷，第1期，第87-132页，2003年。
• W.E和B.Engquist，多尺度建模与计算，Amer的通知。数学。Soc.，第50卷，第9期，第1062-1070页，2003年。
• E.Vanden-Eijnden，具有随机效应的多尺度动力系统的数值技术，公共数学。科学。，第1卷，第2期，第385-391页，2003年。
• W.E、B.Engquist、X.Li、W.Ren和E.Vanden-Eijnden，异质多尺度方法综述、通信计算。物理。，第2卷第3期，第367-450页，2007年。

第5节。一些“无等式”论文：

• I.G.Kevrekidis、C.W.Gear、J.M.Hyman、P.G.凯夫雷基迪斯、O.Runborg和C.西奥多罗普洛斯，无等式、粗粒度多尺度计算：使微观模拟器能够执行系统级分析，公共数学。科学。，第1卷，第4期，第715-762页，2003年。
• G.Hummer和I.G.Kevrekidis，肽片段的粗略分子动力学：自由能、动力学和长期动力学计算，J.化学。物理。，第118卷，第23期，第10762-10773页。
• R.Erban、I.G.Kevrekidis、D.Adalsteinson和T.C.Elston，基因调控网络：一种多尺度的粗粒度、无方程方法计算，J.化学。物理。，第124卷，0841062006。
这是多尺度建模的一个非常有趣的应用。然而使用的方法主要是经典的“基于方程”预计算技术：假设Fokker-Planck方程的一个简单形式成立。使用微观模型预计算系数。然后使用福克-普朗克方程来计算自由能分布和首次通过时间。许多“无等式”论文都是这种风格的。这是已经使用的标准顺序耦合方法很长一段时间。将这种方法称为“无等式”只会导致混淆。这不是语义问题，它说明了这种困难当你试图理解时，你会面对‘无等式’应该是什么。
• J.Li、P.G.Kevrekidis、C.W.Gear和I.G.kevreki迪斯，通过微观模拟确定粗略方程的性质：婴儿洗澡水计划《SIAM评论》，第49卷，第3期，第469-487页，2007年。
• G.Samaey、D.Roose和I.G.Kevrekidis，对流均匀化问题的有限差分块动力学，预打印。

第6节。HMM和“无等式”问题的具体示例讨论：这是HMM还是“无等式”？

• E.Vanden Eijnden，具有随机效应的多尺度动力系统的数值技术，公共数学。科学。，第1卷，第2期，第385-391页，2003年。
• D.Givon、I.G.Kevrekidis和R.Kupferman，奇异摄动射影积分格式的强收敛性随机微分系统，公共数学。科学。，第4卷，第4期，第707-729页，2006年。
• E.Vanden-Eijnden，关于多重系统的类HMM积分器和投影积分方法时间刻度，公共数学。科学。，第5卷，498-5052007年。

第7节。试图理解“无等式”：

• W.E和E.Vanden-Eijnden，多尺度建模中“无方程”方法的一些关键问题，预打印。