函数编程导论
第2周的练习

1.（*）最大值函数

完成以下功能定义：

--maxi x y返回x和y的最大值

（我们称这个函数为maxi，因为有一个标准函数max做同样的事情。当然，您不应该使用它。）

首先为maxi写一个类型签名，左边写一个“等于undefined”。在编写定义之前，请考虑至少一个属性您将使用测试代码。

您需要考虑两种情况：它们是什么？写下左手边，并确保GHCi接受它们。

2.平方和。

定义一个函数，用于计算从1到n的数字的平方和。

--sumsq n返回1*1+2*2+…+n*n个

提示：使用递归从sumsq（n-1）计算sumsq n；不要使用一个公式（例如下面的公式）来计算这个值，而不需要递归。

有人说sumsq n等于n（n+1）（2n+1）/6。使用QuickCheck调查这是否成立。

3.（*）河内塔

河内塔是一个古老的谜，由一系列戒指组成不同尺寸，三根柱子安装在一个底座上。一开始戒指如图所示位于最左边的柱子上，目标是将它们全部移动到最右边的柱子，通过一次将一个环从一个柱子移动到另一个柱子。但是，任何时候都不能把大戒指放在小戒指的上面！

你能找到一种基于递归的解谜策略吗？那就是，如果你已经知道如何移动n个-从一根柱子到另一根柱子，你能找到移动的方法吗n个戒指？

如果你尝试一下你的策略，你会很快发现比如说，用五个圆环来解决这个难题需要很多步。你能定义Haskell函数

河内 n个

它计算将n个环从一个柱子移动到另一个使用你的策略？解决这个难题需要多少步十个戒指？

解决方案

传说原来的谜题有32个就在此时，一座修道院的布达迪斯僧侣正在解决这个问题。当拼图完成时，世界将终结。

难度更大（只有当你想要挑战时才这样做）：现在假设我们在拼图中添加了第四个帖子。你能想出一个策略吗哪一个利用了第四个帖子？定义Haskell函数以计算你的新策略需要多少步才能解决这个难题。有多少步现在需要用十个环来解决这个难题吗？离结束还有多远如果僧侣们在他们的谜题中添加了第四个帖子，这将是世界的奇迹吗？

你能解释一下这种行为吗？提示：你的递归是什么类型的使用两种策略？

4.斐波那契数

这个斐波那契数由定义

F类0	=	1
F类1	=	1
F类n个+2	=	F类n个+1个+F类n个

因此，值的顺序从1、1、2、3、5、8……开始。。。

编写递归函数

--fib n计算第n个斐波那契数

基于上述数学定义。用它来计算第10、15、，第20、25和30斐波那契数。你注意到了什么？你能解释一下吗行为？

更困难：有一种更快的方法来计算斐波那契数。假设我们定义了一个函数fibAux，它满足

fibAux公司 我(小谎 n个)(小谎(n个+1))== 小谎(n个+我)

请注意，这是不一个定义，它是一个属性！

从此属性你能看看我们会怎么做吗重新定义fib依据使用fibAux？（提示：尝试在属性中将n设置为0）。

有可能得到由此递归定义fibAux仅使用代数的属性：我们想要的两种情况是

fibAux公司 0 一 b = ...
fibAux公司 我 一 b | 我>0 = ...

看看你能不能用这个属性找出右手边是什么应该是。

使用QuickCheck测试fib的新定义（以fibAux表示）满足上述属性。

使用新版fib计算第10、15、20、25和30斐波那契数。你注意到了什么？

计算fibAux 4 1 1个手动操作。如果你以前编程过，然后观察i、a和b值连续变化的方式递归调用。它让你想起什么了吗？

5.因素。

质数第页只有两个因素，1和第页自身。一个复合数有两个以上的因子。定义函数

最小因子 n个

返回的最小因子n个大于一。例如，

最小因子 14 == 2

最小因子 15 == 三

编程之前最小因子，至少编写两个QuickCheck它应该满足的属性。您需要整数的函数除法和余数：研究标准函数div公司和国防部为此目的。

提示：如果你想练习递归，可以写最小因子通过使用辅助功能下一因子k n它返回n的最小因子大于k。您可以定义最小因子使用下一个因子、和下一个因子通过递归。

现在定义

num因子 n个

它计算范围1..n中n的因子数。

6.（*）定义类型

定义数据类型月份表示月份和函数

天月份 :: 月份 -> 整数 -> 整数

它计算一个月内的天数，同时给定年。（你可以忽略闰世纪之类的事情：只要假设第四年是闰年）。

定义数据类型日期，包含年、月和日，以及一个函数

有效日期 :: 日期 -> 布尔

那就回来了真的如果日期中的日期介于1和月份中的天数。

可选附加：还定义函数

明天 :: 日期 -> 日期

它计算给定日期的明天日期。

7.（*）复制

定义将给定单词复制n次的函数

复制 :: 整数 -> 字符串 -> 字符串

示例：

复制5“ha”“哈哈哈哈”

像往常一样，尽量缩小基本情况！

使用以下函数连接两个字符串：

(++):: 字符串 -> 字符串 -> 字符串

示例：

“flyg”++“计划”“飞行计划”

8.（*）乘法列表元素

定义函数

乘 :: 号码 一 =>[一]-> 一

将列表中的所有元素相乘。（想想：它应该是什么空列表的值为？）。例如

乘以[1,2,3,4,5]120

（这实际上是一个标准函数，称为产品).

9.避免重复

在许多情况下，列表不应包含重复元素。对于例如，一组卡片不应包含同一张卡片两次。定义一个功能

重复 :: 等式 一 =>[一]-> 布尔

它返回真的如果其参数包含重复的元素。

重复[1,2,3,4,5]>False（错误）重复[1,2,3,2]真的

提示：标准函数元素,它测试元素是否出现在列表中，在这里很有用。

一种方法确保不包含重复项的列表以列出可能包含重复元素的列表，然后删除它们。定义函数

删除重复项 :: 等式 一 =>[一]->[一]

它返回一个列表，其中包含与其参数相同的元素，但没有重复项。使用以下属性进行测试：

prop_duplicates已删除 ::[整数]-> 布尔
prop_duplicates已删除 X轴 = 不(重复(删除重复项 X轴))

该物业是否保证删除重复项行为正确吗？如果没有，缺少什么？

(删除重复项实际上是一个标准函数，称为核).