\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage（使用包）[无色墨水=真，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb，graphicx}使用包\使用包[all]{xy}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\设置长度{\textheight}{8.9in}\newcommand{\seqnum}[1]{\href{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/~njas/sequences/eisA.cgi？Anum=#1}{\underline{#1}}}\新定理{定理}{定理{\def\trace{\rm-trace}\newcommand{\qed}{\hfill\vrule height6pt width6pt深度0pt\medskip}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\leavevmode\epsffile｛logo129.eps｝\结束{中心}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf中心三项式}的一些公式\vskip.3cm{\LARGE\bf和Motzkin数}\vskip 1cm\大型丹·罗米克\\数学系\\魏茨曼科学研究所\\雷霍沃76100\\以色列\\\href{mailto:romik@wisting.weizmann.ac.il}{romik@wisdom.weizman.ac.il}\结束{中心}\vskip 0.5厘米\开始｛摘要｝我们证明了中心三项式的两个新公式系数和Motzkin数。\结束{抽象}\章节{引言}\大跳跃让$c_n$表示$n$th\emph{中心三项式系数}，定义为$（1+x+x^2）^n$展开式中$x^n$的系数，或更多组合，如从开始的平面路径数$（0,0）$结束于$（n，0）$，其允许步长为$（1,0），（1,1），(1,-1)$. 让$m_n$表示$n$th\emph{Motzkin数字}，定义如下不下降到$x$轴。前几个$c_n$是$1,3,7,19,51，…$，和第一个少数$m_n$是$1,2,4,9,21，…$。我们证明了\开始{定理}\\vspace{-15.0磅}\开始{方程式}{\标签{eq:motzkin}}m_n=\sum_{k=\lceil（n+2）/3\rceil}^{\lfloor（n+2）/2\rfloor}\压裂{（3k-2）！}{（2k-1）！（n+2-2k）！（3k-n-2）！{结束{方程}\开始{方程式}{\标签{eq:三项}}cn=（-1）^{n+1}+2n\sum_{k=\lceil n/3\rceil}^{\lfloor n/2\rfloor}\压裂{（3k-1）！}{（2k）！（n-2k）\结束{定理}将这些公式与其他已知公式进行比较是很有趣的$mn$和$cn$的公式\引用{6}：$$m_n=\sum_{k=0}^{\lfloorn/2\rfloor}\frac{n！}{k！（k+1）！（n-2k）！}$$$$m_n=\sum_{k=0}^n\frac{（-1）^{n+k}\n！\，（2k+2）！}{k！\，（k+1）！）^2\，（k+2）（n-k）！}$$$$c_n=\sum_{k=0}^{楼层n/2\rfloor}\frac{n！}{（k！）^2（n-2k）！}$$$$c_n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{\lfloorn/2\rfloor}\压裂{3^k（2n-2k）！}{k！（n-k）！（n-2k！}$$公式如\eqref{eq:motzkin}和\eqref{eq:三项式}可以是通过计算机自动验证，使用的方法和软件佩特科夫·塞克、威尔夫和泽尔伯格\引用{5}。我们提供一个独立的、非自动的证明，涉及可能导致发现其他对称性的某些对称性思想身份。证明中使用的两个更简单的辅助恒等式是也可以自动验证，不应被证明。\{主要结果的证明}\段落{eqref{eq:motzkin}.}的证明我们的证明使用了生成函数\cite{6}用于数字$mn$，即$$f（x）=\压裂{1-x+\sqrt{1+2x-3x^2}}{2}=1-x^2+sum_{n=3}^（-1）^{n+1}m_{n-2}x^n$$那么$f$满足$f（0）=1，f（1）=0$，并且在$[0,1]$上递减。另一个$f$的性质在证明中是必不可少的，它满足函数方程\开始{方程式}{\标签{eq:对称}}f（x）^2-f（x）s^3=x^2-x^3，\qquad 0\lex\le1，\end{方程式}这很容易验证。一个简单的推论是$f（f（x））=x$对于[0,1]$中的$x\。接下来，定义$$g（x）=\sum_{k=1}^\infty\frac{2（3k-2）！}{（2k）！（k-1）！}（x^2-x^3）^k$$自$[0,1]$起，$x^2-x^3$获得的最大值为$4/27$（$x=2/3$），根据斯特林公式，级数在任何地方都收敛在$[0,1]$上，函数$g（x）$是实际解析的，除了$x=2/3$。我们现在将$g（x）$展开为$1-x$的幂；全部重排绝对收敛允许操作：$$g（x）=\sum_{k=1}^\infty\frac{2（3k-2）！}{（2k）！（k-1）！}x^{2k}（1-x）^k=$$$$=\sum_{k=1}^\infty\frac{2（3k-2）！}{（2k）！（k-1）！}（1-x）^k\sum_{j=0}^k\二进制{2k}{j}（-1）^j（1-x）^j=$$$=\sum{n=1}^\infty\左（sum{k=\lceiln/3\rceil}^n\binom{2k}{n-k}（-1）^{n+k}\frac{2（3k-2）！}{（2k）！（k-1）！}\right）（1-x）^n=1-x$$其中最后一个等式来自自动验证\引用{5}恒等式$$\sum_{k=\lceil n/3\rceil}^n\frac{（-1）^k（3k-2）！}{（k-1）！（n-k）！（3k-n）！}=0，n>1$$我们已经证明$g（x）=1-x$接近$x=1$。但由于$g（x）$被定义为$x^2-x^3$的函数，由\eqref{eq:symmetry}得出$g（f（x））=g（x）$，因此接近$x=0$$$g（x）=g（f（x））=1-f（x）=x^2+\sum_{n=3}^\infty（-1）^n m_{n-2}x^n$$现在为了证明\eqref{eq:motzkin}，我们再次将$g（x）$展开为$x$的幂使用简单合理的重排操作$$g（x）=\sum_{k=1}^\infty\frac{2（3k-2）！}{（2k）！（k-1）！}x^{2k}（1-x）^k=$$$$=\sum_{k=1}^\infty\frac{2（3k-2）！}{（2k）！（k-1）！}x^{2k}\sum_{j=0}^k\二进制{k}{j}（-1）^jx^j=$$$=sum{n=2}^\infty\left(（-1）^n\sum_{k=\lceil n/3\rceil}^{floor n/2\rfloor}压裂{（3k-2）！}｛（2k-1）！（n-2k）！（3k-n）！｝\right）x ^n$$将最后两个公式中的系数相等，得到\eqref｛eq:motzkin｝。\定量定量分析\段落{eqref{eq:三项}.}的证明这次我们使用了类似的想法使用函数$-\log f（x）$代替函数$f（x生成与$cn$相关的序列。由于的生成函数众所周知，$c_n$引用{6}为$1/\sqrt{1-2x-3x^2}$，很容易确认$$\frac{f'（x）}{f（x）{=\sum_{n=0}^\infty\frac}（-1）^nc_{n+1}-1}{2}\x^n$$因此$$-\log f（x）=\sum_{n=1}^\infty\frac{（-1）^ncn+1}{2n}\x^n$$现在定义函数$$h（x）=\sum_{k=1}^\infty\frac{（3k-1）！}{k！（2k）！}（x^2-x^3）^k$$它再次将[0,1]$中的所有$x\收敛到一个解析函数$x=2/3$时除外。将$h（x）$扩展为$1-x$的幂$$h（x）=\sum_{k=1}^\infty\frac{（3k-1）！}{k！（2k）！}（1-x）^k\sum_{j=0}^{2k}\二进制{2k}{j}（-1）^j（1-x）^j=$$$=\sum{n=1}^\infty\左（sum{k=\lceiln/3\rceil}^n\binom{2k}{n-k}（-1）^{n-k}\frac{（3k-1）！}{k！（2k）！}\right）（1-x）^n=$$$=sum_{n=1}^\infty\裂缝{（1-x）^n}{n}=-\log x$$再次使用可验证身份\引用{5}，即\开始{方程式}\标签{eq:liggett}（-1）^n\sum_{k=\lceil n/3\rceil}^n\frac{（-1）（3k-1）！}{k！（n-k）！（3k-n）！}=\frac{1}{n}，\qquadn\ge1。\结束{方程式}因此$h（x）=-\log x$接近$x=1$，因此由于对称性属性\eqref{eq:symmetry}我们有$h（x）=-\logf（x）$near$x=0美元。将$h（x）$扩展为$x$接近$x=0$的幂$$-\log f（x）=h（x）=\sum_{k=1}^\infty\frac{（3k-1）！}{k！（2k）！}x^{2k}\和{j=0}^k\binom{k}{j}（-1）^jx^j=$$$=\sum{n=2}^\infty\left（（-1）^n\sum{k=\lceil n/3\rceil}^{floor n/2\rfloor}\压裂{（3k-1）！}{（2k）！（n-2k）（3k-n）！}\右）x^n$$用先前的$h（x）$展开式等式系数给出了\eqref{eq:三项}。\qed（质量工程师）\段落｛备注。｝\开始｛枚举｝\关于看公式的一个显而易见的问题\eqref｛eq:motzkin｝和\eqref｛eq:trinnomial｝是，它们可以解释吗组合？也就是说，已知集合之间是否存在双射由数字$mn$和$cn$枚举，并设置其基数被视为\eqref{eq:motzkin}的右侧和\eqref{eq:三项}？这种解释目前还没有出现。\item Identity\eqref{eq:liggett}是更通用的由托马斯·利格特（Thomas Liggett）发现的恒等式[等式（6）]{4}。\项目请参见\引用{1,2,3,6}中涉及中心的其他公式三项式系数和Motzkin数，以及更多关于属性的信息，以及许多不同的这些序列的组合解释。\结束{enumerate}\{确认}节多亏了一些匿名裁判有用的建议和参考。\开始{书目}{9}\bibitem{1}M.艾格纳，莫茨金数。{欧洲联合杂志}19（1998），663--675。\bibitem{2}E.Barccci、R.Pinzani和R.Sprugnoli，莫茨金家族。{\纯数学。申请。序列号。A} 2（1991），249--279。\bibitem{3}R.Donaghey和L.W.Shapiro，莫茨金数。{它J.组合理论序列号。A} 23（1977年），291--301。\bibitem{4}A.E.Holroyd、D.Romik和T.M.Liggett，《积分、分区和细胞自动机。出现在{\it Trans.Amer.Math.Soc.}中\双项目{5}M.Petkov \v sek、H.S.Wilf和D.Zeilberger，《美元A=B$》，A.K.Peters，1996年。\双条目{6}N.J.A.Sloane，编辑（2003），在线整数百科全书序列，\texttt{http://www.research.att.com/$\tilde{\}$njas/sequences/}，序列\texttt｛A0002426｝、\texttt｛A001006｝。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2000{\it数学学科分类}：05A10、05A15、05A19。\\\noindent\emph｛关键字：｝中心三项式系数，Motzkin数，二项式身份。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A001006}和\seqnum{A002426}。）\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2003年3月25日收到；修订版于2003年6月20日收到。发表于2003年7月8日的《整数序列杂志》。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/}。\vskip.1英寸\结束{文档}