\文档类[12pt]{文章}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\使用包{epsf}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\设置长度{\textwidth}{6.2in}\设置长度{\textheight}{9in}\集合长度{\oddsidemargin}{.2in}\集长度｛\topmargin｝｛-0.25英寸｝\设置长度{\headheight}{0in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/~njas/sequences/eisA.cgi？Anum=#1}{\下划线{#1}}}\续订命令{\footnote}{\fnsymbol{foote}}\更新命令{\table}{\Roman{table}}\新定理{定理}{定理{\新定理{引理}[定理]{引言}\定义\slfrac#1#2{\hbox{\kern.1em%\提升.5ex\hbox{\the\scriptfont0#1}\kern-.11em%/\kern-.15em\lower.25ex\hbox{\the\scriptfont0#2}}\定义\binom#1#2{#1}\choose{#2}}\新命令{\bsq}{{\vrule height.9ex width.8ex 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\\%\vspace{2\baselineskip}%2003年3月28日：2003年6月30日修订\\\vspace{2\baselineskip}{\bf摘要}\\\vspace{.5\baselineskip}\结束{中心}%\集合长度{\baselineskip}{1.5\baselineskip}Aronson的序列1、4、11、16、$\ldots$由英语句子定义``t是第一个、第四个、第十一个、第十六个$\ldots$字母“”本文介绍了一些数值模拟，例如：$a（n）$取为大于的最小正整数大于$a（n-1）$，这与条件一致``当且仅当$a（n）$是奇数时，$n$是序列的成员这个序列也可以用它的“方形”来表征，序列$a^{（2）}（n）=a（a（n））$，它等于$n\ge1$的$2n+3$。这个序列有很多推广，其中一些是新的，而另一些则是新的在先前已知的序列上。\章节{引言}阿伦森的序列由英语句子定义``t是第一个、第四个、第十一个、第十六个$\ldots$字母对于这句话（不包括空格或逗号），“”这是一个典型的自我参照序列（引用{Aro85}，引用{Hof85}，序列M3406在{EIS}中，\htmladdnormal链接{A5224}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A005224}引用{OEIS}）。由于例如，有些人说100以上的数字的英文名称``一百零一“，而其他人说‘一百零一’另一个众所周知的例子是Golomb序列，其中$n^{\rm th}$术语$G（n）$（对于$1$）是$n$出现的次数在序列中（\htmladdnormallink{A1462}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A001462}引用{OEIS}）：$1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,66,6,7,7,8美元$$$G（n）$有一个简单的公式：它是最接近（和）的整数$$\phi^{2-\phi}n^{\phi-1}~$$其中$\phi=（1+\sqrt{5}）/2$（\cite{Gol66}，\引用[第E25节]{UPNT}）。其他例子可以在霍夫斯塔特的书中找到，\引用{Hof85}、引用{UPNT}和引用{OEIS}。然而，摘要中提到的序列$\{a（n）\}$似乎是新的，正如我们将讨论的许多其他序列一样。我们还将给出一些序列的新性质已经在别处研究过了。第~\ref{Sec2}节讨论了摘要中提到的顺序，还引入了序列的“方形”。一些简单的推广（非单调，``甚至“”和“撒谎”版本）也在第~\ref{Sec3}节。最初的顺序是基于对序列模2的检验。在第~\ref{Sec4}节中，我们考虑了各种“mod$y$”概括。第~\ref{Sec5}节扩展了原始序列以及通过定义“mod$y$”泛化序列的“Aronson变换”。最后，第~\ref{Sec6}节简要考虑规则定义序列时的情况取决于多个术语。事实上，有很多可能的概括我们这里只提到其中的一些。我们甚至还没有分析我们提到的所有序列。在某些情况下，我们只列出前几个术语邀请读者亲自调查。我们给出了这些序列位于\cite{OEIS}中，其中的条目将随着更多信息可用而更新。我们还研究了当\eqn{Eq2}替换为以下规则：$s（1）=x，s（n）=s（n-1）+y$如果$n$已经在序列，$s（n）=s（n-1）+z$否则，对于指定的$x、y、z$的值。这项工作将在别处\cite{CSV03}进行描述。\段落{Notation.}此处的“序列”通常表示无限序列非负数``单调递增“”意味着每一项严格大于上一项。$\PP=\{1,2,3，\ldots\}$，$\NN=\{0,1,2,3，\ldots\}$。\当且仅当$a（n）$是奇数}\label{Sec2}时，段{$n$在序列中让序列$a（1）$、$a（2）$、$a（3）、\ldots$被定义根据$a（n）$是最小正整数的规则$>$$a（n-1）$，这与以下条件一致：\beql{Eqa}\mbox{`$n$是序列的成员当且仅当$a（n）$是奇数。'}\脑电图第一项$a（1）$可以是1，因为1是奇数序列中有1个。它也可以是2，因为那时1不在序列（因为项必须增加）和2是偶数。但我们必须取可能的最小值，因此$a（1）=1$。现在$a（2）$不能是2，因为2是偶数。$a（2）$也不能是3，因为2不在序列中，而是$a（1）$会很奇怪。然而，$a（2）=4$是允许的，所以我们{\em必须}取$a（2）=4$，那么2和3不在序列中。所以$a（3）$必须是偶数且$>4$，并且$a（三）=6$有效。现在4在序列中，所以$a（4）$必须是奇数，$a（四）=7$有效。继续这样，我们发现前几个术语如下（这是\htmladdnormallink{A79000}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079000})以下为：$$\开始{数组}{rrrrrrrrr}n： &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&\cdot\\a（n）：&1&4&6&7&8&9&11&13&15&16&17&18\结束{数组}$$一旦我们超过$a（2）$，就不会有更多的并发症，$a（n-1）$大于$n$，我们{\em可以}，因此{\em必须}，接受\beql{Eq2}a（n）=a（n-1）+\epsilon~，\脑电图其中$\epsilon$是1或2，由以下公式给出：$$\开始{数组}{ccc}~&\mbox{$a（n-1）$偶数}&\mbax{$a\mbox{$n$按顺序}&1&2\\\mbox{$n$不在序列}&2&1中\结束{数组}$$$n \ge 3$的连续条款之间的差距为1或2。与阿伦森序列的类比很清楚。正如阿伦森的句子准确地表明了其中哪些术语是t’s一样，$\{a（n）\}$确切地指示了它的哪些项是奇数。我们继续分析这个序列的行为。首先，出现所有奇数$\ge 7$。假设缺少$2t+1$。因此$a（i）=2t$，$a（i+1）=2t+2$，对于某些$i \ge 3$。发件人定义，这意味着缺少$i$和$i+1$，这意味着至少有3个缺口，这是一个矛盾。表\ref{T1}显示了前72个术语，偶数带下划线。\开始{表格}[htb]$$\开始｛数组｝｛rrrrrrrrrr｝n： &1&\多列{1}{r|}{2}&3&4&5&6&7&\多列{1{r|{8}&9&10\\a（n）：&1&\多列{1}{r|}{\underline{4}}&\下划线{6}&7&\underline{8}&9&11&\多列{1}}{r|13}&15&\undertline{16}\\~ & ~ \\n： &11&12&13&14&15&16&17&18&19&\多列{1}{r|}{20}\\a（n）：&17&\下划线{18}&19&\下线{20}&21&23&25&27&29&\多列{1}{r}{31}\\~ & ~ \\n： &21&22&23&24&25&26&27&28&29&30\\a（n）：&33&\下划线{34}&35&\下线{36}&37&\下标{38}&39&\下注{40}&41&\下划{42}\\~ & ~ \\n： &31&32&33&34&35&36&37&38&39&40\\a（n）：&43&&下划线｛44｝&45&47&49&51&53&55&57&59\\~ & ~ \\n： &41&42&43&\多列{1}{r|}{44}&45&46&47&48&49&50\\a（n）：&61&63&65&\多列{1}{r}{67}&69&\下划线{70}&71&\下线{72}&73&\下标{74}\\~ & ~ \\n： &51&52&53&54&55&56&57&58&59&60\\a（n）：&75&\下划线{76}&77&\下线{78}&79&\下下划线{80}&81&\下标{82}&83&\下划{84}\\~ & ~ \\n： &61&62&63&64&65&66&67&68&69&70\\a（n）：&85&\下划线{86}&87&\下划{88}&89&\下线{90}&91&\下标{92}&93&95\\~ & ~ \\n： &71&72&\多列{2}{l}{\cdots}\\a（n）：&97&99&\多列{2}{l}{\cdots}\\\结束{数组}$$\标题{序列`$n$的前72个项在序列中当且仅当$a（n）$是奇数。'}\标签{T1}\结束｛表｝检查表格，我们发现有三个连续的数字，6、7、8，后面必须跟三个连续的奇数，$a（6）=9$，$a（7）=11$，$a（8）=13$。因此9存在，10缺失，11存在，12缺失，和13存在。因此，序列继续为$a（9）=15$（奇数），$a（10）=16$（偶数），$\ldots$，$a（13）=19$（奇数），$a（14）=20$（偶数）。这种行为会永远重复。连续数字的运行紧接着是相同长度的连续奇数。让我们定义$k^{rm-th}$段（对于$k\ge0$）由术语$a（n）$组成，其中$n=9\cdot 2^k-3+j$其中$-3\cdot 2^k\le j\le 3\cdot 2^k-1$。在表中，线段由垂直线分隔。每个段的前半部分，其中$j<0$的术语，由$a（n）=12\cdot 2^k-3+j$给出的连续数字组成；下半场，其中$j\ge 0$由以下给定的连续奇数组成a（n）=12\cdot 2^k-3+2j$。我们可以合并这些公式，获取序列的明确描述：$$a（1）=1，\四a（2）=4，$$随后的条款如下所示\beql｛等式1｝a（9\cdot 2^k-3+j）=12\cdot 2 ^k-3+\压裂{3}{2}j+\压裂{1}{2{j|\脑电图对于$k\ge 0$，$-3\cdot 2^k\le j<3\cdot 2 ^k$。该序列的结构由以下内容进一步揭示检查第一个差异的顺序，$\增量a（n）=a（n+1）-a（n）$，$n\ge 1$，即\beql{Eq1d}3,2,1,1,1,2,2,2,1,1^6，2^6,1^{12}，2^{12{，1^{24}，2 ^{24{，\ldots\脑电图（\htmladdnormallink{A79948}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079948})，其中我们写了$1^m$来表示$m$1的字符串，等等。每一步的振荡长度增加一倍。段0以偶数开头，6，但所有其他段都以奇数开头，$9\cdot 2^k-3$。除3和5之外，所有奇数都出现在序列中。出现的偶数是4、6、8，所有数字都是200万美元$$9\cdot 2^{k-1}-1\le m\le 6\cdot 2 ^k-2，\quad k\ge 1$$差异序列，\eqn{Eq1d}，可以由某种形式的单词构成语言（参见{Lot83}）。让字母表为$\cal A$$=\{1，2，3\}$，并且让$\cal A^*$表示元素字符串集来自$\cal A$。我们定义映射$\theta$从$\cal A^*$到$\calA ^*$由规则$θ（1）=2，θ（2）=1,1，$。那么\eqn{Eq1d}是串联\beql{Eq1s}S_{-1}，S_0，S_1，S_2，\ldots~，\脑电图哪里\beql{Eq1t}S_{-1}=\{3,2\}，~S_0=\{1,1,1\}~S_{k+1}=\theta（S_k）\mbox{~表示~}k\ge 0~。\脑电图为了证明这一点，请注意，对于$n\ge 3$，仅差$2$出现在一对奇数之间的$\{a（n）\}$中。假设$a（i）=2j+1，a（i+1）=2j+3$；然后$a（2j+1）=2x+1$（假设），$a（2j+2）=2x+2，a（2j+3）=2x+3$，产生两个1美元的差额。同样，如果差异为$1$，假设$a（i）=j，a（i+1）=j+1$，然后$a（j）=2x+1，a（j+1）=2x+3$，相差2美元。比率$n/a（n）$，它是序列中的正整数小于或等于$a（n）$，在细分市场开始时从接近2/3美元上涨$k$（假设$k$很大），在然后回落至2/3美元段的末尾。不难证明，如果在随机的$k^{\rm th}$然后分割平均值数列中该点接近的分数$$\压裂{3}{4}-\压裂{1}{4{log\压裂{32}{27}=0.7075个$$对于大$k$。序列的“平方”具有另一种特征序列$\bs=\{s（n）：n\gen_0\}$的{em平方}由下式给出$\bs^{（2）}=\{s（s（n））：n\gen_0\}$。如果$\bs$单调递增，那么$\bs^{（2）}$也是单调递增的。\开始｛引理｝\标签｛L1｝设$\bs$单调递增。那么$n~（\ge n_0）$在序列$\bs$if中并且仅当$s（n）$位于序列$\bs^{（2）}$中时。\结束{引理}\段落{Proof.}如果$n$在序列中，对于某些$i\ge n_0$，$n=s（i）$，$s（n）=s（s（i））$位于$\bs^{（2）}$中。相反，如果$s（n）\in\bs^{（2）}$，$s（n）=s（s（i））$for一些$i\ge n0$，由于$\bs$单调递增，$n=s（i）$~~~$\平衡计分卡$对于我们的序列$\ba=\{a（n）\}$，表\ref{T1}的检查表明$\ba^｛（2）｝=\｛1,5,7,9,11，\ldots\｝=\｛1\｝\ cup 2\PP+3$。这可用于表征$\ba$。更准确地说，序列可以定义为：$a（1）=1$，$a（2）=4$，$a（3）=6$，对于$n \ge 4$，$a（n）$是一致的最小正整数序列单调递增且令人满意$a（a（n））=2n+$n\ge 2$的3$。这很容易检查。一旦指定了前三个术语规则$a（a（n））=2n+3$唯一地确定其余项。事实上，该规则还强制$a（2）$为4，但它不能确定$a（3）$，因为有一个较早的序列$\{a'（n）\}$（在词典学意义上）满足$a'（1）=1$，$a'（a'（n））=2n+$n\ge 2$的3$，即1,4,5,7,9,10,11,12,13,15,17,19,21,22美元$$（\htmladdnormallink{A80596}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A080596})，并且由$a'（1）=1$给出，\beql{Eq20}a'（6\cdot 2^k-3+j）=8\cdot 2 ^k-3+压裂{3}{2}j+压裂{1}{2{j|\脑电图对于$k\ge 0$，$-2^{k+1}\le j<2^{k+1}$。如以上示例所示序列通常不能唯一地确定序列。更好的方法是使用“逆Aronson变换”，在第~\ref{Sec5}节中进行了讨论。\节{第一次泛化}\标签{Sec3}第\ref｛Sec2｝节中给出的$\｛a（n）\｝$的属性提出了许多概括，其中一些将在本节和以下各节中进行讨论。\第{（3.1）段非单调版本。}如果我们替换`$a（n）$的定义不在序列“”，我们得到了一个完全不同的序列，建议作者：J.~C.Lagarias\cite{Lag03}：$b（n）$，$n\ge 1$，是尚未包含的最小正整数符合条件的顺序“$n$是序列的一个成员，当且仅当$b（n）$是奇数。”此序列（\htmladdnormallink{A79313}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079313})开始时间：$$\开始{array}{rrrrrrrrr}n： &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\b（n）：&1&3&5&\下划线{2}&7&\下线{8}&9&11&13&\下标{12}\\~&~\\[+.1英寸]n： &11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\b（n）：&15&17&19&\下划线{16}&21&23&25&\下线{20}&27&29\结束{数组}$$偶数成员下划线。该行为比$\{a（n）\}$更简单，我们把它留给读者来展示，对于$n \ge 5$，$b（n）$由\开始{eqnarray*}b（4t-2）&=&4t\\\b（4t-1）&=&6t-3\\b（4t）&=&6t-1\\b（4t+1）&=&6t+1\，。\结束{eqnarray*}出现所有奇数。唯一的偶数是2和$4t$，$t\ge 2$。（方形${\mathbf{b}}^{（2）}$没有那么有趣。）\段落{（3.2）“偶数”版本。}相反，如果我们将$\{a（n）\}$定义中的“奇数”更改为“偶数”，我们得到一个序列$\bc$，它最好从$n=0$开始：$c（n）$，$n\ge 0$是最小的非负整数$>c（n-1）$这与以下条件一致：\beql{Eqc}\mbox｛`$n$是序列的一个成员，当且仅当$c（n）$是偶数\脑电图这是\htmladdnormallink{A79253}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079253}:0、3、5、6、7、8、10、12、14、15、美元。很容易看出$c（n）=a（n+1）-1$对于$n \ge 0$，所以这里没有什么新东西。另外$\bc^{（2）}=\{0\}\杯2\PP+4$。\段落{（3.3）“撒谎”版本。}阿伦森序列的谎言版本基于完全错误的句子“t是第二、第三、第五、第六，第七，这个句子的$\ldots$字母这个句子精确地指定了以下字母不是t，并生成序列（\htmladdnormallink{A81023}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A081023}) 2, 3、5、6、7、8、9、10、11、12、美元。正如$\{a（n）\}$是Aronson序列的类似物一样，我们可以定义类似物此序列的$\{d（n）：n\ge 1\}$这样说：$d（n）$是最小的正数整数$>d（n-1）$，条件``$n$位于序列中当且仅当$d（n）$是奇数“”为假。等价地，条件``要么$n$在序列中$d（n）$是偶数或$n$不在序列中，而$d（n）$是奇数“应该是真的。结果序列（\htmladdnormallink｛A80653｝）{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A080653})开始于2、4、5、6、8、10、11、12、13、14、$\ldots$。我们将给出$d（n）$in的显式公式下一节。相关的序列也很有趣。设$\{d'（n）\}$由$d'（1）=2$定义，并且，对于$n>1$，$d’（n）$是大于$d'（n-1）的最小整数$条件“$n$和$d'（d'（n））$具有相反的平价”总是可以满足的。我们可以证明这是序列$$2、4、5、7、8、9、11、12、13、14、16个$$（\htmladdnormallink{A14132}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A014132}),三角数的补码（\htmladdnormallink{A217}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A000217}),$d'（n）~=~n~+$（最接近$\sqrt{2n}$的整数）。\节{“mod$m$”版本}\label{Sec4}$\{a（n）\}$和$\{c（n）\}$都定义为模2。另一类概括是基于替换2乘以某个固定整数$y\ge 2$。为此，我们定义了一个序列$\{s（n）：通过指定起始值$s（n_0）=s_0$，以及$n$在序列中，当且仅当如果$s（n）\equiv z$$（\bmod~y）$，其中给定$y$和$z$。尽管我们不会偏离正题来考虑这一点在这里，也很有兴趣看到当“if and only if”处于定义替换为“if”或“only if”（我们只举了一个例子上面的序列$\{d（n）\}$，前缀为$d（0）=0$，可以定义如下：$d（n）$是最小的非负数$>d（n-1）$，条件``$n~（n\ge 0）$在序列中仅当满足$d（n）$为偶数“”时。）我们在上一节中看到了$\{a（n）\}$也可以通过以下特性来表征它的平方$a^{（2）}（n）=a（a（n））$相等至$2n+3$，$n\ge 2$（连同一些适当的初始条件）。这也可以通过指定序列$\{s（n）\}$满足$s（s（n给定值$y$和$z$。这两种概括是相关的，但通常会导致不同的序列。$s（s（n））$系列泛化将连接目前已有的几个序列的研究出现在文学作品中。我们有太多的可能性给出所有序列的完整目录这可以从这些推广中得到。相反，我们将给出几个关键示例和一个一般定理。在\cite{OEIS}中可以找到许多其他示例。一个简单的“mod~3”泛化是：$e（1）=2$，and，for$n>1$，$e（n）$是最小的整数$>e（n-1）$符合以下条件\beql{Eqe}\开始{数组}{l}\mbox｛`$n$是序列的成员当且仅当$e（n）$是3的倍数。“}\结束{数组}\脑电图这是詹姆斯·普罗普的序列$2,3,6,7,8,9,12,15,18,19，\ldots~$$在{EIS}中显示为序列M0747（\htmladdnormallink{A3605}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A003605}引用{OEIS}）。Propp给出了一个不同的（尽管等价）定义涉及序列的平方：$\{e（n）\}$是唯一的单调递增序列，满足对于所有$1$，$e（e（n））=3n$。Michael Somos\cite{Som00}观察到该序列满足\开始{eqnarray}\label{Eq46}e（3n）&=&3e（n），\n非数字\\e（3n+1）&=&2e（n）+e（n+1），\n数字\\e（3n+2）&=&e（n）+2e（n+1）。\结束{eqnarray}与$\{a（n）\}$类似的分析导致以下结果显式公式似乎是新的：\beql{Eq47}e（2\cdot 3^k+j）=3^{k+1}+2j+j|\，，\脑电图对于$k\ge 0$和$-3^k\le j<3^k$。一个与$\{e（n）\}$密切相关的序列早先由Arkin等人【等式（12）】{Ark90}。这是序列$e'（n）=e（n）-n$（\htmladdnormallink｛A6166｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A006166}).Arkin等人给出了类似于\eqn{Eq46}的循环。对于$k \ge 4，由递归$s（s（n））=kn$定义的序列$Allouche等人最近对其进行了研究。序列$\{e（n）\}$可以推广如下。\开始{定理}\标签{Th1}设$y$和$z$是满足相反奇偶校验的整数\beql{Eq48a}y\ge 2，~z\ge 2-y\，。\脑电图然后有一个唯一的单调递增序列$\｛f（n）\｝$令人满意的对于$n>1$，$f（1）=\frac{1}{2}（y+z+1）$和$f（f（n））=yn+z$。它是由\beql{Eq48}f\左（c1y^k-\frac{z}{y-1}+j\右）=c2y^{k+1}-\压裂{z}{y-1}+\压裂{y+1}{2}j+\压裂，，\脑电图对于$k\ge 0$，其中$$-\压裂{y+z-1}{2}y^k\lej$$和$$c_1=\压裂{（y+1）（y+z-1）}{2（y-1）}，\四元c2=\压裂{y+z-1}{y-1}\，。$$\结束{定理}\段落{Proof.}很容易看出，序列$\{s（n）\}$由\beql{EQN1}s（n）~=~\分形{（y+1）n-2f（n）+z}{y-1}\脑电图是表单的“锯切”序列$$0,1,2,3，\ldots，3,2,1,0,1,2,3,4,5,6，\ldot，6,5,4,3,2,1,0,1,2，$$其中$0$出现在$$n~=~1+\frac{（y+z-1）（y^k-1）}{y-1}\mbox{~表示~}k\ge0~。$$因此，$k$-th“牙齿”$0,1,2,3，\ldot，3,2,1,0$包含$（y+z-1）y^k$项，并达到最大值$（y+z-1）y^k/2$。然后从对称性的简单考虑，对于任何$k\ge 0$和任何$j$这样，$|j|\le（y+z-1）y^k/2$$$s\左（1+\压裂{（y+z-1）（y^k-1）}{y-1}+\压裂｛（y+z-1）y^k｝｛2｝+j\右）~=~\裂缝{（y+z-1）}{2}y^k-j~。$$换句话说，\beql{EQN2}s\左（\裂缝{（y+z-1）（y+1）}{2（y-1）}y^k-\压裂{z}{y-1}+j\右）~=~\裂缝{（y+z-1）}{2}y^k-j~。\脑电图方程式\eqn{Eq48}来自\eqn{EQN1}和\eqn-{EQN2}~~~$\基本服务质量$可以显示出来（我们省略了细节）该序列也可以通过以下方式定义：$f（1）=（y+z+1）/2$，对于$n>1$，$f（n）$是最小的整数$>f（n-1）$与条件一致`$n$是序列的成员当且仅当$f（n）$属于集合\beql{Eq411}[2，\ldot，\frac{1}{2}（y+z-1）]~\杯~\{iy+z:i\ge 1\}\。\mbox{''}\脑电图如果$（y+z-1）/2\le 1$，则省略\eqn{Eq411}中的第一个集合。\段落{示例}在定理中设置$y=3$，$z=0$会产生$\{e（n）\}$。设置$y=2$、$z=1$会产生另一个有趣的“mod~2”序列。这是开始的序列$\{g（n）：n\ge1\}$$2,3,5,6,7,9,11,12,13,14，\ldots$$（\htmladdnormallink{A80637}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A080637}).它具有以下属性：（i） ~根据定义，这是唯一的单调满足$g（1）=2$的递增序列$\{g（n）\}$，$g（g（n））=2n+1$对于$n \ge 2$。（ii）~$n$在序列中当且仅当$g（n）$是奇数$\ge 3$时。（iii）~第一个差异的顺序是（\htmladdnormallink{A79882}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079882}):$$1，2，1^2，2^2，1^4，2^4，1^8，2^8，1^｛16｝，2^｛16｝，ldots。$$（iv）$$g（3\cdot2^k-1+j）=2\cdot2 ^{k+1}-1+\frac{3}{2}j+\frac{1}{2{j|\，，$$对于$k\ge 0$，$-2^k\le j<2^k$（来自\eqn{Eq48}）。（v） ~$g（2n）=g（n）+g（n-1，对于$n\ge 1$（取$g（0）=0$）。（vi）~原始序列$\{a（n）\}$满足$a（3n）=3g（n），a（3n+1）=2g（n，$n\ge 1$。（vii）~第~\ref{Sec3}节的“撒谎版本”对于$n\ge 1$，由$d（n）=g（n+1）-1$给出。（viii）~设$g'（n）=g（n）+1$。序列$\｛g'（n）：n\ge 2 \｝$显然是C.~L.Mallows首先发现的，并且是序列M2317在引用{EIS}（\htmladdnormallink{A7378}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A007378}引用{OEIS}）。这是唯一的单调递增满足$g'（g'（n））=2n$的序列。另一种描述是：$g'（n）$（对于$n\ge 2$）是一致的最小正整数$>g'（n-1）$条件是\开始{eqnarray}\label{Eqg}&&\mbox{`$n$是序列的成员当且仅当$g'（n）$是偶数$\ge 4$''}。\结束{eqnarray}注意，尽管\eqn{Eqc}和\eqn{Eqg}类似，结果序列$\｛c（n）\｝$和$\｛g'（n）\｝$是完全不同的。定理{Th1}没有直接涵盖$g'$，并且我们承认我们一直未能确定最大的序列家族可以用公式来描述喜欢\等式{Eq1}，\eqn{Eq20}，\等式{Eq47}，\eqn{Eq48}。序列$\{h（n）\}$定义为：$h（1）=2$，和，对于$n>1$，$h（n）$是最小的正整数$>h（n-1）$，它与条件`$n$是序列当且仅当$h（n）$是6’’的倍数：$2,6,7,8,9,12,18,24,30,31美元$$（\htmladdnormallink{A80780}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A080780})，表明这种简单的规则一般不适用。我们可以描述第一个差异的序列以类似于\eqn{Eq1s}、\eqn{Eq2t}的方式：字母表现在是$\cal A$$=\{1、2、\ldots、6\}$和我们定义了从$\cal a^*$到$\cal a^**$的映射$\theta$规则$θ（i）=1，1，ldots，1，7-i$（$i-1$$1$后面跟着$7-i$），对于$i=1，\ldots，6$。然后是序列$\{h（n）\}$的差值为$S_0、S_1、S_2、\ldots$，其中$S_0=\{4\}，S_{k+1}=\theta（S_k）$表示$k\ge 0$。然而，似乎没有类似于\eqn{Eq1}的公式保持$h（n）$。我们以两个有趣的“mod~4”结束这个“mod~m”部分序列。偶数满足$s（s（n））=4n$，奇数满足$s（s（n））=4n+3$。但从词典学角度来看，有更早的序列相同的属性。“伪偶数”$\{i（n）：n\ge 0\}$是由$i（n）$是最小非负整数$>i（n-1）$和满足$i（i（n））=4n$（\htmladdnormallink{A80588}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A080588})以下为：0,2,4,5,8,12,13,14,16,17美元$$我们通过描述序列来分析这个序列第一个差异是$2,2,1,3,4,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,4,4,1,3，\ldot美元$$在最初的2、2、1之后，这会分解为表单的各个部分$$3~S_k~2~T_k~$$其中$T_k$是$$1^1~4^2~1^4~4^8~1^{16}~4^{32}\cdots 4^{2^{2k-1}}1^{2${2k}}$$$S_k$是$$1^2 ~ 4^1 ~ 1^8 ~ 4^4 ~ 1^｛32｝~ 4^｛16｝\cdots 1^｛2^｛2k-1｝｝4^｛2^｛2k-2｝｝\，。$$“伪odd数字”，$i'（n）$，类似地定义为$i’（i’（n））=4n+3$：$$1、3、4、7、11、12、13、15、16、17$$（\htmladdnormallink{A80591}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A080591})，并满足$i'（n）=i（n+1）-1$。\节{Aronson变换}\标签{Sec5}对原始序列的深远概括以及上一节的“mod~m”扩展如果我们替换“奇数”，则获得在$\{a（n）\}$的定义中``${\fbe}$“”的成员，其中${\fbe}$是某个固定序列。更准确地说，让我们确定一个起点$n_0$，它通常为$0$或$1$。设${\fbe}={\beta（n）：n\gen_0\}$是无限单调递增序列具有属性的整数$\ge n_0$它的补码（不在${\fbe}$中的数字$\gen0$）也是无限的。然后序列${\faf}={alpha（n）：n\gen_0\}$给出者：$\alpha（n）$是最小正整数$>\alpha（n-1）$，其中符合以下条件$$\mbox{`n在$\faf$中当且仅当$\alpha（n）$在$\fbe$中`}$$称为${\fbe}$的{\em-Aronson变换}。\开始{定理}\标签{ThAT1}阿伦森变换是存在的并且是唯一的。\结束{定理}\段落{Proof.}为了便于讨论，我们将${\fbe}$`中的数字称为“hot”，还有补语“cold”我们将指定转换${\faf}$，留给读者易于验证其是否具有所需属性，特别是没有矛盾。证据是通过归纳得出的。首先我们考虑初始项$\alpha（n_0）$。如果$n_0$是热的，则$\alpha（n_0）=n_0$。如果$n_0$是冷的，$\alpha（n_0）=\box｛~最小冷数~｝\ge n_0+1$。对于归纳步骤，假设$\n>n_0$的$\alpha（n）=k$。情况（i），$k=n$。如果$n+1$是热的，则$\alpha（n+1）=n+1$。如果$n+1$是冷的，则$\alpha（n+1）=\mbox{~最小冷数~}\gen+2$。案例（ii），$k>n$。如果$k=n+1$，则$\alpha（n+1）=\mbox{~最小热数~}\gen+2$。如果$k>n+1$，则如果$n+1$是热的，$\alpha（n+1）=\mbox{~最小热数~}\gek+1$，虽然如果$n+1$是冷的，$\alpha（n+1）=\mbox{~最小冷数~}\gek+1$~~~$\平衡计分卡$在某些情况下在$\faf中指定一些初始术语$让它正常启动。\段落{示例}当然要花$\fbe$数字（$n0=1$）指向原始序列$\{a（n）\}$，并且偶数（$n_0=0$）指向节ref{Sec3}的$\{c（n）\}$。如果我们取$\fbe$作为三角形数，我们会得到1、4、5、6、10、15、16、17、18、21、$\ldots$（\htmladdnormallink{A79257}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079257});这些方块给出1、3、4、9、10、11、12、13、16、25、$\ldots$（\htmladdnormallink{A79258}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079258});素数给出4、6、8、11、12、13、14、17、18、20、$\ldots$（\htmladdnormallink{A79254}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079254});和下Wythoff序列（\htmladdnormallink｛A201｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A000201}),其中$n^{\rm th}$术语是$\lfloor n\phi\rfloor$，给出1、5、7、10、11、13、14、15、18、19、$\ldots$（\htmladdnormallink{A80760}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A080760}).通过$\{a（n）\}$本身的Aronson变换，我们得到1、3、4、6、10、11、12、14、22、23、$\ldots$（\htmladdnormallink{A79325}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079325}).\引用{OEIS}包含其他几个例子。逆变换可以用类似的方式定义。给定无限单调递增序列${\faf}=\{\alpha（n）：n\gen_0\}$的数字$\gen_0$，这样它的补码（不在${\faf}$中的数字$\gen0$）也是无限的，它的{\em逆Aronson变换}是序列${\fbe}={beta（n）：n\gen0}$这样${\fbe}$的Aronson变换就是$\faf$。\开始{定理}\标签{ThAT2}逆Aronson变换存在并且是唯一的。\结束{定理}\段落{Proof.}我们通过给出了构造逆变换的简单算法。我们通过以下方式在表\ref{Tinv}中说明了算法将其应用于方块序列，${\faf}=\{n^2:n\ge0\}$。用四行组成一个表格。在第一行中放置数字$n=n_0$、$n_0+1$、$n_0+2、\ldots$和in第二行放置序列$\alpha（n_0）$、$\alha（n_0+1）、\ldots$。第三行包含我们将称为``热门“”号码：这些将包括逆变换的元素。第四行是“冷”数字是热数的补码。第三行和第四行填写如下。如果$n$是{\em-in}（响应{\em不在}），则序列$\faf$，将$\alpha（n）$放在第$n$个热（冷）行的插槽。为了完成这张表，我们必须填写空的空格。假设我们在$n$列，其中已将$\alpha（n）$放入两个插槽中的一个。让$l_n$成为中提到的最大数字热行或冷行中的列$n0、\ldots、n-1$。然后我们将数字$l_n+1，\ldot，\空插槽中的alpha（n）-1$在$n$列中，只有一个例外如果$n$不在序列中，并且$l_n=n-1$然后我们将$n$放在冷插槽而不是热插槽中。（第四行中的位置2说明了这一点表\ref{Tinv}的。）我们让读者来验证“热门”行格式中的条目逆Aronson变换$\fbe$~~~$\平衡计分卡$\开始{表格}[htb]$$\开始{数组}{|c|c|c |c | c|c | c | c| c|c|}\hlinen&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\\字母n&1&4&9&16&25&26&49&64&81 \\\mbox{“热门”}&1&3&\mbox{5--8}&16&\mbax{17-24}&\mbos{26-35}&\mpox{37-48}&\mbox{50-63}&81\\\mbox{“冷”}&-&2,4&9&\mbox{10-15}&25&36&49&64&\mbax{65--80}\\hline\结束{数组}$$\标题{正方形的逆Aronson变换的计算。“hot”数字构成变换。}\标签{Tinv}\结束｛表｝$\fbe$包含引理{L1}$\faf^{（2）}$的成员，但一般来说$\fbe\neq\faf^{（2）}$。$\fbe$中的附加条款使恢复成为可能$\faf$与$\fbe$唯一。\段落{示例}如表{Tinv}所示，正方形的逆Aronson变换（\htmladdnormallink{A10906}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A010906})是$$1;三；5,6,7,8; 16; 17个，\ldots，24个；26、27、$$它由一个数字组成段（此处用分号分隔）。对于$k\ge1$，如果$k$是正方形，则$k^{rm-th}$段为$\{k^2\}$，或$\{（k-1）^2+1，\ldots，k^2-1\}$，如果$k$不是正方形，除了第二个段$=\{3\}$。素数的逆变换是3、5、6、11、12、17、18、20、21、22、$\ldots$（\htmladdnormal链接{A80759}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A080759})---这有一个类似的分段分解。下部Wythoff序列的逆变换为1、4、6、7、9、10、12、14、15、17、$\ldots$（\htmladdnormal链接{A80746}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A080746}).这由数字组成$\lfloor\phi k\rfloor+k-1~（k\ge 1）$和$\lfloor 2\phi k\rfloor+k-1~（k\ge 2）$。原始序列$\{a（n）\}$的逆变换是奇数序列（然而，正如我们参见第\ref{Sec2}节，$a^{（2）}$省略了3）。通常（由于上述算法），逆Aronson变换更容易描述而不是直接变换。\节{更复杂的条件}\标签{Sec6}最后，我们可以为$n$设定条件按顺序排列取决于几个连续项的值$a（n）$、$a（n+1）、\ldots、a（n+\tau）$，用于某些固定的$\tau$。进一步追求这一点将把我们带入一维领域细胞自动机（cf.ite{Ila01}，\cite{Wol02}），我们将提到只有两个例子。$q（n）$是最小的正整数$>q（n-1）$这与`$n$的条件一致在序列中当且仅当$q（n）$是奇数，$q（n-1）$是偶数“”（\htmladdnormallink{A79255}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079255}):1、4、6、9、12、15、18、20、23、26、28美元$$连续术语之间的间距总是2或3。将条件更改为`$\ldots$$q（n）$和$q（n+1）$奇数“”给出\htmladdnormallink{A79259}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A079259}:$1,5,6,10,11,15,19,20,24,25美元$$\第*{确认}节我们感谢J.C.Lagarias的一些有益评论，以及裁判对手稿的仔细阅读。\开始{书目}{99}\双项目{ARS03}J.-P.Allouche、N.Rampersad和J.Shallit，关于其整数序列第一迭代是线性的，预印本，2003年。\围兜{Ark90}J.Arkin、D.C.Arney、L.S.Dewald和W.E.Ebel，Jr。，递归序列族，《娱乐数学》，（1990年第22期），第85-94页。\双项目{Aro85}J.K.Aronson，D.R.Hofstadter在引用{Hof85}，第44页。\双项目{CSV03}B.Cloitre、N.J.A.Sloane和M.J.Vandermast，Recam序列的变化{a} n个,2003年。\bibitem{Gol66}S.W.Golomb，问题5407，{\em Amer.Math.Monthly}，{\bf 73}（1966），674；{\bf 74}（1967），740--743。\bibitem{UPNT}R.K.盖伊，{\em数论中未解决的问题}，Springer-Verlag，纽约，第二版，1994年。\双项目{GEB}D.R.Hofstadter，{\em G\“{o} 德尔、埃舍尔、巴赫：永恒的金辫子}，复古图书，纽约，1980年。\bibitem{Hof85}D.R.Hofstadter，《变形主题》，《基础图书》，纽约，1985年。\bibitem{Ila01}A.伊拉金斯基，{\em元胞自动机}，《世界科学》，新泽西州River Edge，2001年。\双项目{Lag03}J.C.Lagarias，《个人沟通》，2003年。\bibitem{Lot83}M.Lothaire，{\em单词组合学}，艾迪生-韦斯利，马萨诸塞州雷丁，1983年。\圣经条目N.J.A.斯隆，{\em\htmladdnormallink{整数序列在线百科全书}{http://www.research.att.com/~njas/sequences/}}，电子版发表于www.research.att.com/$\sim$njas/sequences/，2003年。\双项目{EIS}N.J.A.Sloane和S.Plouffe，{\em\htmladdnormallink{整数百科全书序列}{http://www.research.att.com/~njas/sequences/book.html}}，学术出版社，1995年。\bibitem{Som00}M.Somos，《个人通信》，2000年。\围兜{Wol02}S.Wolfram等人，{\em一种新的科学}，Wolfram Media，2002年。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2000{\it数学学科分类}：初级11B37\\noindent\emph{关键词：自描述性序列，Aronson序列，序列平方}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A005224}，\序列号{A001462}\序列号{A079000}\序列号{A079948}\序列号{A080596}\序列号{A079313}\序列号{A079253}\序列号{A081023}\序列号{A080653}\序列号{A079325}\序列号{A079257}\序列号{A079258}\序列号{A079254}\序号｛A014132｝\序列号{A000217}\序列号{A003605}\序列号{A006166}\序列号{A080637}\序列号{A079882}\序列号{A007378}\序列号{A080780}\序列号{A080588}\序列号{A080591}\序号｛A0000201｝\序列号{A080760}\序列号{A010906}\序列号{A080759}\序列号{A080746}\序列号{A079255}\序列号{A079259}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）收到日期：2003年3月31日；修订版于2003年7月2日收到。发表于{整数序列杂志}，2003年7月4日。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/}.\vskip.1英寸\结束{文档}