本文的研究是双重的。一方面，我们通过推导高阶局部人工边界条件（ABC），将无界条带上的次扩散（$0<\alpha<1$）和扩散波（$1<\alfa<2$）问题简化为初边值问题（IBVPs）。在此基础上，我们证明了具有高阶局部ABC的IBVP在L2-norm中是稳定的。另一方面，通过使用L1近似离散时间导数和使用有限差分方法离散空间导数，构造了无条件稳定的格式来数值求解IBVP。我们提供了细分扩散情形的完整误差估计，并简述了扩散波情形的证明。为了进一步降低计算分数导数的计算和存储成本，在$0<\alpha<1$的情况下使用了[14]中提出的快速算法，在本文中首先介绍了一种用于$1<\alfa<2$的类似算法。通过数值算例验证了我们的ABC和数值方法的有效性和性能。
