//-*-C++-*-//由autodoc自动生成//====~====头文件src/aux0/二项式.h：==========内联ulong二项式（ulong n，ulong k）；//==============标题文件src/aux0/cayley-dickson mult.h:==========内联int CD_sign_rec（ulong r，ulong c，ulongn）；//乘法表中的符号//n离子代数（其中n是2的幂）//通过Cayley-Dickson结构获得：//如果分量r与分量c相乘，则//结果是CD_sign_rec（r，c，n）*（r XOR c）。//乘法规则为//（a，b）*（a，b）=（a*a-b*conj（b），conj（a）*b+a*b）//式中，conj（a，b）：=（cong（a），-b）和conj（x）：=x代表x实//[如果规则更改为，则获取换位规则/表//（a，b）*（a，b）=（a*a-conj（b）*b，b*conj（a）+b*a）]//必须有：r<n和c<n。//我们有ex*e0=e0*ex=ex，ex*ex=-1代表x！=0,//x的ex*ey==-ey*ex！=y、 x！=0，y！=0//示例（辛烷值，n=8）：//（er*ec）e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7//e0:+e0+e1+e2+e3+e4+e5+e6+e7//e1:+e1-e0-e3+e2-e5+e4+e7-e6//e2:+e2+e3-e0-e1-e6-e7+e4+e5//e3:+e3-e2+e1-e0-e7+e6-e5+e4////e4:+e4+e5+e6+e7-e0-e1-e2-e3//e5:+e5-e4+e7-e6+e1-e0+e3-e2//e6:+e6-e7-e4+e5+e2-e3-e0+e1//e7:+e7+e6-e5-e4+e3+e2-e1-e0//第r行、第c列的符号等于CD_sign_rec（r，c，8）：// + + + + + + + +// + - - + - + + -// + + - - - - + +// + - + - - + - +// + + + + - - - -// + - + - + - + -// + - - + + - - +// + + - - + + - -//这是一个（8 x 8）哈达玛矩阵。//第二行是（有符号的）Thue-Morse序列，//参见OEIS序列A118685、A010060和A106400。内联int CD_sign_it（ulong r，ulong c，ulongn）；//CD_sign_rec（）的迭代版本内联bool CD_zerodiv_q（ulong r，ulong c）；//返回（r+c），其中r和c是单位//是Cayley-Dickson代数中的零因子。//====~====头文件src/aux0/cmult.h：==========静态内联void csqr（double&u，double-v）；//{u，v}<--|{u*u-v*v，2*u*v}静态内联void csqr_n（double&u、double-v、double dn）；//{u，v}<--|{dn*（u*u-v*v），dn*（2*u*v）}静态内联void csqr（双a，双b，；双u型、双u型和v型）//{u，v}<--|{a*a-b*b，2*a*b}静态内联void cmult（双c，双s，；双u型、双u型和v型）//{u，v}<--|u=u*c-v*s；v=u*s+v*c静态内联void cmultn（双c，双s，；双u型、双u型和v型，双dn）//｛u，v｝<-|｛dn*（u*c-v*s），dn*（u*s+v*c）｝静态内联void cmult（双c，双s，；双x，双y，双u型、双u型和v型）//{u，v}<--|{x*c-y*s，x*s+y*c}静态内联void cmult（双c，双s，；复数x，复数y，复杂（&u）、复杂（&v）//{u，v}<--|{x*c-y*s，x*s+y*c}//用于生成的复杂fhts静态内联void cmult（复数c，复数s，；复数x，复数y，复杂（&u）、复杂（&v）//{u，v}<--|{x*c-y*s，x*s+y*c}//用于生成的复杂fhts静态内联void cmult_inv（双c，双s，；双x，双y，双&u，双&v）//{u，v}<--|{x*c+y*s，-x*s+y*c}//与cmult（c，-s，x，y，u，v）相同静态内联void cmult_inv（双c，双s，；复数x，复数y，复杂（&u）、复杂（&v）//{u，v}<--|{x*c+y*s，-x*s+y*c}//与cmult（c，-s，x，y，u，v）相同//用于生成的复杂fhts静态内联void cmult_inv（Complex c，Complex s，；复数x，复数y，复杂（&u）、复杂（&v）//{u，v}<--|{x*c+y*s，-x*s+y*c}//与cmult（c，-s，x，y，u，v）相同//用于生成的复杂fhts//====~====头文件src/aux0/csincos.h:==========静态内联复数SinCos（双φ）；//===========标题文件src/aux0/阶乘.h：==========内联类型阶乘（类型n）；//返回n！//.//对于n<=12 n！适合32位。//对于n<=20 n！适合64位。//对于n≤34 n！适合128位。//对于n≤57 n！可容纳256位。inline类型ffactpow（类型x，类型n）；//阶乘下降。inline Type rfactpow（类型x，类型n）；//阶乘功率上升。//=====头文件src/aux0/fibonacci.h：==========内联ulong-fibonacci（ulong-n）；//返回第n个斐波那契数//限制：F（n）必须适合ulong//32位：n≤47，F（47）=2971215073[F（48）=4807526976>2^32]//64位：n<=93 F（93）=12200160415121876738[F（94）>2^64]内联void fibonacci_pair（ulong n，ulong&f0，ulong&f1）；//将f0设置为F（n），第n个斐波那契数，以及//f1到F（n-1）。//限制：F（n）必须适合ulong//32位：n≤47，F（47）=2971215073[F（48）=4807526976>2^32]//64位：n<=93 F（93）=12200160415121876738[F（94）>2^64]//====~====头文件src/aux0/gcd.h：==========gcd型（a型、b型）；//返回a和b的最大公约数。egcd型（u型、v型、tu1型、tu2型）；//返回u3并设置u1、v1，以便//gcd（u，v）==u3==u*u1+v*u2//类型必须是签名类型。//.//参见Knuth2，第325页类型binary_ugcd（类型a，类型b）；//返回a和b的最大公约数。//未签名类型的版本。类型binary_sgcd（类型a，类型b）；//返回a和b的最大公约数。//已签名类型的版本。lcm型（a型、b型）；//返回a和b的最小公倍数。//====~====头文件src/aux0/ipow.h：==========1类ipow（1类a，2类ex）；//返回**ex//====~====头文件src/aux0/ldn2rc.h：==========静态内联void ldn2rc（ulong ldn，ulong&nr，ulong&nc）；//输入ldn:=log_2（n）//设置nr、nc，使nr*nc=n且ldr>=ldc//用于基于矩阵fft的卷积。//====~====头文件src/aux0/print-fix.h:==========//-----SRCFILE=src/aux0/print-fixed.cc：-----void print_fixed（const char*bla，double v，long nd，bool sq）；//精确打印v的第nd位//如果sq，打印符号=0//=====头文件src/aux0/rand-idx.h:==========内联ulong rand_idx（ulong m）；//返回[0，1，…，m-1]范围内的随机数。//必须具有m>0。//====~====头文件src/aux0/randf.h：==========//-----SRCFILE=src/aux0/randf.cc：-----uint rseed（uint s/*=0*/）；双rnd01（）；//[0,1中的随机数[无效rnd01（双*f，ulong n）；//用[0,1中的随机数填充[双白噪声（）；//返回一个白噪声样本（平均值=0，σ=1）。void white_noise（双*f，ulong n）；//用白噪声样本填充数组（平均值=0，σ=1）。//====~====头文件src/aux0/sincos.h:==========静态内联void SinCos（双a、双*s、双*c）；静态内联void SinCos（双a、双*s、双*c）；静态内联空隙SinCos（双a、双*s、双*c）；//====~====头文件src/aux0/sumdiff.h：==========静态内联void sumdiff（类型&a，类型&b）；//{a，b}<--|{a+b，a-b}静态内联void sumdiff_r（类型-a，类型-b）；//{a，b}<--|{b+a，b-a}//按比例缩放diffsum（a，b）的倒数（因子2）。静态内联void sumdiff05（类型&a，类型&b）；//{a，b}<--|{0.5*（a+b），0.5*（a-b）}静态内联void sumdiff05_r（类型&a，类型&b）；//{a，b}<--|{0.5*（a+b），0.5*（b-a）}静态内联void diffsum（类型&a，类型&b）；//{a，b}<--|{a-b，a+b}//按比例缩放（因子2）sumdiff_r（a，b）的倒数。静态内联void sumdiff（类型a、类型b、类型&s、类型&d）；//{s，d}<--|{a+b，a-b}静态内联void sumdiff05（类型a、类型b、类型&s、类型&d）；//{s，d}<--|{0.5*（a+b），0.5*（a-b）}静态内联void sumdiff3（类型&a、类型b、类型&d）；//{a，b，d}<--|{a+b，b，a-b}（用于分割半径FFT）//切勿调用类似func（a，b，a）或func（a，b，b）的函数静态内联void sumdiff3_r（类型-a、类型b、类型-d）；//{a，b，d}<--|{a+b，b，b-a}（用于分割半径FFT）//切勿调用类似func（a，b，a）或func（a，b，b）的函数静态内联空心扩散管3（类型a、类型&b、类型&s）；//{a，b，s}<--|{a，a-b，a+b}（用于分割半径FFT）//切勿调用类似func（a，b，a）或func（a，b，b）的函数静态内联void diffsum3_r（类型a、类型&b、类型&s）；//{a，b，s}<--|{a，b-a，a+b}（用于分割半径FFT）//切勿调用类似func（a，b，a）或func（a，b，b）的函数//====~====头文件src/aux0/swap.h：==========静态内联空抽汲2（类型&x，类型&y）；//交换值静态内联无效swap0（类型&x，类型&y）；//已知y为零的swap（）//====~====头文件src/aux0/tex-line.h：==========//-----SRCFILE=src/aux0/tex-line.cc：-----void tex_line（长x0，长y0，长x1，长y1，bool vq/*=true*/）；//打印TeX命令以绘制从（x0，y0）到（x1，y1）的矢量（或直线）。//设置vq以将线绘制为矢量。//对于（dx，dy）{length}和\vector（dx、dy}{length}//注：对于（dx，dy）{length}和\vector（dx、dy}{length}//参数“length”是的垂直坐标//垂直线段，否则为水平坐标。inline void tex_line（ulong x0，ulong y0，ullong x1，ulon y1，bool vq=true）；void tex_line_fl（双x0，双y0，双x1，双y1，bool vq/*=true*/）；//打印TeX命令以绘制从（x0，y0）到（x1，y1）的向量（或直线）。//设置vq以将线绘制为矢量。//注：对于（dx，dy）{length}和\vector（dx、dy}{length}//参数“length”是的垂直坐标//垂直线段，否则为水平坐标。无效tex_draw_turn（双x，双y，双dx，双dy，双ndx，双ndy，乌龙风格，bool vq/*=真*/，双倍m/*=0.25*/）；//绘制转弯部分//X1=（x，y）超过X2=（x+dx，y+dy）到X3=（x+ndx，y+ndy）//如下所示。//NX==X+DX：//*X2*X3：//*X1\：//X/\==NX+NDX：