多边形：形式和直觉
A类多边形是一个闭合的几何图形，由点（顶点）和直线段（多边形的边）连接而成。顶点按循环顺序排列，边只连接成对的相邻顶点。术语各不相同。在某些来源中(哈珀·柯林斯数学词典，Harper Perennial，1991），术语多边形仅适用于边不相交的情况。其他地方，尤其是当星形多边形作为研究对象，允许边相交。在后一种情况下，边交点不被视为多边形的顶点。
假设一个多边形有n个顶点和m条边。每一侧连接两个顶点，每个顶点属于两条边。（在顶点的循环顺序中，可以将其中一条边称为进来的而另一个是自然的外向的因此，n=2m/2。换句话说，n=m。此参数表明，多边形可以明确地称为n边形。无需指明n是顶点数还是边数。
然而，上述论点并非完美无缺。想象一个8形多边形，其顶点由两个循环共享。它是一个多边形完全？为什么不呢？除非定义明确排除重叠顶点，否则8形图形完全符合定义。该定义是否应该受到限制？
如果是这样的话，正如上面的一个论证所表明的那样，我们可以自由地谈论n-gons。这是一个简短而可取的符号。如果允许重叠顶点，似乎就失去了符号的便利性；因为我们不再期望等式顶点=边一定成立。但是，使用以下设备可以保存这种情况。这里的关键是单词重叠让我们同意多边形的两个顶点可以重叠，而不是一个相同的顶点。换句话说，物理上表示顶点的点可能重合，但我们同意将顶点视为不同的顶点。这看起来是违反直觉还是牵强？这会威胁我们的几何直觉?
不一定。一旦你开始接受这个想法，它就会变得很自然。它甚至在某种程度上增加了我们的直觉。这里有一个例子。
在关于等周定理我提到了事实在所有具有相同周长的n-gon中，规则n-gon的面积最大。根据等周定理，其中最大的面积由圆包围。圆可以用规则的n边近似。n越大，近似值越接近。那么，由规则n-gons包围的区域会随着n而增长吗？
是的，确实如此。如果我们坚持使用允许顶点重叠的n-gon定义，证明就会变得非常简单和直观。假设我们知道如何证明，在所有n-gon中，正则n-gon包围了最大的面积。现在我们可以证明，与具有相同周长的规则（n-1）-gon相比，规则n-gon包含的面积更大吗？这里要展示什么？根据定义，（n-1）-gon是一些相邻顶点重叠的n-gon。作为n-gon来看，正则（n-1）-gon不再是正则的，因此，根据我们的假设，其面积小于正则n-gon所包围的面积。Q.E.D.公司。
这个论点似乎把我们的逻辑推得更远了。不仅顶点可能重叠，还应允许边的长度为零。这很奇怪。长度为零的线段是什么样的线段？然而，该论点得到了几何直觉。只考虑那些边的长度在下面由固定数量限定的多边形是愚蠢的。因此，如果多边形的边可能有任意的小长度，为什么不应用“通过连续性”参数，让它们完全消失？正如我们刚才看到的，这个想法很有成效。
{n} 是正则n边形的常用符号。为了包括星形多边形，n可以是大于2的正有理数，尽管通常包括n=2。众所周知，有理数有无穷大多种表示作为公共分数（5/3=10/6=15/9=…）一般来说，为了构造{n/d}型的星形正多边形，分数被减少到最低项，使得n和d互素。圆上的n个等距点将圆分割成n个等长的弧。要获得｛n/d｝个多边形，请一次跳过正好d个弧，将n个点一个接一个地连接起来。
著名的几何师Branco Grünbaum认为为了进行此施工，n和d不得被要求互质。如果它们不是，则由此获得的多边形的顶点和边将重叠，并将显示为具有较小n的多边形。通常说，在这种情况下，构造将导致gcd公司（n，d）重叠但不同的n/gcd（n，d）gons。格伦鲍姆（Grünbaum）提出，与主流规范相反，这种构造产生了一个顶点重叠的单个多边形。为了证明他的观点，Grünbaum以相同的数量连续变换多边形的顶点。例如，偶数顶点以角度t滑动，而奇数顶点以相反的方向滑动，即以角度t。如果t持续变化，则可以将{14/2}-gon转换为{14/5}类型的多边形。这表明了{14/2}-gon作为一个单一实体的合法性，而不是两个不同的7-gon的组合。
A类一般化拿破仑定理似乎支持了Grünbaum的观点，因为它同时导致了“传统”和“非传统”星形多边形。
下面的小程序演示了Grünbaum的转换。当n等于素数的两倍时，它最有效。由于对称性的丧失，对于奇数n没有多大意义。对于可被4整除的n，转换的效果似乎与预期的效果相反。人们总是观察边数较少的多边形。但是，取消选中“自动更新”框并手动拖动顶点。即使在这种情况下，也存在一个具有多个顶点重叠的多边形。
另一个问题与讨论有关。考虑一张等边三角形的台球桌。从三角形底部的一个点，以与底部成60°角的角度射门。在完成对称多边形行程后，球将返回起点。有趣的是，行程的长度——多边形的周长——并不取决于起点。但有一个例外。如果起点位于底部的中间，路线就不那么复杂了，事实上，它简化为一个平面等边三角形，其周长是所有其他多边形周长的两倍。Grünbaum的连续性论证表明，我们应该讨论一个相同周长的六角族，其中一个（对应于基的中点）的顶点成对重叠。
从几何角度来看，这可能是好的。但从台球的角度来看，这是没有意义的。如果从中点击球，球会沿着一个等边三角形移动，如果在返回时没有停止，球会无限期地移动：越过同一个三角形。为什么要把两个三角形合并成一个六边形？为什么不同时合并3个或更多？（有关（正则）n边形的名称，请参见第页在数学论坛.)
那么，谁是对的？正确的答案是什么？顶点是否允许重叠？我不知道你的情况，但就我个人而言，我不在乎。数学是灵活的。在一种情况下，一个定义更合适和/或更有利，而在另一种情况中，依靠另一个定义可能更好。我经常被问到0是否是一个自然数。虽然现有的模糊性可能令人遗憾，但我总是对必须回答这个问题感到不安。你到底在乎什么？选择最适合你目标的答案。对我来说都一样。
顺便说一句，我想再多说一句。在流行的微积分课本中，有一种倾向，就是将函数定义限定为代数公式给出的函数。大约150年前，在魏尔斯特拉斯提出无处可微函数的例子之前，这种函数观在数学家中也很常见。如今，初等微积分课本通过坚持实践中出现的函数（无论这意味着什么）都是由代数表达式定义的来回避这个主题；其他都属于高等数学。
我不知道。如果我们测量上述问题中台球穿过的距离，我们如何将该距离表示为三角形底面的一个点的函数？如果我们只关心到第一次返回起点之前的距离，什么代数公式可以给你一个除一个点以外的所有地方的量常数，而这个点是它的两倍小？（这个问题是修辞性的。不存在这样的表达。这个函数是一个“自然”发生不连续的例子。）
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