第5周练习：递归数据类型
以下是一些练习，旨在帮助您使用递归数据类型。
如果你没有时间做所有这些练习，不要担心。这些练习旨在提供足够的练习，以保持最经验丰富的学生很忙。如果你做了所有标有（*）的练习可能理解了本周的内容。
祝你好运！
0 (*). 表达式树和整数树
表达式
从汤普森的书中，阅读第14章第14.2至14.4节。或者，您可以查看数据类型Expr公司对于包含变量的表达式讲座：ExprVar.hs指数.除此之外，这本书还引入了一种数据类型Expr公司
数据Expr=Lit Int|添加Expr Expr|子Expr Expr
这与我在讲座中使用的类型类似。给定一个表达式，我们想对其求值使用评估由定义评估：：Expr->Inteval（Lit n）=neval（添加e1 e2）=eval e1+eval e2eval（子e1 e2）=eval e1-eval e2
我们还希望能够显示表达式showExpr:：Expr->字符串showExpr（点亮n）=显示nshowExpr（添加e1 e2）=“（”++showExpr e1++“+”++showExpr e2++“）”showExpr（Sub e1 e2）=“（”++showExpr e1++“-”++showExpr e2++“）”
答：。计算
评估（Lit 67）eval（加（减（减（升3）（升1））（降3））showExpr（加（亮67）（亮（-34））
B（*）。定义函数
大小：：Expr->Int
计算表达式中运算符的数量。C（*）。将乘法和整数运算相加按类型划分Expr公司，并重新定义功能评估,显示Expr、和大小到包括新案例。你的评估你什么时候做除以零？编写的一个版本评估结果是类型也许是Int.
D。而不是向Expr公司数据类型如中所示C类可以考虑定义
数据Expr=Lit Int|运营运营费用支出data Ops=Add|Sub|Mul|Div
展示功能评估,显示Expr,和大小是为此类型定义的。你会如何添加另一个额外操作国防部对于整数的余数划分？E.公司。在Haskell中，反引号允许我们在中缀形式（实际上是任何函数），类似于（亮3）`添加`（亮15)。但是，如果显示此表达式（使用派生Show)它出现在前缀中格式为加（亮3）（亮15）.
也可以对构造函数名称使用中缀运算符，其中第一个字符必须是':'我们可以，例如。，重新定义Expr公司作为
数据Expr=Lit Int|有效期：+：有效期|导出：-：导出
使用此数据类型和infix构造函数重新定义上述函数。整数树
A类整数树为零或通过组合值和两个子树。在Haskell中，我们可以引入整数树NTree公司通过数据NTree=NilT|节点Int树NTree
我们可以对节点求和并计算树的深度，如下所示sumTree:：NTree->IntsumTree NilT=0sumTree（节点n t1 t2）=n+sumTreet t1+sumTree t2深度：：NTree->Int深度NilT=0深度（节点n t1 t2）=1+最大值（深度t1）（深度t2）
答：。计算
sumTree（节点3（节点4为零）为零深度（节点3（节点4为零）为零
B（*）。定义函数以返回左侧和右侧的子树NTree公司.
C（*）。定义一个函数以确定数字是否为元素NTree公司.
D。定义函数以查找最大值和最小值持有于NTree公司.
E（*）。树通过左右交换反映出来子树，递归。定义要反映的函数一个NTree公司.两次反射的结果是什么？编写一个QuickCheck属性！
（为了能够测试您的属性，您必须制作NTree公司任意的实例。）
F、。定义函数
折叠，排序：：NTree->[Int]
把树变成列表。功能崩溃应该枚举左子树，然后枚举节点处的值，最后枚举右子树；分类应该对元素进行排序升序。例如，塌陷（节点3（节点4无T无T）无T）=[4,3]排序（节点3（节点4无T无T）无T）=[3,4]
为函数编写合适的QuickCheck属性！1 (*). 文件系统
A类文件包含数据或是目录。A类目录包含其他文件（本身可能是目录）每个人都有一个名字。
答：。设计一个数据类型来表示目录的内容。忽略文件内容：您是只是试图表示文件名和它们的方式组织到这里的目录中。
B。定义一个函数以在目录。您应该返回指向文件的路径名字。因此，如果您的目录包含a、b和c，并且b是包含x和y的目录，然后搜索x应该生成b/x。
2.命题逻辑练习
A类命题是以下值之一的布尔公式形式：
- 变量名（字符串）
- 损益表（和）
- 第|季度（或）
- ~p个（不是）
其中p和q是命题。例如，p | ~ p是一个命题。
答：。设计数据类型道具表示命题。
B。定义函数
变量：：Prop->[String]
它返回命题中的变量列表。制造商确保每个变量在返回的列表中只出现一次。
假设给您一个变量名列表及其例如，Bool类型的值，[（“p”，正确），（“q”，错误）].定义函数
trueValue:：Prop->[（String，Bool）]->Bool
当变量具有给定的值。C、。定义函数
同义反复：：Prop->Bool
它返回真的如果这个命题适用于其中出现的变量。
祝贺 你！您已经实现了一个简单的定理证明器。
3 (*). 讲座中关于Expr类型的练习
查看数据类型Expr公司对于带有变量的表达式来自讲座：ExprVar.hs指数.
在讲座中，我展示了一个用于区分表达式的函数，称为差异（瑞典语：“derivera”）。
差异：：表达式->名称->表达式diff（数字n）x=数字0diff（相加a b）x=相加（diff a x）（diff b x）diff（Mul a b）x=相加（Mul a（diff b x））（Mul b（diff a x））差异（变化）x|x==y=数字1|否则=数字0
答：。定义一个属性，检查对于每个表达式e，e的导数到x的变量不超过e。
相反的情况也成立吗？
的结果差异函数通常包含以下表达式可以大大简化。
B。（*）定义函数简化给定表达式e，创建一个与e等效但经过简化的表达式。以下示例您可以进行以下简化：
- 2+3 --> 5
- 2*x+6+5*x+6-->7*x+12
- 0*x+-2+5*y+3-->5*y+1
你可以决定你想成为多么雄心勃勃的人！我们在文件中为您做了一个小的开始ExprVar.hs指数
提示：这个练习更具开放性。
您可以尝试定义简化递归地。然而，你会注意，很难实现许多简化。看一看函数协会会员在汤普森的书中的第14章：
关联：：Expr->Exprassoc（添加（添加e1 e2）e3）=assocassoc（添加e1 e2）=添加（assoc e1）（assoce 2）assoc（Sub e1 e2）=Sub（assoc e1）（assoc e2）assoc（升n）=升n
（一种不同但更雄心勃勃的方法是设计一种新型表示标准形例如，对于表达式多项式。您的简化函数可以简单地转换表达式转换为多项式，然后再次转换为表达式。你会怎么做在Haskell中将多变量上的多项式建模为一种类型？）
请确保以下属性适用于您的简化功能：对于每个表达式e，在环境中对其求值会生成简化前后的结果相同：
prop_SimplefyCorrect:：Expr->Env->属性prop_SimplefyCorrect e（环境-环境）=eval env e===eval env（简化e）
C、。定义属性：
prop_SimplifyNoJunk:：导出->布尔
它检查简化的结果是否“留下任何垃圾”。在换句话说，例如，简化的结果应该没有表单的子表达式：等等。什么是允许的“垃圾”，什么不是当然取决于你的简化函数，以及你对它的期望。此属性归结为定义函数无垃圾：：Expr->Bool.我们已经为您在ExprVar.hs指数.
D。定义属性：
prop_SimplefyDiff:：Expr->Bool
检查区分表达式然后对其进行简化是否应该其结果与先简化，然后推导，然后简化。你希望它能保持住吗？它真的支持你的简化功能吗？