% ------------------------------------------------------------- %关于椭圆曲线上算术级数的注记% -------------------------------------------------------------\文档类[12pt，请求号]{amsart}\使用包{color}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}%\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}%\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}%\使用包{psfig，epsf，latexsym}\使用包｛epsf｝\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\设置长度{\textheight}{8.7in}\集长度｛\topmargin｝｛0.0in｝\新定理{定理}{定理[段]\新定理{prop}[定理]{命题}\新定理{cor}[定理]{Corrolary}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{问题}[定理]{开放问题}\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{xca}[定理]{练习}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\{方程式}{截面}中的数字%绝对值表示法\新命令{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}%数字的空白框占位符（避免要求%打印此文档的特定图形功能）。\新命令{\blankbox}[2]{%\parbox｛\ columnwidth｝｛\居中%将fboxsep设置为0，以便框的实际大小与%给出更接近的测量值。\集合长度{\fboxsep}{0pt}%\fbox{\raisebox{0pt}[#2]{\hspace{#1}}%}%}\新命令{\pr}{{\Bbb P}}\新命令{\R}{{\Bbb R}}\新命令{\N}{{\Bbb N}}\新命令{\Q}{{\Bbb Q}}\新命令{\Z}{{\Bbb Z}}\新命令{\F}{{\Bbb F}}\新命令{\T}{{\Bbb T}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\大跳跃\标题｛关于椭圆曲线上算术级数的注记｝\制作标题\中心线{Garikai Campbell}\开始{居中}数学与统计系\\斯沃斯莫尔学院\\宾夕法尼亚州斯沃思莫尔，邮编：19081\\美国\结束{中心}%第一作者信息%\作者{Garikai Campbell}%此处报告的研究记录地址%\地址{斯沃斯莫尔学院数学与统计系，%宾夕法尼亚州斯沃思莫尔，邮编：19081}%当前地址%\斯沃斯莫尔学院数学与统计系，%宾夕法尼亚州斯沃思莫尔，邮编：19081}%\电子邮件{kai@swarthmore.edu}%\谢谢将成为第一页脚注。%一般信息%\子类{11G05，11B25}%\日期{2003年1月10日}%\keywords{椭圆曲线，算术级数}\开始{abstract}安德鲁·布雷纳（实验。数学。）%\引用{BR}描述了一种产生无穷大的技术包含长度7和长度8算术的椭圆曲线族进步。本注释描述了生成无限族的另一种方法包含长度7和长度8算术级数的椭圆曲线。我们说明此处阐述的技术如何提供一种简单的方法来生成包含长度为12的级数和无穷族的椭圆曲线包含长度为9的级数的椭圆曲线，需要注意的是曲线不是Weierstrass形式。\结束{抽象}%------------第1节：简介-----------------------------\第{节简介}椭圆曲线有两种（仿射）模型非常常见。它们是$y^2=f（x）$，其中$f（x。我们将说{em点位于椭圆曲线的特定模型上如果它们的$x$-坐标构成算术，则为算术级数}进展。例如，Buhler、Gross和Zagier发现$（-3,0），$$（-2,3），$$$（-1,3）$在曲线$y^2+y=（x-1）（x-2）（x+3）$上形成长度为8的算术级数。此外，Bremner\cite{BR}证明：\开始{定理}椭圆曲线上的每个点$$C:y^2=x^3-x^2-36x+36$$对应于Weierstrass形式的椭圆曲线，其中至少包含8个算术级数中的分数。\结束{定理}在证明这个定理之前，Bremner考虑了以下策略。首先，他指出任何一元八次多项式$P（x）$都可以写成$Q（x）^2-R（x）$，其中$R（x）$的度小于或等于3。如果$R（x）$度精确为3且没有重复的零，则$y^2=R（x）$是椭圆曲线，对于$P（x）$的每个零，$\alpha$，该椭圆曲线包含一对点使用$x$-坐标$\alpha$。因此，一种可能的策略是用长度为8的算术级数可能是让$P（x）=x（x+1）（x+2）\cdots（x+7）$并计算相应的$R（x）$，使$P（x）=Q（x）^2-R（x）$。不幸的是，在这种情况下，$R（x）$是线性的，因此该策略对于{\em任何}次8多项式都失败其零构成算术级数。本说明的目的是说明如何将这一战略转变为成功的战略。\第{节长度为8}的算术级数8次多项式可以写成$Q（x）^2-P（x）$的语句是以下情况的特例：\开始{prop}\label{mprop}如果$P（x）$是在字段$k$上定义的次数为$2n$的一元多项式，然后在$k$上定义了唯一多项式$Q（x）$和$R（x）\开始{enumerate}\项目$P（x）=Q（x）^2-R（x）$和\$R（x）$的度严格小于$n$。\结束{enumerate}\结束{prop}由于$R（x）$是$P（x）$0的平方，如果$R（x）$是立方或者一个没有重复零的四次曲线，那么我们可以得到椭圆曲线$y^2=R（x）$可以很好地控制许多$x$-坐标。\begin｛remark｝我们注意到Mestre\cite｛ME1｝是第一个观察到这个相对简单的命题可用于生成大秩的椭圆曲线。自梅斯特尔以来第一篇利用这一思想的论文，还有许多其他的论文（引用{CA1}、引用{FE}、\引用{KI1}，\引用{KU}和\引用{NA1}）巧妙地使用了这个命题来生成椭圆曲线和无穷大已知秩最大的椭圆曲线族（通常有一些条件扭转子组）。\结尾{remark}现在考虑多项式$$p_t（x）=（x-t）^2\prod_{j=0}^5（x-j）\\在\Q（t）[x]中$$在这种情况下，我们可以写$$p_t（x）=q_t（x）^2-f_t（×）$$其中$f_t（x）$是$\Q（t）[x]$中的3次多项式，如下所示\开始｛枚举｝\$f_t（x）$的判别式是$\Q[t]中的不可约多项式$\$x^3$的系数为$c（2t-5）$，其中$c\in\Q$。\结束{enumerate}因此，我们有\开始{定理}曲线$E_t$由$y^2=f_t（x）$定义是在$\Q（t）$上定义的椭圆曲线，其中至少包含6个点算术级数，对于每个$t_0\in\Q$，$t_0\neq 5/2$$E_t$at$t=t_0$给出了在$\Q$上定义的椭圆曲线，其中包含算术级数。\结束{定理}接下来我们观察到$f_t（6）$是$\Q[t]$中的二次曲线，当$t=6美元。因此，我们可以参数化所有有理解通过出租至$y^2=f_t（6）$\开始{eqnarray}t&=&\压裂{6m^2-126m-285360}{m^2-72256}。\标签{t}\结束{eqnarray}由于没有$m$的合理值给出$t=5/2$，因此我们具有：\开始{cor}设$g_m（x）$是多项式$f_t（x）$t，其中$t$由（\ref{t}）给定。由$y^2=g_m（x）$定义的曲线$E_m$是在$\Q（m）$上定义的椭圆曲线，其中至少包含算术级数中的七个点，对于每个$m_0\in\Q$$E_m$的$m=m_0$给出了在$\Q$上定义的椭圆曲线，其中至少包含七条算术级数中的分数。\结束{cor}如果我们继续这样做，探索$y^2=g_m（7）$所施加的条件，我们发现以下情况。\开始{定理}设$D$是由定义的椭圆曲线\开始{eqnarray*}D： y^2=-264815m^4-19343520m^3+62846856064m^2\\-2906312951808m-49550744351296。\结束{eqnarray*}让\开始{eqnarray*}g3&=&-18816m^4+677376m^3+1922543616m^2\\&48944480256米-40678301368320\\g2&=&236896m^4-9821952m^3-22598349824m^2\\&&\\\\\\+508953231360m+5252184657920\\g_1&=&-958800m^4+40985280m^3+89932669440m^2\\&&\\\\-195772372920m-2113363439616000，\mbox{和}\\g_0&=&1292769m^4-57304800m^3-118795148928m^2\\&&\\\\+2647001548800米+2758336954896384。\标签{e}\结束{eqnarray*}然后$$E_m^\素数：y^2=g_3\x^3+g_2\x^2+g_1\x+g_0$$是在$\Q（D）$上定义的椭圆曲线，包含算术中的8个点$x$-坐标0，1，2，$\ldots$，7的级数。\结束{定理}\开始{proof}通过变量的改变，$E_m^\prime$与$E_m$同构$y\映射到y/（m^2-72256）$。将$x=7$代入$E_m^\prime$，得到曲线$D$。\结束{proof}此外，如果我们让$D（\Q）$成为$D$上的有理点组，然后我们得到$D（\Q）$是无限的。更具体地说，我们有：\开始{prop}$D$具有秩2和扭转子群$\Z/2\Z$。\结束{prop}\开始{proof}简短的计算机搜索显示$O=（-8815628032）$是一个点单位为$D（\Q）$。将$O$视为身份，$D（\Q）$由生成\开始{eqnarray*}P_0&=&（10984/79，-80015523840/6241）\mbox{和}\\P_1&=&（-1363640/2531、31969540657152/6405961），\结束{eqnarray*}并包含第二阶点：\开始{eqnarray*}P_2&=&（10984/79，80015523840/6241）。\结束{eqnarray*}\结束{proof}（上述计算是在{\tt mwrank}\引用{CR}和GP\引用{GP}。）上述主张的直接后果如下：\开始{cor}椭圆曲线上的每个点$D$对应于Weierstrass形式的椭圆曲线，其中至少包含8个算术级数中的分数。\结束{cor}\开始{remark}这种情况与布雷姆纳构造中发现的条件，即曲线上的点$C$产生了8个点的椭圆曲线算术级数。不同之处在于$C$具有排名1和扭转子群$\Z/2\Z\次\Z/2\ Z$，而$D$具有秩2和扭转子群$\Z/2\Z$。\结尾{remark}\节{长进}这种结构也可用于产生长度大于8在形式为$y^2=f（x）$的椭圆曲线上，其中$f（x）$是四次曲线。更具体地说，我们有：\开始{定理}存在形式为$y^2＝w（x）$的椭圆曲线，其中$w（x）$是四次曲线，在算术级数中包含12个点。\结束{定理}\开始{proof}让$$g_0（x）=\prod_{j=0}^{11}（x-j）$$然后$g_0（x）=u_0（x）^2-（81/4）\cdot v_0（x$，带\开始{eqnarray*}u_0（x）&=&x^6-33 x ^5+418 x ^4-2541 x ^3+（14993/2）x ^2\\&&\\\\-（18513/2）x+（4851/2），\mbox{和}\\v_0（x）&=&429 x ^4-9438 x ^3+74295 x ^2-246246 x+290521。\结束{eqnarray*}由于$v_0（x）$的判别式是非零的，因此曲线$E:y^2=v_0椭圆曲线。这个椭圆曲线包含一个长度为12的算法进展。\结束{proof}（注意，通过使用{\tt-mwrank}，我们计算了该曲线为4，其中扭转子群为$\Z/2\Z$。）上面的结构产生了一条曲线，目前尚不清楚如何产生使用这种思想，包含长度为12的级数的无限曲线族。问题是，一般来说，如果命题\ref{mprop}的$P（x）$是被认为拥有12级学位，那么$R（x）$只能保证拥有更少的学位小于或等于$5$，而不是$4$。因此，曲线$y^2=R（x）$不必椭圆曲线。然而，我们可以证明以下内容。\开始{定理}有无穷多条形式为$y^2=w（x）$的椭圆曲线，其中$w（x）$四元数，包含算术级数中的9个点。\结束{定理}\开始{proof}让$$g（x）=（x-a）\cdot\prod_{j=0}^8（x-j）$$并将$g（x）$写成$u（x）^2-v（x）$$v（x）$是中的四次多项式只有$a\in\{0,4,8\}$具有判别零的$\Q（a）[x]$。\结束{proof}这里的工作（以及Bremner的工作）留下了以下问题：\开始{问题}是否有一条形式为$y^2=f（x），f（x）$a立方的椭圆曲线，包含长度为9的算术级数？有无限多吗？\结束{问题}\开始{问题}是否有一条形式为$y^2=f（x），f（x长度为13的算术级数？这里有无限多的曲线吗包含长度为10的级数的形式？\结束{问题}最后，\开始{问题}椭圆曲线上最长的算术级数是什么在形式$y^2=f（x）$中，其中$f（x）$是立方？四分之一？\结束{问题}\{确认}节这项工作是在林德巴克基金会少数民族初级教师补助金。%\书目样式{amsplain}%\开始｛胆道造影术｝｛10｝%\结束{书目}\火山岩{*}\开始{书目}{10}\双项目{GP}C.~巴图特、K.~贝拉巴斯、D.~伯纳迪、H.~科恩和M.~奥利维尔。\newblock Pari系统。\新块{\tftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/pari网址/}, 2000.\双项目{BR}安德鲁·布雷纳（Andrew Bremner）。\椭圆曲线上算术级数的newblock。\newblock｛\em Experiment.Math.｝，｛\bf 8｝（1999），409-413。\bibitem{BU}J.~P.Buhler、B.~H.Gross和D.~B.Zagier。\椭圆的{Birch}和{Swinnerton-Dyer}猜想的新块秩3曲线。\newblock{\em Math.Comp.}，{\bf 44}（1985），473--481。\双项目{CA1}加里卡·坎贝尔（Garikai Campbell）。\newblock{\em寻找椭圆曲线和椭圆曲线的无穷族在大秩}的${Q}$上定义。\纽布洛克博士论文，罗格斯大学，1999年6月。\newblock位于{\thttp://math.swartmore.edu/kai/thesis.html}.\双项目{CR}约翰·克雷莫纳。\newblock主页。\新块{\thttp://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/jec/ftp/progs网站/}.\bibitem{FE}史蒂芬·F{\'{e}}rmigier。\newblock Un-example de courbe省略号d{\'{e}}finie-sur${Q}$de-rang$\geq19$.\newblock{em C.R.Acad.Sci.Paris S\er.I}，{\bf 315}（1992），719--722。\双项目{KI1}木原昭一。\newblock关于秩为$\geq14$的无限族椭圆曲线${Q}$。\newblock{\em Proc.Japan Acad.Ser.A.}，{\bf 73}（1997）32。\双项目{KU}L.~Kulesz。\newblock{em{Arithm\'etique}des courbes{alg\'briques}de genre au-moins新块双人}。\newblock博士论文，巴黎大学，1998年7月。\双项目{ME1}Jean-Fran{\c{c}}ois梅斯特。\newblock Construction d'une courbe elliptique de rang$\geq 12美元。\newblock{em C.R.Acad.Sci.Paris S\er.I}，{\bf 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