\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[使用名称]｛color｝\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\使用包{amsthm}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=网棕色，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包｛psfig｝\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\设置长度{\textheight}{8.9in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/~njas/sequences/eisA.cgi？Anum=#1}{\下划线{#1}}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf通用Conway-Hofstatter \$10000序列}\vskip 1厘米\大型约翰·A·佩莱斯科\\数学科学系\\特拉华大学\\德国纽瓦克市，邮编：19716\\美国\\\链接{mailto:pelesko@math.udel.edu}{\tpelesko@math.udel.edu}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们介绍了Conway-Hofstatter 10000序列的一个推广。这个引入的序列，称为\emph{k-sequences}，保留Conway-Hofstatter-Fibonacci类结构，形成序列中的项将前面的两个项相加，距离顺序。我们检查一些特定的$k$-序列，研究与已知整数序列，建立适用于所有$k$的一些属性，以及演示如何通过检查相关的基本序列被称为\emph{clock}序列。\结束{抽象}\新定理{定理}{定理[段]\新定理{命题}{命题[段]\新定理{推论}{推演}[段]\新定理{引理}{引理}[节]%\文档类[12pt]{文章}%\使用包{amssymb，amsthm，amssymb}%\使用包[first，bottomafter]{draftcopy}%\使用包{epsfig}%\更新命令{\baselinestretch}{1.2}%这是分隔手稿以便阅读的命令%这些是J.A.Pelesko的缩写\新命令{\eqnref}[1]{\ref{eq:#1}}\新命令{\secref}[1]{section~\ref{sec:#1}}\newcommand{\figref}[1]{Figure~\ref{fig:#1}}\newcommand{\tabref}[1]{Table~\ref{tab:#1}}\新命令{\be}{\begin{equation}}\新命令{\ee}{\end{equation}}\新命令{\ra}{\rightarrow}\新命令{\bea}{\begin{eqnarray}}\新命令{\eea}{\end{eqnarray}}\新命令{\dt}{\delta t}\新命令{\beas}{\begin{eqnarray*}}\新命令{\eeas}{\end{eqnarray*}}\新命令{\xh}{\hat{x}}\新命令{\expand}[2]{#1（#2）\sim#1_0\新命令{\R}{\mathbf{R}}\新命令{\normal}[1]{|#1|_{\infty}}%\新定理｛定理｝｛定理｝\新定理{definition}{definition}\新定理{prop}{命题}\newcommand\around[1]{\ensuremath{\mathbin{\settowidth{\dimen7}{\mbox{$\bigcirc$}}%\makebox[0pt][l]{$\bigcirc$}\makebox[\dimen7]{#1}}}}%\开始{文档}%\此页面样式{空}\章节｛简介｝1988年，在at&T贝尔实验室的一次演讲中，J.H.康威介绍了序列（整数序列在线百科全书中的A004001）递归定义的1,1,2,2,3,4,4,5,6,7,7,8,8,8，8,9，\ldots\eec（n）=c（c（n-1））+c（n-c（n-1）），初始条件为{eq:c1}$c（1）=c（2）=1$。Conway已经证明$c（n）/n\rightarrow 1/2$，但无法以建立收敛速度。有点高估了他向第一个能回答这个问题的人提供了10000美元的奖金。这个之后不久，C.L.\Mallows\cite{Mallows}就回答了这个问题。马尔洛不仅确定了收敛速度，还发现了额外的序列中的结构。交易所引起了受欢迎的媒体在《纽约时报》上发表了一篇有趣的文章\引用{NYT}。此次交流产生的A004001的普及也导致Kubo和Vakil对{Kubo}的研究序列的结构被揭示了。使用\emph{压缩操作}来表征允许许多简单证明的序列A004001的有趣特性。我们还注意到Conway和Mallows该序列之前由Hofstadter引入\引用{霍夫施塔特}，并出现在《美国参考》的问题部分数学月刊引自{纽曼}。今天，A004001被称为``Conway-Hofstatter \$10000序列“”或作为“Conway-Newman”序列。我们将其称为“Conway-Hofstatter”序列。许多引起人们兴趣的属性（\ref{eq:c1}）都很好由Kubo和Vakil\cite{Kubo}枚举。为了方便读者，我们列出了此处与本文相关的内容：\开始｛枚举｝\项目$c（n）\leq n$。\对于所有$n\geq 1$，项目$c（n）-c（n-1）=0$或$1$。\项$c（n）\geq n/2$，等式iff$n$是$2$和$n\neq 1$的幂。\项目$c（n）/n\longrightarrow 1/2$作为$n\longrightarrow\infty$。\项目$c（2n）\leq 2 c（n）$适用于所有$n$。\结束{enumerate}在本文中，我们推广了Conway-Hofstadter序列。我们的广义序列类显示（\ref{eq:c1}）的大部分结构，但也展示了有趣的新特性行为。泛化导致旧序列和新的可解非线性递归。\第{节概括：\emph{k-Sequences}}在阅读马尔洛或库博和瓦基尔的作品时在第一次陈述后立即被陈述打动Conway-Hofstatter序列的上述属性。两位作者都注意到$c（n）\leq n$，然后接着说“这样$c（n）$就可以通过递归得到很好的定义。”要理解这一评论和欣赏我们推广的动机是值得的可视化Conway-Hofstatter序列中的术语是如何形成的。考虑一下Conway-Hofstatter序列：为1,1,2,2,3。\eeas为了形成第六学期，我们注意到第五学期项等于$3$，从序列三开始向前计数项，从序列末尾向后三个项，并将结果相加求$c（6）=2+2=4$。此过程生成序列中的所有项。注释在这个建造过程中有一个美丽的对称；在形成$n$th项，将序列前半部分的一个项添加到序列的后半部分。这些术语与序列的开始和结束。Mallows或Kubo和Vakil的观察结果是相当于注意$c（n）\leq n$确保我们永远不会数到末尾序列的（或开头）。当然，如果我们考虑时钟或模块化算术，超出序列开始或结束的计数不再是问题。这立刻表明了我们的概括。\开始{definition}我们说$\{c_k（n）\}$是一个类似Conway-Hofstatter的序列$k$，当由递归定义\be ck（n）=ck（k ck（n-1）\bmod（n-1ck（n-1）\bmod（n-1”）\ee，其中$ck（1）=ck（2）=1$。我们也把这种序列称为，k序列，并将其表示为$ck$。\结束｛定义｝注意，这种概括保留了Conway-Hofstatter序列的对称性。也就是说对上述施工过程的唯一修改是中的序列乘以$k$，以及序列是用模运算完成的。然而，在形成第n个术语时，序列的前半部分中的一个项仍然被添加到序列的后半部分；这些术语从一开始就又是等距的以及序列的结尾。在本文中，我们观察到将模运算mod$n$中的零替换为$n$的约定。\小节{一些$k$-Sequences}\label{sec:obs}一瞥计算各种$k$序列的$k$-的前几个项可以揭示一些隐藏在$k$中的熟悉序列以及一些新的惊喜。这个前15个$k$-序列的观察行为总结在下表：\开始{表格}[H]\开始{居中}\开始{tablar}{c|l|}\hline$k$-序列和前二十项\\hline\hline$c_1$和1,1,2,2,3,4,4,4-5,6,7,7,8,8,8，8,9,10,11,12\ldots\\\hline$c_2$和1,1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11\ldots\\\hline$c_3$和1,1,2,3,4,4,5,6,6,7,8,8,9,10,10,11,12,13,14\ldots\\\hline$c_4$和1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10\ldots\\\hline$c_5$和1,1,2,3,3,4,4,5,6,6,7,7,8,9,9,10,11,12,12\ldots\\\hline$c_6$和1,1,2,3,3,4,5,6,7,7,8,9,9,10,11,12,13\ldots\\\hline$c_7$和1,1,2,2,3,4,4,5,6,6,7,7,8,8,9,10,11,12,11\ldots\\\hline$c_8$和1,1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10,10,11,12,13,14,15\ldots\\\hline$c_9$和1,1,2,3,3,4,5,6,7,7,8,9,9,10,11,12,13\ldots\\\hline$c_{10}$和1,1,2,2,3,4,5,6,7,7,8,9,10,11,11,12\ldots\\\hline$c_{11}$和1,1,2,3,4,4,5,5,6,7,8,9,9,9，10,12,12,13,14\ldots\\\hline$c_{12}$和1,1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10,10,11,12,13,14,15\ldots\\\hline$c_{13}$和1,1,2,2,3,3,4,5,6,6,7,7,8,9,9,10,11,10\ldots\\\hline$c_{14}$和1,1,2,3,3,4,4,5,6,6,7,7,8,9,10,10,12,13\ldots\\\hline$c_{15}$和1,1,2,3,4,5,5,6,6,7,9,8,9,10,11,12,13,14,15\ldots\\\hline\结束{表格}\结束｛中心｝\结束{表格}当然，序列$c_1$是Conway-Hofstatter序列。其他熟悉的序列潜伏在这个列表中。序列$c_4$是很好的序列$\lfloor（n+1）/2\rfloor$，它等价于A004526。$c_6$和$c_9$似乎都遵循“一个后面跟着两个”的模式奇数“”，因此看起来相当于A004396。序列$c_8$和$c_{12}$看起来相当于A037915，或者更简单地说是$\lfloor（3n+4）/4\rfloor$。这些建议的等效性需要证明。我们没有这样做在这一点上证明。相反，我们将首先建立一些通用的然后，有关$ck$的结果演示了一种用于发现许多$ck$的隐藏结构，最后演示如何证明上表建议的等效性。我们在这一点上注意到各种$k$-序列的直接计算突出了有趣的地方$c1$与其他$ck$的相似性和差异性。$c_1$的属性（1）和（3）似乎都满足要求千美元。然而，大多数$c_k$都违反了属性（2）由于单调性的失败和``跳过序列中整数的“”，例如$c{11}$和$c_{13}$。当然，$c_k$的另一个显著特点是一些常见序列的明显新表示，例如A004526或A004396。\{$c_k$}的属性观察结果表明，所有$c_k$都满足增长的上下限类似于$c1$上的边界。这确实是事实，我们已经\开始{prop}$c_k（n）\leq n$用于所有$n\geq 1$、$k\geq 1$。\结束{prop}\开始{proof}对于任何固定的$k$，我们通过$n$上的归纳继续。请注意$c_k（1）=c_k\列克文\leq 3$。现在，假设所有$j$都满足$c_k（j）\leq j$$1\leq-j\leq-n$并考虑$c_k（n+1）$。我们有\beas c_k（n+1）=c_k（k c k（n）\bmod n）+c_k。\eeas出租$j=k c_k（n）\bmod n$，并观察$1\leq j\leq n$。因此\beas ck（n+1）=ck（j）+ck（n+1-j）\leq j+n+1-j=n+1 \eeas和\beas c_k（n+1）\leq n+1\e根据需要。\结束{proof}类似参数产生下限\开始{prop}$c_k（n）\geq n/2$用于所有$n\geq 1$、$k\geq 1$。\结束{prop}$c_1$和普通$c_k$之间的关键区别在于属性（2）不需要保持。这允许特定的$c_k$非单调并“跳过”整数。例如，$c_7（19）-c_7（18）=-1$演示了非单调属性，而$c{11}$不包含数字$11$，我们将这样做很快就会看到。边界上面立即提供了一种方法来证明整数确实可以跳过。我们有\开始{prop}假设$m>0$，并假设$m$未出现在$c_k（N）的前$N$项中$如果$N>2m$，则$m$永远不会出现在$c_k（N）$中。\结束{prop}\开始{证明}$c_k（N）\geq\frac{N}{2}>m.$\end{proof}请注意，这个命题，以及前23$项的计算$c_{11}$确定$c_}11}$确实是“缺少”的$11$。我们也可以轻松绑定特定整数在序列$ck$。\begin{prop}让$f_k（m）$表示$m$在序列$c_k$。然后，对于所有$k$和$m$，$f_k（m）\leq m+1$。\结束{prop}\开始{proof}根据$c_k$的下限，我们有$c_k（200万）\geq-m$。根据上限，我们有$c_k（m）\leq m$。因此$m$只能出现在$m+1$项$c_ m中，c{m+1}，\ldots c{2m}$。\结束{proof}另一个自然的问题是$c_k$和$c_j$是否可以``等效。“”我们考虑两个等价概念。\开始{definition}我们说$c_k$和$c_j$在数字上等价于订单$N$iff对于满足$1\leq n\leq n$的所有$n$，$c_k（n）=c_j（n）$。我们说$c_k$和$c_j$在结构上等价于订单$N$iff$k c_k（N）\bmod N=j c_j（N）\满足$3\leq n\leq n$的所有$n$的bmod n$。\结束{定义}结构等效跟踪形成$k$-序列。它决定两个$k$-序列是否通过将位于每个顺序。结构等效明显意味着数值等效性。反之则不然。两个人都有可能序列在数值上等效，但在结构上不等效等效。在这两种等价类型中，我们考虑结构等效是根本。我们可以计算集合所有$k$-序列在结构上与给定序列等价，$cj$，通过求解线性同余系统。例如，考虑$c2$，它以$\{1,1\}$开头。自$2\等于0$（mod$2$）我们可以发现所有$k$序列在结构上等价于通过求解同余$k\equiv 0$（mod$2$）来排序$2$。这个偶数整数集满足这个同余。下一步，$c_2$是$\{1,1,2\}$，由于$4\equiv 1$（mod$3$），我们必须求解同余$2k\equiv 1$（mod$3$）。解决方案这是算术级数$2,5,8，\ldots$中的数字。因此，$k$序列在结构上等价于顺序上的$c_2$$3$是步长为$2\倍的进阶3$，即$k=2,8,14，\ldots$。将$2$替换为$j$和概括上述论点，我们可以展示\开始{prop}给定任何$k，N$，都存在一个$j\neq-k$，这样$c_k$和$c_j$在结构上是相当于订单$N$。此外，如果$j$是最小的此类整数，则$j\rightarrow\infty$作为$N\rightarrow\infty$。\结束{prop}注意，这个命题意味着没有两个$k$-序列是在结构上等价于无限级。从这个意义上说$k$-序列是不同的。如上所述，两个$k$-序列可能在数值上等效，但在结构上不等效。数值研究表明，数值等效为很少发生。\第{节$c_k$的节拍}结构等效概念中隐含的结构也可以摆脱了解特定$k$-序列的行为。基本结构给定的$k$-序列，即用于创建$ck$的术语序列，是由相关的\emph{时钟}序列跟踪。\开始{definition}与每个$k$-序列$c_k$相关联，我们定义了一个时钟序列，表示为$tk$，作为满足\豆tk（n）=\分钟（kck（n-1）\bmod（n-1\欧洲经济区对于$n\geq 3$，$tk（1）=tk（2）=1$。\结束｛定义｝注意，从$n=3$开始的时钟$t_k（n）$跟踪长度序列的下半部$n-1$，用于计算第$n$项。就时钟而言，可以写入$k$-序列\豆ck（n）=ck（tk（n-1））+ck（n-tk（n-1）），\电子工程师协会这里$n\geq 3$。当时钟序列变成\emph{周期}时，它变得特别有用。例如，考虑$c_2$的增长。我们在使用的$n-1$级圈出术语要在$n$级别创建新术语：\开始{居中}\开始｛表格｝｛|c|｝\line\大约{$1$}，\大约{$1$}\\\大约{$1$}，$1$，\大约{$2$}\\$1$，大约{$1$}，大约{$2$}和$3$\\\大约{$1$}，$1$，$2$，$3$，\大约{$3$}\\$1$，\大约{$1$}，$2$，$3$，\大概{$3$}和$4$\\\大约{$1$}、$1$、$2$、$3$、$4$、\大约{$4$}\\$1$，大约{$1$}，$2$，$3$，$3+，$4$，大约\结束{表格}\结束{中心}规则的视觉模式转化为$t_2$。特别是，$t_2=1,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2，\ldots$。如果我们假设这种模式继续存在，我们可以从$t2中提取$$c2$\be满足的更简单的\emph{linear}递归集c2（2n）=1+c2（2-n-1）其中$c2$在我们的表和属性中的描述例如，可以容易地建立$c1$的（4）和（5）。一个人可能（一厢情愿地）推测重复自身的时钟序列继续这样做。不幸的是，$c_7$的时钟已经提供反例，重复自己的一部分，以及然后走入明显的非周期行为。然而，当$ck$在常规（如果可能很复杂）中执行行为，时尚，时钟序列让我们能够揭开这个隐藏的秘密结构。要在给定的$c_k$中搜索此结构，我们可以绘制相关时钟序列的相图。一些序列可以产生具有视觉吸引力的长周期行为。相位图显示了$c_{16}$的“节拍”（时钟），图中显示了$c_{260}$和$c_}138}$\参考{fig:beat16}-\ref{fig:beat138}。\开始｛figure｝[th]\开始{居中}\epsfxsize=100mm\epsfbox{beat16.eps}\结束{中心}\标题{$c_{16}$.}的“节拍”\标签{fig:beat16}\结束{图形}\开始｛figure｝[th]\开始{居中}\epsfxsize=100mm\epsfbox{beat260.eps}\结束{中心}\标题{$c_{260}$.}的“节拍”\标签{fig:beat260}\结束{图形}\开始{图}[th]\开始{居中}\epsfxsize=100mm\epsfbox{beat138.eps}\结束{中心}\标题{$c_{138}$.}的“节拍”\标签{图：beat138}\结束{图形}每一幅相图都是通过计算前十幅来绘制的序列和相关时钟序列的千项。然后，相关时钟序列的下一万项绘制为点$（tk（n），tk（n+1））$。如果时钟有到这一点时变得周期性，揭示了潜在的结构在这个序列中，相图显示出一个闭合的轨道例如图\ref{fig:beat16}-\ref{fig:beat138}中的内容。打开另一方面，如果“节拍”仍然不规则，则不明显在相图中可以看出顺序。一旦基础结构被揭示了，我们可以做出如下推测与已知序列或关于未知序列行为的猜想。这些猜想通常很容易证明（尽管当周期很长时，证明是冗长的）。作为我们有一个简单的例子\开始｛道具｝$c_4（n）=楼层\压裂{n+1}{2}\rfloor$。\结束{prop}\开始{proof}这足以证明\beas c_4（n）=\lfloor\压裂{n+1}{2}层。\eeas我们可以很容易地验证这是对于$n=1$到$n=6$，则为true。现在，假设$k=1\ldot为真新币。考虑$c_4（n+1）$。我们必须显示\beas c_4（n+1）=\lfloor\压裂{n+2}{2}底板。\eeas But，\beas c_4（n+1）=c_4\bmod n）+c4（n+1-4 c4（n）\bmod n。\eeas按假设c4（n）=\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor，\eeas，因此\beasc4（n+1）=c4（4\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor\bmodn）+c4（n+1-4\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor\bmodn）。\eeas但是，4美元\如果$n$是偶数，则压裂{n+1}{2}\rfloor\bmodn$为$0$，如果$2$$n$是奇数。因此，等于c4（n+1）=c4（1）+c4（n）=1+lfloor\压裂{n+1}{2}地板，对于$n$偶数为eeas，对于c4（n+1）为eeas=c4（2）+c4（n-1）=1+lfloor\frac{n}{2}\floor，等于$n$奇怪。从中可以直接得出c_4（n+1）=\floor\根据需要压裂{n+2}{2}\rfloor\ee。\结束{proof}注意，我们在这个证明中隐式地使用了时钟序列。事实上，结果可以根据$t4$的周期性进行重述。随机搜索行为良好的$k$-序列$c2$、$c4$或$c{260}$，我们会产生这样的感觉$k$-序列实际上是不规则的。为了更全面地了解情况，我们计算$ck$的“分支图”。对于每$k$，我们计算$ck$和$tk$的前$5000$项。然后，我们计算间隔$[02500]$中$tk$的密度。最后，我们绘制了这个密度与$k$的负对数。那些具有高度有序时钟的序列，因此具有明确的基础结构，在此图中显示为峰值。那些不规则``将“”映射粗略地打到零。$k的分岔图$图中显示了从1到1000的范围\参考{图：分叉}。\开始{figure}\开始{居中}\epsfxsize=100mm\epsfbox{分叉.eps}\结束{中心}\标题{$c_k$的分支图通过检查$tk$显示为峰值，顺序很明显。}\标签{图：分叉}\结束{图形}订单似乎随着$k$的增加而减少。此外，高阶频率序列似乎随着$k$的增加而减少。\{开放性问题和更多概括}我们刚刚触及了$k$-序列的表面。许多开放问题和进一步的概括仍然存在。特别是一个有趣的谜题涉及不规则序列，例如$c7$和$c_{13}$。执行$c_7$或$c_{13}等序列的时钟$有没有周期性的跳动？还是总是不规则的跳动？做$c_k（n）/n$倾向于这些序列的极限？另一个问题关注带有“缺少”数字的序列，例如$c{11}$。计算表明，$c_{11}$缺少$11$、$29$、$33$、$37$、，和39美元。$c_{11}$是否遗漏了无限多个整数？什么是缺少整数序列？另一个不那么精确的问题涉及秩序。是否有$k$序列在长时间后变得不规则规律性？（读者可能希望检查$c_{204}$，其中表现出相反的行为。）我们还可能会问：其他已知的序列潜伏在$k$中？最后，我们注意到几位作者在其他方向推广了Conway-Hofstatter序列这里展示的那个。然而，这里给出的概括可应用于纽曼马尔洛公司提供的产品\引用{Newman}或Pinn\cite{Pinn}。例如，Mallows\cite{Mallows}引入了序列\是c（n）=c（c（n-2））+c（n-c（n-2））作为Conway-Hofstatter序列的推广。这个概括将序列的下一项建立在序列的第二个到最后一个项的基础上。将$c（n-2）$项乘以$k$并计算模$n-1$是很自然的按照这里介绍的$k$-序列的精神进行概括。我们希望读者会被本文中的初步结果所吸引将受到启发，发现有关$ck$或将马尔洛、纽曼和品恩的工作概括为此处建议。\段落*{确认}感谢朱莉娅·佩莱斯科（Julia Pelesko），她对Logo的兴趣促成了这项工作，也感谢M\Tempel的文章引用了{Tempel}，首次向我们介绍了Conway-Hofstatter序列。还感谢匿名裁判提供了许多有用的意见和建议。\开始{书目}{20}\bibitem{conwaytalk}J.H.\Conway，《一些疯狂的序列》，录像1988年7月15日，美国电话电报公司贝尔实验室的演讲。\bibitem{Mallows}C.L.\Mallows，康威挑战序列，\textit{Amer.Math.Monthly}\textbf{98}（1991），5-20。\bibitem{NYT}M.W.\Browne，《智力决斗：激烈挑战》，Swift Response，\textit{《纽约时报》}C版，1988年8月30日，1。\bibitem{Kubo}T.\Kubo and R.\Vakil，论Conway的递归序列，\textit{Disc.Math.}\textbf{152}（1996），225--252。\Bibbitem｛Hofstadter｝D.R.\Hofstadter、Godel、Esher、Bach、Vintage图书，纽约，1980年，137。\bibitem{Newman}D.Newman，问题E3274，textit{Amer.Math。每月}\textbf{95}（1988），555。\bibitem{Pinn}K.\Pinn，Conway递归的混沌表亲序列，\textit{Exp.Math.}\textbf{9}（2000），55--66。\bibitem{Tempel}M.\Tempel，简单到$11.22.3$，\textit{在线出版物徽标基金会}，el.media.mit.edu/Logo-Foundation/pubs/papers。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2000{\it数学学科分类}：初级11B37；次级11B50。\noindent\emph{关键词：}Conway-Hofstatter，Fibonacci序列，非线性递归。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A004001}，\序列号{A004526}，\序列号{A004396}，以及\序列号{A037915}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2004年1月19日收到；修订版于2004年8月16日收到。发表于2004年10月1日的《整数序列杂志》。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/}.\vskip.1英寸\结束{文档}\结束{文档}