欧拉函数与定理

欧拉对费马小定理依赖于一个确实由欧拉（1707-1783）发明但由J.J.Sylvester（1814-1897）于1883年命名的函数。我从未见过这个名字的权威解释托蒂恩他已经给出了函数。西尔维斯特认为，数学本质上是关于看到“相似中的差异，差异中的相似”这个词托蒂恩与…押韵商函数与除法有关，但以一种不寻常的方式。（斯科特·布罗迪提请我注意，《牛津英语词典》提到了拉丁词根总数加起来，总计。Tot也有小孩或小饮料的意思（来源不明）。按照上述格言的精神，使用这个词有两种截然不同的含义。你可以从西尔维斯特那里得到这一点，E.T.贝尔给他起了个绰号叫“疯子”。）

整数m的欧拉总函数φ定义为不大于m且与m互素的正整数的个数。几个第一个值：φ(1) = 1, φ（2）=1时， φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2, φ(7) = 6,= φ(9) = 6,φ(10) = 4, φ(11) = 10, φ(12) = 4, φ(13) = 12,等等，似乎没有遵循任何法律。但欧拉发现了一个公式，我们很快就会转向它。在一个特殊情况下，公式非常简单：对于素数p，φ（p）=p-1。这就是为什么欧拉定理实际上是费马定理的推广。

欧拉定理

设a和m为互质。然后是一个^φ（m）=1（mod m）。

证明

这个证明与费马定理完全类似，只是我们现在考虑的不是非负余数集{1,2，…，m-1}{米₁，米₂。。。，米_φ（米）}用m除的余数与m互素。与以前完全一样，用a乘会导致集合的置换（但现在）{米₁，米₂, ..., 米_φ（米）}.因此，两个产品是一致的：

米₁米₂……米_φ（米）=（上午₁)（上午₂) ... （上午_φ（米）)（模块m）

除以左边就证明了这个定理。

推导φ（m）的欧拉公式分两步进行。首先，我们考虑下一个最简单的情况φ（p^一)，其中p是素数。

接下来，我们建立乘法的φ的性质：

(1)

φ（米₁米₂)=φ（米₁)φ（米₂)

对于互质m₁和m₂.

因为任何整数都可以（唯一地）表示为

(2)

m=p₁^一₁第页₂^一₂…第页_k个^一_k个,

具有明显的p_我’s，这两个步骤的结合将导致φ的闭合形式表达式。

引理1

设p为素数，a>0为整数。然后

φ（p^一)=p^一-第页^a-1型=p^a-1个（p-1）=p^一（1-1/p）。

确实，低于p^一，有第页^a-1个- 1可被p整除的整数，因此与p有共同因子^一。这些是1便士、2便士。。。，（第页^a-1型-1）第页.p以下的正整数的总和^一然后与它互质（第页^一-1）-（p^a-1型- 1).

为了证明第二部分，假设m=m₁米₂，其中两个因子是互质。我们希望将被m互素除的余数φ（m）与m与类似定义的量φ（m₁)和φ（m₂). 让0≤n<m与m互质。找到余数n₁和n₂n除以m₁和m₂，分别为：

(3)

n=n₁（模块m₁)且n=n₂（模块m₂).

显然，n₁与m互素₁和n₂与m互素₂此外，n定义了n₁和n₂独特地。假设n₁和n₂（与m互素₁和m₂）。然后中国剩余定理产生唯一的n，使得（3）成立。这证明了（1）。

剩下的就是最终导出φ（m）的欧拉公式。设m由（2）给出。反复应用乘法属性，我们得到

φ（m）=φ（p₁^一₁)φ（p₂^一₂) ... φ（p_k个^一_k个)=p₁^一₁（1-1/p₁)第页₂^一₂（1-1/p₂)...第页_k个^一_k个（1-1/p_k个)

它简化为

φ（m）=m（1-1/p₁)（1-1/p₂)...（1-1/p_k个)

工具书类

J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》纽约州斯普林格·弗拉格，1996年。
H.D avenport，高等算术纽约州哈珀兄弟公司
R.Graham、D.Knuth、O.Patashnik、，具体数学第2版，Addison-Wesley，1994年。
P.希尔顿、D.霍尔顿、J.佩德森，数学反思，施普林格-弗拉格出版社，1997年
牡蛎矿，数论及其历史，多佛出版社，1976年

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