\documentclass[12pt,reqno]{article}\usepackage[usenames]{color}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\使用包{amsthm}\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=webgreen,filecolor=webbrown,citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0、.5、0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\使用包{graphics,amsmath,amssymb}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\设置长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\setlength{\evensidemargin}{.1in}\设置长度{\topmargin}{-.5in}\设置长度{\textheight}{8.9in}\newcommand{\seqnum}[1]{\href{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/~njas/sequences/eisA.cgi?Anum=#1}{\underline{1}}}\开始{document}\开始{center}\epsfxsize=4英寸\leavevmode\epsfile{logo129.eps}\结束{center}\开始{center}\vskip 1cm{\LARGE\bf推广Conway-Hofstadter\$10000序列}\vskip 1厘米\大约翰A.\Pelesko\\数学科学系\\特拉华大学\\纽瓦克,DE 19716\\美国\\\href{mailto:pelesko@math.udel.edu}{\ttpelesko@math.udel.edu} \\\结束{center}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们介绍了Conway-Hofstadter\$10000序列的一个推广。这个引入的序列称为\emph{k-sequences},保留Conway-Hofstadter类Fibonacci结构把前面的两个项加在一起,从开始和结束等距顺序。我们检查一些特定的$k$-序列,研究与已知的整数序列,建立一些包含所有$k$的属性,以及通过对非线性递归的定义,说明如何解决非线性递归问题底层序列称为\emph{clock}序列。\结束{abstract}\newtheorem{定理}{定理}[节]\纽瑟姆{命题{命题}[节]\newtheorem{推论}{推论}[节]\newtheorem{引理}{引理}[节]%\documentclass[12pt]{article}%\使用包{amssymb,amsthm,amssymb}%\usepackup[第一个,bottomafter]{draftcopy}%\使用包{epsfig}%\更新命令{\baselinestretch}{1.2}%这是一个命令,它将手稿隔开以便于阅读%这些是J.A.Pelesko的缩写\newcommand{\eqnref}[1]{\ref{eq:#1}}\newcommand{\secref}[1]{section~\ref{sec:#1}}\newcommand{\figref}[1]{Figure~\ref{fig:#1}}\newcommand{\tabref}[1]{Table~\ref{tab:#1}}\newcommand{\be}{\begin{equation}}\newcommand{\ee}{\end{equation}}\newcommand{\ra}{\rightarrow}\newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}\newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}\纽科曼{\dt}{\delta t}\newcommand{\beas}{\begin{eqnarray*}}\newcommand{\eeas}{\end{eqnarray*}}\纽科曼{\xh}{\hat{x}}\newcommand{\expand}[2]{1(#2)\sim#1#2)+\epsilon#1_1(#2)+\epsilon^2#1#2(+\cdots}\newcommand{\R}{\mathbf{R}}\纽科曼{\norm}[1]{|#| | | | | | | | |{\infty}}%\newtheorem{定理}{定理}\新理论{定义}{定义}\新理论{prop}{命题}\newcommand\around[1]{\ensuremath{\mathbin{\settowidth{\dimen7}{\mbox{$\bigcirc$}}%\makebox[0pt][l]{$\bigcrc$}\makebox[\dimen7]{1}}}}}%\开始{document}%\此页面样式{empty}\第{简介}在1988年at&T贝尔实验室的一次演讲中,J.H.\Conway介绍道序列(整数序列在线百科全书中的A004001)是1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7,8,8,8,8,9,\ldots\ee由递归定义\bec(n)=c(c(n-1))+c(n-c(n-1)),\label{eq:c1}\ee带初始条件$c(1)=c(2)=1$。康威已经证明了$c(n)/n\rightarrow 1/2$,但无法确定收敛速度。有点高估了这个问题他给了第一个能回答的人1万美元的奖金。这个随后不久,C.L.\Mallows\cite{Mallows}回答了这个挑战。Mallows不仅确定了收敛速度,还发现了额外的结构也在序列中。交换引起了大众媒体在{\it纽约时报}上发表了一篇有趣的文章\引用{NYT}。本次交易所产生的A004001的普及也导致对Kubo和Vakil\cite{Kubo}的研究序列的结构被揭示了。使用\emph{压缩用于刻画序列的操作}允许许多A004001的有趣特性。我们还注意到康威和Mallows这个序列以前是由Hofstadter引入的\引用{Hofstadter}并曾出现在《美国人》的问题部分数学月刊\引用{Newman}。今天A004001被称为``Conway Hofstadter\$10000序列“”或作为“Conway Newman”序列。我们称之为“康威·霍夫施塔特”序列。许多激发了人们对(\ref{eq:c1})兴趣的属性都很好由Kubo和Vakil\cite{Kubo}枚举。为了方便读者,我们列出与本文相关的:\开始{enumerate}\项目$c(n)\leq n$。\1美元或1美元(1美元)。\项$c(n)\geq n/2$,相等iff$n$是$2$和$n\neq 1$的幂次。\项目$c(n)/n\longrightarrow 1/2$为$n\longrightarrow\infty$。\项目$c(2n)\leq 2 c(n)$,所有$n$。\结束{enumerate}本文推广了Conway-Hofstadter序列。我们的广义序列显示(\ref{eq:c1})的大部分结构,也展示了有趣的新特性行为。这种推广导致了旧序列的新表示和新的可解非线性递归。\第{概括:\emph{k-Sequences}}在阅读Mallows\cite{Mallows}或Kubo and Vakil\cite{Kubo}的作品时在第一次陈述之后立即被这些陈述所打动康威-霍夫斯塔特序列的上述属性。两位作者都注意到$c(n)\leq n$,然后继续说``这样$c(n)$是由递归定义的。''这番评论和欣赏的动机,对我们的概括是值得的可视化Conway-Hofstadter序列中的项是如何形成的。考虑康威-霍夫斯塔特序列:\beas 1,1,2,2,3\作为第六学期的组成,我们注意到第五学期term等于$3$,从序列3的开始向前数项,从序列的末尾倒数三项,并加上结果找到$c(6)=2+2=4$。此过程将生成序列中的所有术语。注意在这个建造过程中有一个美丽的对称;在形成$n$th项,将序列前半部分的一个项添加到序列的后半部分。这些术语与序列的开始和结束。对锦葵或苦瓜和瓦基尔的观察相当于注意到$c(n)\leq n$保证我们永远不会计数超过终点(或开头)序列的开始。当然,如果我们考虑时钟或模块化算术,计数超出序列的开始或结束不再是问题。这立即表明了我们的普遍性。\开始{definition}我们说$\{c_k(n)\}$是一个类似Conway-Hofstadter的序$k$,当由递归定义\be c_k(n)=c_k(k c_k(n-1)\bmod(n-1))+c_k(n-k密码(n-1)\bmod(n-1))\ee,其中$c\u k(1)=c\k(2)=1$。我们也叫这种序列,k序列,并表示它们为$c\u k$。\结束{definition}注意,这个推广保持了Conway-Hofstadter序列的对称性。也就是说对上述施工过程的唯一修改是中的序列乘以$k$,以及从开始和结束开始的计数序列是用模运算完成的。然而,在形成第n$期时,序列前半部分的一个项仍然添加到来自序列的后半部分;这些项从一开始又是等距的序列结束了。在本文中,我们观察到模算术mod$n$中的零由$n$替换的约定。\小节{k$-Sequences}\label{sec:obs}计算不同$k$序列的前几个项可以揭示一些隐藏在$k$中的熟悉序列以及一些新的惊喜。这个前15个$k$-序列的观察行为总结在下表:\开始{table}[H]\开始{center}\开始{tablar}{c | l}\hline$k$-序列和前二十个术语\\\hline\hline$c_1$&1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7,8,8,8,8,9,10,11,12\ldots\\\hline$c_2$&1,1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11\ldots\\\hline$c_3$&1,1,2,3,4,4,5,6,6,7,8,8,9,10,10,11,12,12,13,14\ldots\\\hline$c_4$&1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10\ldots\\\hline$c_5$&1,1,2,3,3,4,4,5,6,6,7,7,8,9,9,10,10,11,12,12\ldots\\\hline$c_6$&1,1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,9,10,11,11,12,13,13\ldots\\\hline$c_7$&1,1,2,2,3,4,4,5,6,6,7,7,8,8,9,10,11,12,11,12\ldots\\\hline9,1,4,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,8,1,4$c_9$&1,1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,9,10,11,11,12,13,13\ldots\\\hline$c{10}$&1,1,2,2,3,4,4,5,5,6,7,7,8,8,9,10,10,11,11,12\ldots\\\hline$c{11}$&1,1,2,3,4,4,5,5,6,7,8,9,9,9,9,10,12,12,13,14\ldots\\\hline$c{12}$&1,1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10,10,11,12,13,13,14,15\ldots\\\hline$c{13}$&1,1,2,2,3,3,4,5,6,5,5,6,6,6,7,7,8,9,9,10,10,11,10\ldots\\\hline$c{14}$&1,1,2,3,3,4,4,5,6,6,7,7,8,9,10,10,10,12,13\ldots\\\hline$c{15}$&1,1,2,3,4,5,5,6,6,7,9,8,9,10,11,12,12,13,14,15\ldots\\\hline\结束{tablar}\结束{center}\结束{table}当然,$c_1$序列就是康威·霍夫斯塔特序列。其他熟悉的序列也潜伏在这个列表中。序列$c_4$是nice序列$\lfloor(n+1)/2\rfloor$,相当于A004526。$c\u 6$和$c\u 9$似乎都遵循“一个甚至两个”的模式奇数“,因此看起来相当于A004396。序列$c\u 8$和$c{12}$相当于A037915,或者更简单地说是$\lfloor(3n+4)/4\rfloor$。这些建议的等价物需要证明。我们不提供在这一点上证明。相反,我们将首先建立一些然后,关于$c_ck$的结果展示了一种发现隐藏了许多$c_ck$的结构,最后展示了如何证明上表建议的等效性。我们现在注意到各种$k$-序列的直接计算非常有趣$c_1$与其他$c_k$的异同。$c_1$的属性(1)和(3)似乎都满足千美元。但是,对于大多数$c\u k$来说,违反了属性(2)。这是可见的通过单调性的失败和``跳过序列中整数的“”,如$c{11}$和$c{13}$。当然,$cük$的另一个显著特点是一些常见序列的明显的新表示,如A004526或A004396。\节{c_k$}的属性观察表明,所有的$c_ck$都满足增长的上下界类似于$c_1$的界限。这确实是真的,我们已经做到了\开始{prop}$c\u k(n)\leq n$表示所有$n\geq 1$,$k\geq 1$。\结束{prop}\开始{proof}对于任何固定的$k$,我们在$n$上进行归纳。请注意$c_k(1)=c_k(2)=1$和$c_k(3)=2$,因此$1的$c_k(n)\leq n$\leq n\leq 3美元。现在,假设$c_ck(j)\leq j$表示所有$j$满意$1\leq j\leq n$,并考虑$c\u k(n+1)$。我们有\beas c\k(n+1)=c\u k(k c\u k(n)\b模n)+c_k(n+1-k c_k(n)\b模n)。\e如$j=k c\u k(n)\bmod n$,并观察到$1\leq j\leq n$。因此\beas c_k(n+1)=c_k(j)+c_k(n+1-j)\leq j+n+1-j=n+1\eeas和\beas c\u k(n+1)\leq n+1\e根据需要而定。\end{proof}A类似参数得出下限\开始{prop}$c\u k(n)\geq n/2$用于所有$n\geq 1$,$k\geq 1$。\结束{prop}$c\u 1$和一般$c_k$之间的一个关键区别是,属性(2)不必等等。这使得一个特定的$c\k$可以是非单调的并且可以“跳过”整数。例如,$c_7(19)-c_7(18)=-1$演示非单调性属性,而$c{11}$不包含数字$11$,我们将这样做很快就会看到。边界上面提供了一种方法来证明整数确实可以跳过。我们有\开始{prop}设$m>0$,假设$m$不出现在$cаk(N)的前$N$项中$如果$N>200万美元,则以$表示。\结束{prop}\开始{proof}$c\u k(N)\geq\frac{N}{2}>m.$\结束{proof}请注意,这个命题,以及前23美元条款的计算$c{11}$确定$c{11}$确实“缺少”$11$。我们也可以序列$c\u k$。\begin{prop}让$f_k(m)$表示在序列$c\u k$。然后,$fΒk(m)\leq m+1$表示所有$k$和$m$。\结束{prop}\开始{proof}根据我们对$c\k$的下限,我们得到$c\u k(2百万)\geq m$。根据我们的上限美元(百万美元)\leq百万美元。因此,$m$只能出现在$m+1$条件$c m中,c{m+1},\ldots c{2m}$。\结束{proof}另一个自然的问题是$c\k$和$c\u j$是否可以``等价物。我们考虑两个等价的概念。\开始{definition}我们说$c_ck$和$c_j$在数字上等同于$N$iff$c_k(n)=c_j(n)$,对于满足$1\leq n\leq n$的所有$n$。我们说$c\k$和$c_j$在结构上等同于$N$iff$k c_k(N)\bmod N=j c_j(N)\bmod n$表示满足$3\leq n\leq n$的所有$n$。\结束{definition}结构等价性跟踪形成$k$-序列。它决定两个$k$-序列是否通过将位于每个顺序。结构等效显然意味着数值等效性。反之亦然。两个人是可能的序列在数值上是等价的,但在结构上不是相当于。在这两种类型的等价性中,我们考虑结构等效是基础。我们可以计算集合在结构上等价于给定序列的所有$k$-序列中,通过求解一个线性同余系统。例如,考虑一下$c_2$,它以$\{1,1\}$开头。自$2\equiv 0$(mod)起$2$)我们可以发现所有的$k$-序列在结构上等价于通过解同余$k\equiv 0$(mod$2$)来订购$2$。这个偶数整数集满足这个同余。下一步,$c_2$是$\{1,1,2\}$,由于$4\equiv 1$(mod$3$),我们必须求同余$2k\equiv 1$(mod$3$)。解决方案这是算术级数$2,5,8,\ldots$中的数字。因此,$k$-序列在结构上相当于$c_2$$3$是步长为$2\倍的行进中的那些3$,即$k=2,8,14,\ldots$。将$2$替换为$j$和把上面的论点概括一下我们可以看出\开始{prop}给定任何一个$k,N$,存在一个$j\neq k$,这样$c\u k$和$c_j$在结构上是相当于订单$N$。此外,如果$j$是最小的整数,$j\rightarrow\infty$作为$N\rightarrow\infty$。\结束{prop}注意,这个命题意味着没有两个$k$-序列在结构上等价于无穷阶。从这个意义上说$k$-序列是不同的。如上所述,两个$k$-序列可能在数字上相等,但在结构上不相等。数值研究表明,数值等价性是很少。\节{c}k$的节拍}结构对等概念中隐含的结构也可以摆脱特别是$k$-序列的行为。基本结构给定的$k$-序列,即用于创建$c\u k$的术语序列是由关联的\emph{clock}序列跟踪。\开始{definition}与每个$k$-序列,$c\k$相关联,我们定义一个时钟序列,表示为$tΒk$,作为满足条件的序列\比斯t_k(n)=\min(kc_k(n-1)\bmod(n-1),n-k c_k(n-1)\bmod(n-1))\欧洲经济区对于$n\geq 3$,其中$t帴k(1)=t帴k(2)=1$。\结束{definition}请注意,时钟$t\k(n)$,从$n=3$开始跟踪从长度序列的\emph{lower}的一半中得到的项$n-1$,用于计算第$n$th项。就其时钟而言,可以写入$k$-序列\比斯c_k(n)=c_k(t_k(n-1))+c_k(n-t_k(n-1)),\欧洲经济区同样,其中$n\geq 3$。时钟序列在变成\emph{periodic}时变得特别有用。例如,考虑$c_2$的增长。我们在$n-1$used级别圈出条款在$n$级别创建新术语:\开始{center}\开始{tabular}{c}\hline\在{$1$}左右,{$1$}左右\\\大约{$1$},$1$,\n大约{$2$}\\$1$,\大约{$1$}、{$2$}、$3$\\\大约{$1$},$1$,$2$,$3$,\n大约{$3$}\\$1$,\大约{$1$},$2$,$3$,\大约{$3$},$4$\\\大约{$1$},$1$,$2$,$3$,$3$,$4$,\n大约{$4$}\\$1$,\n大约{$1$}、$2$、$3$、$3$、$4$、\n大约{$4$}、$5$\\\hline\结束{tablar}\结束{center}规则的视觉模式转化为2美元。特别是$t_2=1,1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,\ldots$。如果我们假设这种模式继续下去,我们可以从$t\2中提取$$c\u 2$\be所满足的\emph{linear}递归的简单集合c_2(2n)=1+c_2(2n-1),\ee\be c_2(2n+1)=1+c_2(2n-1),\ee在我们的表和属性中对$c\u 2$的描述例如$c_1$的(4)和(5)可以很容易地确定。一个可能推测(如意算盘)一个时钟序列重复自己继续这样做。不幸的是,这个钟已经7美元了提供一个反例,重复其自身的一部分,并且然后游荡到明显的非周期性行为中。但是,什么时候a$c_ck$的行为是有规律的,如果可能很复杂,时尚,时钟序列可以让我们揭开这个隐藏的秘密结构。要在给定的$c\u k$中搜索此结构,我们可以绘制相关时钟序列的相位图。一些序列可以产生视觉上吸引人的长周期行为。显示$c{16}$的“节拍”(时钟)的相图,$c{260}$,和$c{138}$出现在图中\ref{fig:beat16}-\ref{fig:beat138}。\开始{figure}[th]\开始{center}\epsfxsize=100mm\epsfbox{beat16.eps}\结束{center}\caption{c{16}$.}的“节拍”\标签{fig:beat16}\结束{figure}\开始{figure}[th]\开始{center}\epsfxsize=100mm\epsfbox{beat260.eps}\{中间}\caption{c{260}$.}的“节拍”\标签{fig:beat260}\结束{figure}\开始{figure}[th]\开始{center}\epsfxsize=100mm\epsfbox{beat138.eps}\结束{center}\caption{c{138}$.}的“节拍”\标签{fig:beat138}\结束{figure}每幅相图都是通过计算前十幅来绘制的序列和相关时钟序列的千项。然后,关联时钟序列的下一万项被标绘为点$(tаk(n),tаk(n+1))$。如果时钟有在这一点上变成周期性的,揭示了潜在的结构在这个序列中,相位图显示了一个闭合的轨道例如图\ref{fig:beat16}-\ref{fig:beat138}中的那些。打开另一方面,如果“节拍”仍然是不规则的,就不明显了在相图中可以看出顺序。一旦结构被揭示,我们可以对与已知序列或关于未知序列行为的猜想。这些猜想通常很容易被证明(虽然时间很长,但证明是乏味的)。作为一个我们有一个简单的例子\开始{prop}$c_4(n)=\l层\frac{n+1}{2}\rfloor$。\结束{prop}\开始{proof}足以证明\beas c_4(n)=\l层\压裂{n+1}{2}\r层\我们可以很容易地证实对于$n=1$到$n=6$,为真。现在,假设$k=1\ldots为真n$。考虑$c_4(n+1)$。我们必须显示\beas c_4(n+1)=\l层\压裂{n+2}{2}\r层\eeas但是,\beas c_4(n+1)=c_4(4 c_4(n)\b模式n)+c_4(n+1-4 c_4(n)\b模式n)\假设的EEA\beasc_4(n)=\lfloor\frac{n+1}{2}\rfolor\eeas,因此是\beasc_4(n+1)=c_4(4\lfloor\frac{n+1}{2}\rfoor\bmod n)+c_4(n+1)-4\lfoor\frac{n+1}{2}\r地板\bmod n)\但是,$4\l地板\frac{n+1}{2}\rfloor\bmod n$如果$n$为偶数,则为$0$,如果$n$为偶数,则为$2$$n$是奇数。因此,\ beas c_4(n+1)=c_4(1)+c_4(n)=1+\l层\frac{n+1}{2}\r层,$n$even和\beas c_4(n+1)=c_4(2)+c_4(n-1)=1+\lfloor\frac{n}{2}\r层,\e按$n计算$奇怪。由此可以直接得出\beas c_4(n+1)=\l层\根据需要分格{n+2}{2}\rfloor\e。\结束{proof}注意,我们在这个证明中隐式地使用了时钟序列。事实上,结果可根据$t_4$的周期进行重述。随机搜索行为良好的$k$-序列$c_2$、$c_4$或$c{260}$,我们会产生这样的感觉$k$-序列实际上是不规则的。为了更广泛地了解情况,我们计算$c\u k$的“分叉图”。每$k$,我们计算$c\u k$和$t\k$的前5000$条件。那么,我们计算间隔$[02500]$中$t憰k$的密度。最后,我们绘制了这个密度对$k$的负对数。那些因此,一个高度有序的时钟结构,在这个图中显示为峰值。不规则的``把地图打成零。$k的分岔图$图中出现了从一到一千的范围\参考{图:分叉}。\开始{figure}\开始{center}\epsfxsize=100mm\epsfbox{bifurc.eps}\结束{center}\caption{分岔图$c_ck$,那些$c_ck$的通过检查$tаk$是否显示为峰值,可以看出顺序。}\标签{图:分叉}\结束{figure}订单似乎随着$k$的增加而减少。还有高度有序的频率序列似乎随着$k$的增加而减少。\第{开放性问题和更多概括}我们刚刚触及了$k$-序列的表面。许多开放的问题和进一步的概括仍然存在。一个特别的有趣的谜题涉及不规则的序列,如$c\u 7$和$c{13}$。执行序列的时钟,如$c\u 7$或$c{13}$是周期性的还是不规则的?$c\u k(n)/n$对这些序列有限制吗?另一个问题与“缺少”数字(如$c{11}$)相关的序列。计算表明,$c{11}$缺少$11$、$29$、$33$、$37$,和39美元。$c{11}$会错过无穷多个整数吗?什么是缺少整数序列?还有一个不那么精确的问题是秩序。是否有一个$k$-序列在长时间后变得不规则规律性?(读者可能希望检查$c{204}$,其中表现出相反的行为。)我们也可能会问:还有什么其他已知的序列潜伏在$k$中?最后,我们注意到一些作者将Conway-Hofstadter序列推广到了这里介绍的那个。不过,这里的概括可应用于Mallows\cite{Mallows},Newman提供的服务\cite{Newman},或Pinn\cite{Pinn}。例如,Mallows\cite{Mallows},引入了序列\是c(n)=c(c(n-2))+c(n-c(n-2))\ee作为Conway-Hofstadter序列的推广。这种概括将序列的下一项基于序列的第二项到最后一项。将$c(n-2)$项乘以$k$,然后计算模$n-1$,这是很自然的概括了这里介绍的$k$-序列的精神。我们希望读者对本文提出的初步结果感兴趣会受到启发去发现有关$c_ch$的新事实或将Mallows,Newman,Pinn的工作概括为建议在这里。\段落*{确认}感谢朱莉娅·佩雷斯科,她对Logo的兴趣促成了这项工作和M\Tempel的文章\cite{Tempel}首先向我们介绍了Conway-Hofstadter序列。同时也要感谢匿名裁判员提供了许多有用的意见和建议。\开始{参考书目}{20}\bibitem{conwaytalk}J.H.\Conway,一些疯狂的片段,录像带1988年7月15日在at&T贝尔实验室演讲。\bibitem{Mallows}C.L.\Mallows,康威的挑战序列,\textit{Amer.Math.Monthly}\textbf{98}(1991),5--20。\《智力决斗:大胆的挑战》,反应迅速,纽约时报,C版,1988年8月30日,1。\bibitem{Kubo}T.\Kubo和R.\Vakil,关于Conway的递归序列,\textit{Disc.Math.}\textbf{152}(1996),225--252。\{Vintage斯塔霍夫,比德巴赫图书,纽约,1980,137。\bibitem{Newman}D.\Newman,问题E3274,\textit{Amer.Math。月刊}\textbf{95}(1988),555。\bibitem{Pinn}K.\Pinn,Conway递归的一个混沌表亲序列,\texdit{Exp.Math.}\textbf{9}(2000),55--66。\bibitem{Tempel}M.\Tempel,简单到$1 1 12 2 3$,\textit{在线出版物Logo基金会},el.media.mit.edu/Logo-Foundation/pubs/papers。\结束{参考书目}\大跳跃\hrule公司\大跳跃\noindent 2000{\it数学学科分类}:一级11B37;二级11B50。\noindent\emph{关键词:}康威·霍夫斯塔特,斐波那契序列,非线性递归。\大跳跃\hrule公司\大跳跃\noindent(与序列有关\seqnum{a00401},\序号{A004526},\seqnum{A004396},以及\序号{A037915}。)\大跳跃\hrule公司\大跳跃\vspace*{+.1in}\诺登登收到日期:2004年1月19日;修订版于2004年8月16日收到。发表于{\it整型序列杂志},2004年10月1日。\大跳跃\hrule公司\大跳跃\诺登登返回到\htmladnormallink{Journal of Integer Sequences主页}{http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/}.\vskip.1英寸\结束{document}\结束{document}