关于烷烃(或四价树)的Cayley计数
E、 M.Rains和N.J.A.Sloane
信息科学研究
AT&T香农实验室
新泽西州弗洛勒姆公园07932-0971
电子邮件地址:rains@research.att.com,njas@research.att.com
- 摘要:凯利1875年对中心烷烃和双中心烷烃的计数(未标记的价值最多为4的树)被修正和扩展——可能是124年来第一次。
1.简介
1875年,凯利试图列举烷烃CnH2n+二,或等效n-节点未标记的树,其中每个节点的阶数最多为4,并发布了一个简短的注释[珊瑚礁75]包含表格:
n |
1 | 二 |
三 | 四 | 五 | 六 | 7 | 八 | 九 | 10个 | 十一 | 十二 | 十三 |
|
居中的 |
1 | 0 | 1 | 1 | 二 | 二 | 六 | 九 | 20个 | 37岁 | 86岁 | 183 | 419 |
(一) |
双中心 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 三 | 三 | 九 | 十五 | 38 | 73个 | 174 | 380 |
(二) |
全部的 |
1 | 1 | 1 | 二 | 三 | 五 | 九 | 十八 | 35岁 | 75个 | 159 | 357 | 799 |
(三) |
(“居中”和“双中心”定义如下。)这张表是由布萨克和萨蒂在1965年复制的[65号总线],这三个序列包括在[他的].
事实上,正如赫尔曼在1880年已经指出的那样,最后两列是错误的[她80岁].赫尔曼用的方法和凯利不同,并给出正确的值355(对于n=12)和802(适用于n=13)对于顺序(3)。但是,两者都没有[她80岁]在他后来的两个笔记里也没有[她97],[她的98]他有提到序列(1)和(2)吗。
烷烃序列(3)也在工作中由希夫[Sch75],洛桑尼奇[损失97],[损失97A],亨泽和布莱尔【HeB31】,佩里[每32个],波利亚[波利亚36],[波利亚37],哈拉里和诺曼[汉60],莱德伯格【Led69】,阅读[雷亚76],罗宾逊、哈拉里和巴拉班【RoHB76】,还有伯格伦,拉贝尔和勒鲁[贝尔98].最简单的生成函数是由Harary和Norman产生的(见第4节[雷亚76]或第289页[贝尔98]).然而,这些作者都没有使用凯利的方法,据我们所知,他们中没有人讨论序列(1)和(2)。
1988年R.K.盖伊写信给N.J.A.S。,指出这三个序列有错误,并建议用多晶硅计数理论对(1)和(2)进行推广。(3)的正确版本,顺序A000602号,已经出现在[他的].)这是本说明的目标。
我们承认有另一个,希望扩展序列(1)和(2)的更不光彩的原因。数据库中的序列[环境影响报告]编号(A000001号,A000002号,A000003号,...), 一些人认为“对角线”序列,谁的n第个术语是nA的第个项n,应添加到[环境影响报告].(1)是序列的事实A000022号提供了额外的动力将其延长至至少第22届任期!(“对角线”顺序现在是在数据库中,序列A031135,更不明确的是A037181号谁的n第1项+nA的第个项n.)
最困难的是确定凯利到底想数什么,自从[珊瑚礁75]有点不清楚,包含了很多印刷错误。一旦问题被发现,问题就变了很容易计算出这些序列,所以事实上,这很可能是自那以后的124年里一直在做的[珊瑚礁75]出现。但是我们在文献中找不到它的任何记录。
2.生成函数
直径2的树米有一个名为这个居中,位于任何长度为2的路径的中点米. 直径的树2米+1有一对唯一的节点称为双中心,位于任何长度为2的路径的中间米+这些术语是约旦在1869年左右提出的([Har69],p、 第三十五条)。
凯利法[珊瑚礁75]在计算烷烃时,使用中心和双中心的概念,将问题简化为关于有根树的简单问题。结果证明这是一种解决问题的笨拙方法(因为直径的概念是不相关的),并且可以解释为什么没有其他人使用这种方法。
利用“质心”和“双熵”,也是由于约旦(见哈拉雷[Har69],第36页,定义)。1881年凯利[珊瑚礁81]找到了个重复出现的n-具有质心(序列)的节点树A000676号)用双熵(A000677号),这给了他一个简单的方法来计算无芒树(A000055型).然而,据我们所知,凯利并没有使用质心/双熵方法来计算烷烃(A000602号).这显然是波利亚首先做的[波利亚36],[波利亚37]1936年。
但是,我们在这里担心是具有中心树和双中心树。
我们会说一棵树是k价如果每个节点的阶数为最多k. 烷烃正是四价树。
我们也会考虑有根的树,并定义一个二进制有根树可以是空树,也可以是每个节点的出度(不包括连接到根的边的价)最多的有根树b. 这概括了a的概念二元的有根的树,这个案子b=2,它要么是空树,要么是每个节点都有0、1或2个子节点的根树。(文献包含了二进制和b-山茱萸。这些术语有时特指平面树。我们的树不是平面的,尤其是没有左或右的概念。)
我们将找到中心和双中心的生成函数k-情人树。
修复k,让Th、 n是(k-1) -有根的树木n最多节点和高度h. (根树中节点的高度是将节点连接到根的边数。)按照惯例,空树的高度为-1。让Th(z) = 总和n>=0
Th、 nzn.那么T-1(z)=1,T0(z)=1+z,为了h>1个,
Th+1(z)=1+z
Sk-1(Th(z)),(4)
哪里S米(f(z))表示替换的结果f(z)序对称群的循环指数米!. 例如,
S三(f(z)) = (f(z)三+三f(z)f(z2)+2个f(z三))/3!。
方程(4)成立,因为如果我们去掉根和相邻边从有根的树上h+我们只剩下一个无序的(k-1) -树高的元组h.
让C2h、 n是居中的号码k-有价树n节点和直径2h,让C2h(z) = 总和n>=0C2h、 n zn. 通过删除中心节点以及相邻边缘,我们看到任何这样的树都对应于一个无序的k-元组(k-1) -最多有树根的树h-1,其中至少有两个有确切的高度h-1.因此
C2h=(1)+z
Sk(Th-1(z)))—(1)+z
Sk(Th-二(z))) - (Th-1(z)-Th-二(z))(Th-1(z)-1)。(五)
(5)中的三个表达式解释了k-根元组最多的树h-1个,k-根元组最多的树h-2,扎根树根上只有一棵子树的树h-分别是1个。
最后,让Cn表示居中的数量k-有价树n节点,和C(z) = 总和n>=0
Cnzn.那么
C(z) = 总和h>=0
C2小时(z) .
为k=4我们得到
C(z)=z+z三+z4+二z5+二z6+6 z轴7+9 z8+20赫兹9+37 z10+86 z11+181 z12+422 z13+ ... ,
这是Cayley序列(1)的正确版本,A000022号.(参见桌子以下内容。)
双中心树更容易处理。让B2h+1个,n是二进制数k-有价树n节点和直径2h+1个,让B2h+1(z) = 总和n>=0
B2h+1个,n zn,让Bn是bicenter的总数k-有价树n节点,然后让B(z) = 总和n>=0
Bnzn.因为双中心树对应于一对无序的(k-1) -高的有根的树h,我们有
B2h+1(z) = S2(Th(z) -Th-1(z)) ,
然后
B(z) = 总和h>=0
B2h+1(z) .
为k=4我们得到
B(z) = z2+z4+z5+三z6+3 z7+9 z8+15 z9+38 z10+73 z11+174 z12+380 z13+ ... ,
凯莱序列(2),A000200台(事实证明这是正确的)。
烯烃的生成函数(A000602号)是吗
C(z) +B(z) = z+z2+z三+二z4+三z5+ 5z6+9 z7+18 z8+35 z9+75 z10+159 z11+355 z12+802赫兹13+ ... ,
与亨泽和布莱尔达成一致【HeB31】(除了他们付出的价值n=19147284,不正确:应该是148284)。其他术语如下表所示:
表格: 居中、双中心和无限制的数量四价树n节点
n | 居中的 | 双中心 | 全部的 |
| (A000022号) | (A000200台) | (A000602号) |
1 | 1 | 0 | 1 |
二 | 0 | 1 | 1 |
三 | 1 | 0 | 1 |
四 | 1 | 1 | 二 |
五 | 二 | 1 | 三 |
六 | 二 | 三 | 五 |
7 | 六 | 三 | 九 |
八 | 九 | 九 | 十八 |
九 | 20个 | 十五 | 35岁 |
10个 | 37岁 | 38 | 75个 |
十一 | 86岁 | 73个 | 159个 |
十二 | 181个 | 174个 | 355年 |
十三 | 422个 | 380个 | 802个 |
14 | 943年 | 915个 | 1858年 |
十五 | 2223个 | 2124个 | 4347个 |
16 | 5225个 | 5134个 | 10359个 |
17 | 12613个 | 12281个 | 24894个 |
十八 | 30513 | 30010号 | 60523个 |
十九 | 74883号 | 73401号 | 148284个 |
20个 | 184484年 | 181835年 | 366319个 |
21 | 458561个 | 452165个 | 910726号 |
22个 | 1145406号 | 1133252个 | 2278658 |
... | ... | ... | ... |
如果我们设置k=3在上述公式中(对应于中心树、双中心树和无限制的3价树),我们得到序列A000675号,A000673号和A000672号,凯利在1875年的另一篇论文中(正确地)发表了最初的术语[Cay75a],1975年R.W.Robinson计算了更多的项[机器人75].
为k=5和6得到的序列(A036648号,A036649号,A036650型,A036651号,A036652号,A036653号)似乎是新的。
工具书类
[贝尔98]F、 伯格伦,G.Labelle和P.Leroux,组合物种与树状结构,坎布。大学出版社,1998年,见第290页。
[65号总线]R、 G.布萨克和T.L.萨蒂,有限图与网络,纽约州麦格劳希尔,1965年,见第201页。
[珊瑚礁75]A、 凯利,尤伯分析专家陈菲伦,在数学的基础上,我们用数学的方法来解释化学理论,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,8(1875年),1056-1059年。
[Cay75a]A、 Cayley,关于树的分析形式,以及在化学结合理论中的应用,英国科学协会高级科学报告。,45(1875年),257-305=数学。论文,第9卷,第427-460页(见第451页)。
[珊瑚礁81]A、 Cayley,在被称为树的分析形式上,阿默尔。J、 数学。,4(1881年),266-268年。
[Har69]F、 骚扰,图论,Addison Wesley,雷丁,马萨诸塞州,1969年。
[汉60]F、 哈拉里和R.Z.诺曼,图的相异特征定理,程序。阿默尔。数学。Soc。,54(1960年),332-334年。
【HeB31】H、 R.Henze和C.M.Blair,甲烷系异构烃的数量,J、 阿默尔。化学。Soc。,53(1931年),3077-3085年。
[她80岁]F、 Hermann,Ueber das Problem,die Anzahl der异构体石蜡CnH2n+二祖贝斯汀曼,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,13(1880年),792年。[作者姓名和化学式都不正确。]
[她97]F、 Herrmann,Ueber das Problem,die Anzahl der die Anzahl der异构体石蜡CnH2n+二祖贝斯汀曼,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,30(1897年),第2423-2426页。
[她的98]F、 赫尔曼,恩特格南,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,31(1898年),91年。
【Led69】J、 莱德伯格,《分子拓扑学》,第37-51页数学科学,麻省理工学院出版社,剑桥,马萨诸塞州,1969年。
[损失97]S、 M.Losanitsch,石蜡切片异构体,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,30(1897年),1917-1926年。
[损失97A]S、 M.Losanitsch,Bemerkungen zu der Hermannschen Mittheilung:异构烷烃,伯尔。德国。化学。通用电气公司。,30(1897年),3059-3060年。
[每32个]D、 Perry,甲烷和甲醇的某些同系物的结构异构体的数量,J、 阿默尔。化学。Soc。,54(1932年),第2918-2920页。
[波利亚36]G、 Polya,Algebraishche Berechnung der Anzahl der conformenen einiger Organcher Verbindungen,泽特。f、 克里斯托。,93(1936年),第415-443页。
[波利亚37]G、 Polya,Kombinatorische Abzahlbestimmungen für Gruppen,石墨烯和化学制品Verbindungen,数学学报。 68(1937年),145-254。翻译成G.Polya和R.C.Read,群、图和化合物的组合计数,斯普林格·韦拉格,纽约,1987年。
[雷亚76]R、 C.Read,《无环化合物的计数》,A.T.Balaban编辑的第25-61页。,图论的化学应用,学术出版社,纽约,1976年。
[机器人75]R、 W.罗宾逊,《个人沟通》,1975年。
【RoHB76】R、 W.Robinson,F.Harary和A.T.Balaban,手性和非手性烷烃以及单取代烷烃的数量,四面体,32(1976年),第355-361页。
[Sch75]H、 希夫,Zur Statistik chemischer Verbindungen,伯尔。德国。化学。伯尔。,8(1875年),1542-1547年。
[他的]N、 J.A.斯隆,整数序列手册,学术出版社,纽约,1973年。
[环境影响报告]N、 J.A.斯隆,整数序列在线百科全书,电子版发布于http://oeis.org.
(与序列有关A000001号,A000002号,A000003号,A000022号,A000055型.,A000200台,A000602号,A000672号,A000673号,A000675号,A000676号,A000677号,A031135,A036648号,A036649号,A036650型,A036651号,A036652号,A036653号,A037181号.)
收到日期:1998年8月13日;1999年1月10日发表于《整数序列杂志》。
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