在1991年的一篇论文中,R.Mercer断言Cartan双模Cartan双模代数A之间的同构1和A2唯一地延伸到冯·诺依曼的正规*-同构由A生成的代数1和一个2(Mercer的推论4.3,1991年)。默瑟的论点依赖于Muhly、Saito和Solel,1988(定理2.5,那里)。不幸的是,文献支持中的论据他们的定理2.5包含间隙,因此默瑟的证明是不完整的。在本文中,我们使用了大纲在Pitts,2008,备注2.17中,提供附加假设下的Mercer定理Cartan双模同构是σ-弱连续的。不同Mercer和Muhly Saito Solel,我们避免在费尔德曼·摩尔,1977年;作为一个因此,我们的证明不需要von Neumann代数由代数A生成我有可分离的前驱体。这个这种观点也对冯·诺依曼(von Neumann)产生了一些见解Cartan对(M,D)的子代数,例如加强Aoi的成果,2003年。
我们还研究了von上各种拓扑之间的关系Neumann代数M与Cartan MASA D。这提供了参数化Bures-closed双模族的必要工具就某个阿贝尔冯的投影而言诺依曼代数;这一结果可能被视为双模谱定理,是证明中的一个关键成分默瑟定理的版本。我们的结果导致了σ-弱闭双模的谱综合我们证明了M的任何von Neumann子代数其中含有D是合成的。
我们观察到,辛克莱和史密斯的结果表明,任何卡特尔冯·诺依曼代数中的MASA在波普、辛克莱和史密斯的感觉。