我们探索形式的最小化问题
$$\text{Inf}\left\{\int ^1_0|u'|+\sum^k_{i=1}|u(a_i)-f_i|^2+\alpha\ int ^1_0|u|^2 \ right \}$$
其中$u$是定义在$(0,1)$上的函数,$(a_i)$是$(0,1)$中的$k$给定点,其中$k\geq 2$,$(f_i)$$k$是给定实数,$\alpha\geq0$是一个参数,为简单起见,取$0$或$1$。自然函数设置是Sobolev空间$W^{1,1}(0,1)$。当$\alpha=0$时,Inf在$W^{1,1}(0,1)$中实现。然而,当$\alpha=1$时,$W^{1,1}(0,1)$中不需要存在极小值。首先引入定义在空间$BV(0,1)$上的松弛泛函,其极小值总是存在的,可以看作是原不适定问题的广义解。
},issn={1573-8175},doi={https://doi.org/10.4208/ata.OA-0017},网址={http://global-sci.org/intro/article_detail/ata/13616.html}}