除数图
探索复合数字模式
预设视图
介绍性的
根抛物线
轻快的卷轴
百万平方根
12阶乘
强力下降
双原纸卷轴
平方根卷轴
立方体根卷轴
para2涡卷
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质数
除数对
根部边界
根抛物线
轴
数字线
除数线
密钥编号
除数
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(单击拖动视图,或使用键盘)
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范围
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水平
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率
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>
除数滴和平方根波
通过
杰弗里·文特雷拉
素数是复数模式中的空穴
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目录
1
模式探索之旅
2
除数滴和反射光线
三。
平方根脊椎
4
Fantabulous抛物线
5
共振波
6
与数字螺旋的关系
7
多除数,多路径
8
应急模式
9
数字的新认识
10
工具书类
11
鸣谢
1.模式发现之旅
“素数是去掉所有模式后剩下的数字。”
-马克·哈登,
深夜小狗神秘事件
,
第12页
写出数字1到10。
其中四个数字是
首要的
:2、3、5和7。
除1之外,它们没有整数除数
和他们自己。
现在,将这十个数字的整数除数写在下面的列中,
如图所示,根据它们的大小垂直隔开。
正如你所料,在素数下面有视觉上的空隙。
其他数字的除数多于2。
它们部分填充了1行下方的右三角形区域,
在左下角的数字对角线上方。
这些是
复合数
如果你问我,他们是
比素数有趣多了!
你可能不认为这是一个非常有趣的模式。
但是,如果你一直把数字线延伸得很远,延伸到一个很大的数字,
比如说,九千万?
在那里,你会看到一些令人惊叹的东西。
这就是这本书的主题。
有一次,当我还是个小男孩的时候,我拿了一张纸和一支铅笔,开始了
绘制这个图表只是为了好玩。
把数字标到一百之后,
我开始看到图案。
当时,我从未听说过
埃拉托斯特尼筛
,
但这就是我所想象的。
我一点也不知道那二十
几年后,我会凝视同样的数字图——只是这次是在
电脑屏幕。
根据数学家Gregory Chaitin的说法,“一个概念只有和
它导致的定理。。。
也许我们应该关注的不是素数
相反,最大可除数!
“[1]。我读了这份声明
在Chaitin的书中
元数学!
,
在画了几十年铅笔画之后。
这让我想起了那些模式和它激起的好奇心。
我刚刚介绍了这本书,就把它扔了下来
跑到我的电脑前。
可能是Chaitin过度使用感叹词
这些标记让我感到愤怒,但我怀疑还有其他原因!!!
我决定回到这幅画上,更深入地探索它。
所以我
创建了交互式计算机可视化
(现在可以在
divisorplot.com
它允许探索具有更大除数范围的大数。
当我使用交互式工具探索这个数字空间时,
我发现了更多的模式。
我想和你分享一些激动人心的事
这些发现中的一个。
现在让我们在数字线上再往前看一点。
在下图中,请注意右上角区域开始出现的图案。
如果我们进一步缩小视图并将数字改为点,我们会看到更多的图案。
以下是151080附近数字线部分的1到120之间的除数。
为什么这些模式看起来很复杂,几乎是随机的?
特别是考虑到用于绘制它们的规则的简单性。
它们表现出明显的随机性,是的,但也有一定的顺序。
人类大脑模式的饲料。
这就是这本书的真正内容——探索这些模式存在的原因。
这一探索是从一个非数学家的角度来解释的:一个视觉语言专业人士,在寻找这些模式的过程中,他成为了一个最普遍和一般意义上的数学家,即所有人都是数学家。
只是大多数人说的是一种由图片、物理结构、手势、音乐和语音节奏组成的数学语言,而不是使用连接在一起的特殊符号字母表来进行数学记谱。
虽然定理和证明的创造可能是数学的定义顶峰,但导致它们的探索对所有人来说都是普遍的。
许多教育工作者认为,我们应该鼓励年轻学生体验这种非常人性化的模式发现:在不得不阅读充满枯燥方程式和无实体公式的密集教科书之前,先将数学的美和价值内化,而这些教科书没有目的,也没有美学。
无论年轻还是年老,专业还是新手,我们都是模式主义者。
图案填充是数学中非常有创意、非常人性化的一面。
在
黄金时期的音乐
,
马库斯·杜·索托(Marcus du Sautoy)解释了数学家是如何在感觉自己富有创造力和发现绝对真理之间摇摆不定的。
他说:
“虽然素数和数学的其他方面都超越了文化障碍,但数学的许多方面都是创造性的,是人类心理的产物。数学家讲述的关于他们的主题的故事,往往可以用不同的方式讲述。威尔斯对费马大定理的证明,对外星人来说,可能就像对李一样神秘。”
坚持瓦格纳环循环。
数学是一种受约束的创造性行为,比如写诗或演奏布鲁斯。
数学家受到他们在制作证明时必须采取的逻辑步骤的约束。
然而,在这样的限制下,仍然有很多自由。
事实上,在约束条件下创作的美妙之处在于,你被推向了新的方向,并发现了一些你可能从未想过自己会发现的东西。
素数就像音阶中的音符,每种文化都选择以自己特定的方式演奏这些音符,揭示出比人们预期的更多的历史和社会影响。
素数的故事就像发现永恒真理一样,是社会的一面镜子”[3]。
杜索托所说的是从不同的角度看待事物。
虽然他认为素数是“音阶中的音符”,而且每个文化都以不同的方式演奏这些音符,但我认为素数根本不像音符。
它们是音符之间的无声空间。
这些音符组成了一部宏伟的交响乐,充满了优美的对称性。
用来演奏交响乐的乐器是合成数字。
这本书遵循的一个重要范式转变是质数不是这部电视剧的主角。
它们并不是所有数字的组成部分。
这场秀的明星是复合数字,具有对称性和美丽的分形状结构,当你沿着数字线冒险到达越来越大的数字时,这种结构会不断增长。
我希望这本书能让你以不同于通常描述的方式来思考“数字”:不是作为一张纸上枯燥乏味的符号,也不是作为一个表达单一数量的概念,而是作为一种位于具有复杂结构的重叠模式社会中的模式。
如果你仔细听一个非常大的复合数字,你可以听到里面正在演奏交响乐。
这还不是全部:每个数字都有自己独特的交响乐作品。
素数呢?
它们不发出任何声音。
整数、模式和人类智能
当我凝视着这些在黑色背景上以白色渲染的除数点(因为我更喜欢在电脑屏幕上渲染它们)时,我有一种作为古代天文学家试图在混乱中找到某种秩序的感觉。
在下面的黄昏星空图中,星星看起来是随机散布的,但实际上它们是根据这个非常简单的规则绘制出来的。
当你凝视这片星空时,你可能会发现战车、大熊和蝎子,就像古代天文学家所做的那样。
但对我来说,最有趣的模式是揭示数学真理的模式。
卡尔·萨巴赫认为,如果宇宙中其他地方有智慧生命,它将能够进行数字计算。
“天空中的恒星是离散的点,它们呼喊着要被整个宇宙的智慧生物(至少是那些能看到的人)数数。”[8]。
计数自然会得出2+2=4这样的真理,以及所有的整数数学、素数。
利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker)说:“上帝创造了整数,其余的都是人类的事。”我们有着壮丽的枕叶,我们的大脑天生就有意识和无意识地在各个层面上寻找模式。
我对这些模式的探索始于我的视觉模式搜索大脑,并逐步将语言和数学应用于我的发现。
我相信这是人类数学的自然轨迹。
大处着眼
鲁迪·拉克说
,
“自然数有无限多。
它们像没有海岸的海洋一样,四面八方包围着我们。
与数字的海洋相比,我们的整个星空,就是
比试管虫肠道中的细菌还少
10公里深的滨海海沟底部的火山口”[7]。
拉克用丰富多彩的语言表明了一点:我们无法理解真正大的数字的浩瀚(例如10的一百万次方)。
但我们可以很好地掌握模式。
小数字很容易体验,尤其是小于5的非常小的数字,即
可替代的
一个(我们中的大多数人不需要数数就能立即在脑海中抓住它们:想象一下走进厨房,发现桌子上碗里有三个苹果)。
但随着数字越来越大,我们需要模式化、计数、迭代来理解它们。
这就是为什么我们使用十进制(或任意进制)将数字组合成缩放块的原因。
当数字真的很大时,它们只能作为模式来体验。
就大脑而言,可能所有的数字都是以模式的形式处理的(即使是可细分的数字,但我们的大脑有特别有效的神经网络,可以产生即时识别的感觉)。
最近的大脑研究已经确定了人类顶叶皮层中与小数字数字处理相关的不同模式,因此我们可能很快就会发现更多关于这种神经模式的信息。
拉马努詹
他可能有异常的神经网络,使他能够像孩子抓到三个苹果一样,以同样的即时性和即时清晰度体验大素数。
体验数字真的可以归结为潜意识层面的模式(就像其他一切一样)。
但是,对于数字交流来说,真正重要的是我们用来命名数字的语言以及我们用来理解数字的可视化。
数字越大,人类大脑就越难将其作为一个单一的量来计算。
事实上,考虑到数字20惊人的对称性和交织的内部结构!
(二十阶乘),把它看作一个单一的量是没有多大用处的:2432902008176640000。
这个数字里面有更多的内容。
重叠图案
根据麦克斯韦、爱因斯坦、施罗德、德布罗意、克利福德、惠勒的理论,
费曼和其他许多人可能会得出这样的结论:宇宙中的一切都可以
用重叠波来描述。
雷·汤姆斯
[12] 这表明宇宙由许多频率的驻波组成,并在许多方面重叠。
这些波的组合产生谐波。
托马森
[11],
沃尔夫拉姆
[14] 和其他人,对我发现的用来说明素数分布的图产生了一些小的变化。
这里显示了其中一些。
我于2007年10月在
复杂系统国际会议
波士顿[13]。
自从在divisorplot.com上发布该网站以来,许多素数模式探险家都与我联系过,他们的一些发现也在本书中分享。
大卫·考克斯(David Cox)在2008年发表了一篇名为
埃拉托斯坦筛的可视化
[2].
从考克斯的论文中复制的图像如下所示。
稍后我们将讨论考克斯的一些观察结果。
积木还是空地?
我们听说素数被描述为所有数字的“积木”。
让我们彻底改变这个概念。
相反,让我们把素数看作重叠对象后面的负空间。
想象一下,一系列尖桩篱笆堆叠在一起。
每个尖桩栅栏的木条之间有不同的间距。
栅栏的重叠创造了线条
莫尔条纹
.
考虑一下
埃拉托斯特尼筛
,
每个阶段都需要沿着数字线跳跃,步长越来越大的过程。
这项活动逐步压印出合成数字,以识别素数。
这有点像堆叠这些尖桩栅栏,每一个栅栏的板条之间都有较大的间隙,以消除漏洞。
有些洞将一直存在。
这些是素数。
提出错误的问题
人们仍然在问,“数轴上质数的分布公式是什么?”“我们如何预测下一个质数何时出现?”“质数的心跳是什么
所有人都说,心跳从一开始就在颤抖,其不稳定的行为没有停止的迹象。
问题是,这些问题是基于一个思维模型,该模型坚持沿着从0到无穷大的数字线前进。
它是超线性的。
素数的分布可以更好地理解为重叠复合数模式的伪影。
例如,看看这个前100个素数与除数图的对比图。
我选择了合成数42和60作为例子,说明它们的近邻素是如何表现出左右对称的。
事实上,我的一位数学家朋友告诉我,这种对称性不仅存在于邻近区域,而且还远远超出了邻近区域。
这种对称性在一定距离后似乎会被打破,这是因为许多复合数字模式的重叠效应——每个模式都有自己的对称模式。
在这本书的后面,我们将探索关于某些复数的更多对称形式。
A定义
我年轻时发现的图表似乎没有名字,尽管它的小版本在文献中多次出现。
我把这个图叫做“除数图”。
它可以定义为x,y平面(其中y为正)中x mody=0的所有整数位置的集合。
让我们把这些整数位置称为“除数”。
作为整数位置,这些除数位于大小为1的2D晶格上。
每个位置的y坐标都是x的除数。我喜欢使y轴指向下方,这样y值越大,y值越低。
它可以很容易地以相反的方式绘制,但我发现这种方式最容易可视化。
展开除数函数
整数x的除数(称为
除数函数
)表示为d(x)。
在这本书中,我将把x的实际除数集称为Dx。
例如,D6={1,2,3,6}。
每个Dx都是唯一的,这一事实与算术基本定理有关,该定理指出,每个整数都可以被描述为素数的唯一乘积:没有两个整数具有相同的素数除数集。
类似地,没有两个整数具有相同的Dx。
除数函数是一个整数除数的计数。
如果你在数字线上绘制除数函数的图形,你会注意到它非常参差不齐。
这与素数著名的交错分布——颤动的心跳——直接相关。
想象一下,压缩除数图,使所有除数堆积成垂直列。
除数函数图可以看作是除数图中除数的垂直叠加。
有时,理解看似随机的事物的方法是将其视为地面而非图形,或视为更高维度中某物的阴影。
也许这就是我们应该如何看待素数。
数字通常被视为位于一维线上。
不要把素数看成是高维物体投射的阴影。
也许这就是为什么伯恩哈德·里曼能够发现
观察素数的新方法
:
他部署了复杂的平面,这是一个丰富的二维背景,在其中可以发现素数分布的一些信息[6]。
让我们按照Chaitin的呼吁来研究最大复合数,而不是素数。
复合材料是所有模式的生成器。
素数是洞、阴影、,
人影后面的地面。穿过埃拉托斯梯尼筛的东西很远
不如筛子本身有趣。
同样,我们用来生成的工具
随机序列,如Golden Ratio和Pi(工具,如
斐波那契数列
和
布冯针
)比随机序列本身有趣得多。
毕竟,在随机序列中没有信息。
为什么要花这么多时间看呢?
下一章:
2.除数滴水和反射光线
目录
1
模式探索之旅
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除数滴和反射光线
三。
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奇妙的抛物线
5
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多除数,多路径
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