训练具有高保真雷诺应力的数据驱动湍流模型这可能是不切实际的，最近这些模型已经通过速度和压力测量进行了训练。用于基于梯度的优化，例如训练深度学习模型，这需要评估RANS方程的灵敏度。这篇论文探讨了RANS方程灵敏度的集合近似在使用间接观测训练数据驱动湍流模型中的应用。A深使用反向传播获得的网络梯度和RANS的系综近似来训练表示湍流模型的神经网络敏感性。探讨了不同的系综近似，并基于给出了样本空间上的显式投影。作为验证，将不同方法的梯度近似与连续伴随方程的梯度近似进行了比较。然后使用系综近似来学习不同的湍流速度观测模型。在所有情况下，学习的模型预测改进速度。然而，观察到一旦速度对基础模型变小，集合梯度的近似性质阻碍了基础模型的进一步优化。的优点和局限性讨论了系综梯度近似，特别是与伴随方程。