在这篇论文中，我们考虑了统计力学中出现的两个经典组合问题：格图中的计数匹配和自空游动。第一个问题是研究晶体中单体和二聚体（双原子分子）的热力学性质。Fisher、Kasteleyn和Temperley发现了一种精确计算二维晶格中完美匹配数的优雅技术，但它不适用于任意大小的匹配，也不适用于更高维的晶格。我们提出了计算任意维周期晶格中任意大小匹配数的第一种有效近似算法。该算法基于对适当马尔可夫链的蒙特卡罗模拟，并严格推导出不依赖任何假设的性能保证。此外，我们还证明了这些结果推广到任何图中的计数匹配，该图是有限群的Cayley图。第二个问题是计算格子中的自空游动。这个问题是在研究稀溶液中长聚合物链的热力学时出现的。虽然在实践中有许多蒙特卡罗算法用于计算自回避行走，但这些算法都是启发式的，其正确性依赖于未经验证的猜测。相比之下，我们提出了一种有效的算法，该算法依赖于一个比前面的假设更简单的、广为信服的单一猜想，更重要的是，该算法本身可以进行测试。因此，我们的算法是可靠的，从这个意义上说，它要么以较高的概率输出保证正确的答案，要么为猜想找到反例。在这两种情况下，我们都知道我们可以信任我们的结果，并且保证算法在多项式时间内运行。这是第一个计算错误边界受到严格控制的自空行走的算法。
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