%------------------------------------------------------------------------------%间隙开始3h.tex%%AMS-LaTeX2e原稿源文件%%“10^15和5*10^16之间的新素数间隔”，%%原标题%%`` 10^15<p<5*10^16中第一次出现素数间隙'，%%作者：Bertil Nyman和Thomas R.Nicely。%%原稿于2003年2月10日提交给《整数序列杂志》。%%该修订版于2003年8月13日提交给《整数序列杂志》。%%------------------------------------------------------------------------------\文档类[12pt，请求号]{amsart}\usepackage[用户名]{颜色}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]｛hyperref｝\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\设置长度{\textheight}{8.9in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/~njas/sequences/eisA.cgi？Anum=#1}{\下划线{#1}}}%\公差=250\更新命令{\，}{\hskip.03em\relax}\新定理{定理}{定理[段]\新定理{引理}[定理]{引言}\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{xca}[定理]{练习}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\newcommand｛\abs｝[1]｛\lvert#1｝服务器\新命令{\ul}{\underbar}\新命令{\blankbox}[2]{%\parbox{\columnwidth}{\居中\集合长度{\fboxsep}{0pt}%\fbox{\raisebox{0pt}[#2]{\hspace{#1}}%}%}\定义\NNB{1.598508912\times10^{15}}\定义\ CFKO{10884}\定义\GFKO{233822}\定义\NV{4.5\times10^{15}}\定义\平铺{\raise0.5ex\hbox{$\sim$}}\def\tmark｛\tminy\raise1.5ex\hbox｛T\kern-0.1em｛M｝｝\normalsize｝\定义\rmark{\raise1.3ex\hbox{\tiny\kern0.2em{R}%\kern-0.92em\scriptsize\mathhexbox20D}\normalsize}\def\cplusplus{{C}\raise0.4ex\hbox{\tinin{+}}\normalsize}\定义\A{\approx}\定义\S{\斜线}\定义\D{\ddag}\声明MathOperator{\Li}{Li}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf$\bf 10^{15}$和$\bf5\times10^{16}$}之间的新素数间隔\vskip 1厘米\大型贝蒂尔·尼曼\\SaabTech Systems AB公司\\乌普萨拉\\瑞典\\\链接{mailto:bertil.nyman@sabtech.se公司}{\tbertil.nyman@saabtech.se}\\\ \\Thomas R.Nicely\脚注[1]{通讯作者。}\\丹德里奇大道1113号\\弗吉尼亚州林奇堡24501-2231\\美国\\\链接{mailto:trnicely@hotmail.com}{\ttrnicely@hotmail.com}\\\href公司{网址：http://www.trnicely.net}{\t网址：http://www.trnicely.net}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{居中}{\bf摘要}\结束{中心}首先搜索了从$10^{15}$到$5\times10^{16}$的间隔发生素数间隙和最大素数间隙。一百二十二发现了新的首次出现，包括四个新的最大间隙，留下1048美元作为第一次出现尚不确定的最小缺口。首次出现1000美元或以上的主要缺口是继1693182318746371$之后的1132$的最大缺口。最高价43841547845541059美元之后，最大缺口为1184美元。更多主要差距的详细表格保存在\href公司{网址：http://www.trnicely.net}{\t网址：http://www.trnicely.net}.\小跳跃\章节{引言}我们只讨论正整数。让$Q$表示素数序列，$Q=\{2,3,5,7,11，\ldot，Q_k，Q_{k+1}，\ldots\}$和$D$连续素数的差序列，$D=\｛1,2,2,4，\ldots，q_｛k+1｝-q_k，\ldots\｝$。{it素数间隙}$G$是由两个连续素数限定的区间数字$qk$和$q{k+1}$。{度量}（大小、大小）$g$素数间隙$G$是其边界素数的差值$G=q_{k+1}-q_k$。素数间隙通常由其度量值$g$及其初始素数指定$p_1=q_k$，较少使用度量值$g$和终端素数$p_2=q_{k+1}$。度量值$g$的主要缺口包含$g-1$连续复合整数。主要差距的度量是连续的序列$D$的元素。因为2美元是唯一的偶数素数质隙是均匀的，唯一的例外是在质数$2$之后测量$1$。在图中，度量值差距$g=6$（或者简单地说差距$6$）如下prime$p1=23$，而紧随prime$139$之后的是$10$。基本上存在任意大尺度的间隙，因为，正如Lucas\cite{Lu}所观察到的，对于$n>0$，整数$（n+1）！+1美元必须后面是至少$n$个连续的复合词，可以连续整除2美元、3美元、10美元、n+1美元；然而，$n+1$仅代表上的下限这种差距的衡量。素数之后度量值$g$的素数差距的{优点}$M$$p_1$被定义为$M=g/\ln（p_1）$。它是度量的比率与该点附近的“平均”差距测量值的差距；作为一个素数定理的结果$x$附近的连续素数约为$\ln（x）$。度量值$g$的素数缺口被视为{\it第一次出现素数间隙}当没有更小的连续素数相差$g$时，即当这是序列中第一个出现正整数$g$$D$美元。因此，在7美元之后出现4美元的缺口是第一次出现的，而在13美元之后，4美元的差距不是。请注意复合形容词{\第一次出现}没有任何含义关于发现的历史优先级。间隙的多个实例$1048$的已知值，但尚未发现首次出现尽管其中一个有最早的历史发现日期。这个该术语沿用了扬和波特的{YP}，并产生了更多简洁的措辞比一些过去和现在的替代命名法。如果度量值$g$的素数间隙严格超过，则将其命名为{\it maximum}所有之前的差距，即任何两个连续的差距较小的素数是$\，<g$，因此$g$超过了$D$美元。因此，紧随23美元之后的6美元差距是最大的主要差距，因为每一个较小的素数之后都会有不到6美元的差额$测量中；但10美元的缺口紧随139美元的黄金之后，而第一个发生率不是最高的，因为差距较大（14美元以下素数$113$）在整数序列中位于它之前。最大素数间隙也是{\it-ipso-actual}第一次出现的质数间隙。此外，术语{\it-first known occurrence prime gap}用于表示尚未证明的度量值$g$的主要差距（可能是，也可能不是）测量间隙的真实首次出现$g$；这种情况是由于对差距（和素数）。因此，Nyman发现了继88089672331629091美元之后，1048美元的缺口也不小实例已知；但由于他的彻底扫描仅限于$5\times10^{16}$，这个差距暂时只是第一次已知事件，而不是第一次发生。首次已知事件服务作为尚未建立的首次出现的上限。搜索第一次出现和最大素数间隔之前Glaisher\cite{Gl}的作品扩展到$10^{15}$，西部{We}、莱默{Le}、阿佩尔和罗瑟{AR}、兰德和帕金（Parkin）、布伦特（Brent）、波特勒（Potler），和Nicelly\cite{Ni99}。目前的工作将这个上限扩展到$5\times10^{16}$。目前正在继续计算Tom’as Oliveira e Silva\cite{Silva}的$5\times10^{16}$，作为为哥德巴赫猜想生成数字证据的项目。\第{节计算技术}这些计算是在几年内进行的，在众多个人计算机之间异步分布，利用空闲的CPU时间。尼曼完成了大部分计算；雇佣尽可能多的员工1998年至2002年，他共有80个系统从$\NNB$到$5\times10^{16}$。尼斯利的质数差距始于年1995年夏天，但这里报道的部分是1997年至1999年期间$10^{15}$到$\NNB$，正在使用的系统数大约从五岁到二十五岁不等。采用的算法埃拉托西尼的经典筛子，添加了一些速度提升优化，以执行详尽的连续变量之间差异的生成与分析素数。定位大素数的更复杂技术间隙，例如扫描算术级数由于搜索第一个事件与其他任务同时进行；尼斯利正在计算主要星座，而尼曼正在聚集素数缺口频率分布的综合统计。在为防止错误而采取的措施中（是否源自逻辑、软件或硬件），计数$\pi（x）$根据已知的值，例如Riesel\cite{Ri94}发布的值，以及特别是Silva最近计算的广泛数值\引用{席尔瓦}。此外，Nicely后来复制了Nyman的结果通过$\NV$。\部分｛计算结果｝表\ref{Table1}列出了新发现的第一个出现素数本研究产生的差距；最大间隙表示为双匕首（\D）。每个表条目都显示gap和初始质数$p1$。$10^{15}之间的15个缺口$和$\NNB$应支付给Nicely；其余的都是尼曼发现的。\开始{table}[ht]\标签{表1}\开始{居中}\vskip 1个\开始｛small｝\开始{tablar}{rrrrr\氯化氢间隙&紧跟素数&间隙&紧随素数&差距&紧跟质数\\\氯化氢796& 1271309838631957& 928& 10244316228469423& 1010& 21743496643443551\\812& 1710270958551941& 930& 3877048405466683& 1012& 22972837749135871\\824& 1330854031506047& 932& 10676480515967939& 1014& 13206732046682519\\838& 1384201395984013& 934& 8775815387922523& 1016& 25488154987300883\\842& 1142191569235289& 936& 2053649128145117& 1018& 37967240836435909\\846& 1045130023589621& 938& 3945256745730569& 1020& 24873160697653789\\848& 2537070652896083& 940& 9438544090485889& 1022& 10501301105720969\\850& 2441387599467679& 942& 10369943471405191& 1024& 22790428875364879\\852& 1432204101894959& 944& 4698198022874969& 1026& 14337646064564951\\854和1361832741886937和946和84458992546553313和1028和16608210365179331\\856& 1392892713537313& 948& 5806170698601659& 1030& 21028354658071549\\858& 1464551007952943& 950& 5000793739812263& 1032& 19449190302424919\\864& 2298355839009413& 952& 3441724070563411& 1034& 11453766801670289\\866& 2759317684446707& 954& 8909512917643439& 1036& 36077433695182153\\868& 1420178764273021& 956& 7664508840731297& 1038& 28269785077311409\\870& 1598729274799313& 958& 6074186033971933& 1040& 46246848392875127\\874& 1466977528790023& 960& 5146835719824811& 1042& 33215047653774409\\876& 1125406185245561& 962& 9492966874626647& 1044& 7123663452896833\\878& 2705074880971613& 964& 5241451254010087& 1046& 25702173876611591\\882& 3371055452381147& 966& 5158509484643071& 1050& 13893290219203981\\884& 1385684246418833& 968& 19124990244992669& 1054& 26014156620917407\\886& 4127074165753081& 970& 10048813989052669& 1056& 11765987635602143\\888和2389167248757889和972和4452510040366189和1058和286423797602723\\890& 3346735005760637& 974& 10773850897499933& 1060& 15114558265244791\\892& 2606748800671237& 976& 14954841632404033& 1062& 15500910867678727\\894& 2508853349189969& 978& 12040807275386881& 1064& 43614652195746623\\896& 3720181237979117& 980& 19403684901755939& 1068& 23900175352205171\\898& 4198168149492463& 982& 18730085806290949& 1072& 40433690575714297\\900& 2069461000669981& 984& 11666708491143997& 1074& 33288359939765017\\902& 1555616198548067& 986& 34847474118974633& 1076& 20931714475256591\\904& 3182353047511543& 988& 11678629605932719& 1084& 41762363147589283\\908& 2126985673135679& 990& 2764496039544377& 1098& 25016149672697549\\910& 1744027311944761& 992& 4941033906441539& 1100& 21475286713974413\\912& 2819939997576017& 994& 3614455901007619& 1102& 39793570504639117\\914& 3780822371661509& 996& 14693181579822451& 1106& 29835422457878441\\\D 916和1189459969825483和998和11813551133888459和1108和43986327184963729\\918& 2406868929767921& 1000& 22439962446379651& 1120& 19182559946240569\\920& 4020057623095403& 1002& 14595374896200821& 1122& 31068473876462989\\922&4286129201882221&1004&7548471163197917&\D1132&1693182318746371\\\D 924&16869940955803&1006&37343192296558573&\D1184&43841547845541059\\926& 6381944136489827& 1008& 5356763933625179& & \\\氯化氢\结束{表格}\结束{小}\结束{中心}\vskip.1英寸{\bf表1。$\bf 10^{15}之间的第一次出现素数间隙$和$\bf 5\times10^{16}$。{\rm$\D$}表示最大间隙}\结束{表格}\部分｛观察结果｝作为计算的附带结果，Nyman计算了孪生素数$\pi2（5\times10^{16}）=47177404870103$，为其计算此函数的最大参数。尼曼对于对应素数；这是$x$的最大值通过直接枚举确定$\pi（x）$，并确认Del’eglise和Rivat’cite{DR}之前获得的值，使用间接筛分法。Nyman还为低于$5\times10^{16}$的所有素数缺口的分布。之前已知的423$首次出现的素数缺口的列表（包括$61$最大缺口），低于$10^{15}$的由Young、Potler和Nicely共同出版\引用{Ni99}，为了简洁起见，此处省略。第一次出现和最大素数的综合列表在Nicely的URL。Nicely还在他的URL上保存了大量已知的出现素数间隙，超出当前的上限详尽计算，主要由第三方发现，值得注意的是哈维·杜布纳（Harvey Dubner）引用了{Du}。这些列表显示了特定的差距对于$\CFKO$以下的每个偶数正整数，以及其他整数不超过$\GFKO$的离散偶数整数；对于一些超过$8000$的大小，边界整数只被证明是强的可能素数（基于多重Miller检验）。此处首次出现的最大间隙是最高价43841547845541059美元之后的最大缺口为1184美元，Nyman于2002年8月发现31美元。第一个1048美元的缺口仍不确定。最高价1693182318746371美元之后的最大差额为1132美元，Nyman于1999年1月发现了$24$``千间隙“”，即测量值为1000或更大的任何间隙。它的最大化持续一个非常大的间隔；成功者最大缺口为1184美元，紧随价格43841547845541059美元之后。这两个连续最大间隙的初始素数之比为25.89$，远远超过之前的7.20$的极端比率最大缺口为34$（1327$之后）和36$（9551$之后），每一个都是由Glaisher\cite{Gl}于1877$发现的。此外，差距1132$是任何已知差距中最大的优点（$\A 32.28$）；最大值1184$的差距是唯一一个低于$5\times10^{16}$的差距30美元或以上。1132美元的缺口对相关推测也很重要由Cram’ercite{Cr}和Shanks’cite{Sh64}提出，关于比率$g/ln^2（p_1）$。Shanks认为，它的极限第一次出现，应为1；克拉姆认为，极限更高，接管所有主要缺口，应为1。然而，格兰维尔\cite{Gr}，提供证据证明限额上级$\ge 2e^{-\gamma}\A 1.1229$。对于1132美元的差额，比率为$\A 0.9206$，任何$p_1>7$观察到的最大值，之前的最佳成绩是$\0.8311$，最大差距为$906$在Nicely\cite｛Ni99｝发现的218209405436543加元之后2月份，1996美元。为了描述首次出现的主要差距的分布，包括西方国家的努力\引用{We}、Cram\'er\引用{Cr}、Shanks\引用{Sh64}、Riesel\引用{Ri94}、，罗德里格斯（Rodriguez）、席尔瓦（Silva）和沃尔夫（Wolf）。我们只是注意这里Nicely的经验观察低于$5\times10^{16}$的最大素数间隙遵循以下关系：\vskip-10磅\开始{方程式}\标签{G1}0.122985\cdot\mskip-2mu\sqrt{g}\cdot\ exp{\sqrt}}\mskip9mup_1\mskip4mu<\mskip8mu 2.096\cdot g\cdot\exp｛\sqrt｛g｝｝\ quad。\结束{方程式}\vskip 2磅\eqref{G1}对{\it-all}第一次出现的素数间隙的有效性仍然是一个猜测问题。其推论之一是猜想每个正偶数都表示差值以及一个相当精确的估计保罗·卡尔森1964年向丹尼尔提出的问题的答案Shanks\cite{Sh64}，即第一次出现的位置100万个连续合成数字。输入的参数$g=1000002$into \eqref{G1}生成结果$2.4\乘以10^{436}，这接近Shanks自己对$10^{300}<\mskip4mu p_1<\mskip2mu 10^{600}$。\{确认}节Nyman感谢\hbox{SaabTech}Systems~AB提供的卓越服务计算设施。\书目样式{amsplain}\开始{书目}{29}\bibitem{AR}肯尼思·伊·阿佩尔（Kenneth I.Appel）和J.巴克利·罗瑟（J.Barkley Rosser），素数函数估计表，IDA-CRD第4号技术报告（1961年）。已在中审阅RMT\textbf{55}，\textit{Math.Comp.}\textbf{16}（1962），500--501。\bibitem{Br73}理查德·P·布伦特连续素数之间的间隙\textit｛Math.Comp.｝\textbf｛27｝（1973），959--963. 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