\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorlinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色｛webbrown｝｛rgb｝｛.6,0｝\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\设置长度{\textheight}{8.9in}\定义\t{Tak\'{a} cs公司}\定义\a{\ensuremath{\mathcal a}}\定义\b{\ensuremath{\mathcal b}}\定义\s{\ensuremath{\mathcal s}}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/~njas/sequences/eisA.cgi？Anum=#1}{\下划线{#1}}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf的组合推导\\\ \\标记森林数量}\vskip 1cm\大型大卫·卡伦\\统计部\\威斯康星大学麦迪逊分校\\代顿西街1210号\\威斯康星州麦迪逊\53706-1693\\\链接{mailto:callan@stat.wisc.edu}{\tcallan@stat.wisc.edu} \\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}Lajos为$n$标记顶点上未生根树的森林数。在这里我们在适当的树配置上使用重反转对合来给出\t'结果的组合推导。\结束{抽象}\新定理{定理}{定理[段]\新定理{命题}{命题[段]\新定理{推论}{推演}[段]\新定理{引理}{引言}[段]%Christian Kratenthaler提供的路径生成代码%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%输入日期zum Erzeugen von Gitterpunktwegen.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%LaTeX版本%%%%%%%%%%%%%%%%%输入路径：%\Pfad（起点的x坐标，终点的y坐标%点），路径%作为1-2-3-4字\endPfad%（1=x方向台阶，2=y方向台阶，3=向上对角线台阶，%4=向下对角线台阶）%%输入虚线路径：%\SPfad（起点的x坐标，起点的y坐标%点），路径%作为1-2-3-4字\endSPfad%（1=x方向台阶，2=y方向台阶，3=向上对角线台阶，%4=向下对角线台阶）%%坐标轴：%\Koordinachsen（正x轴的长度，正x轴的长度%y轴）（负x轴的长度，负y轴的长度）%负轴的长度以负数形式输入。%%格子：%\ Gitter（正x方向的点数，点数%在正y方向）（在负x方向的点数，%负y方向的点数）%%对角线：%\对角线（SW-most点的x坐标，SW-most的y坐标%点）x轴上投影的长度%%反诊断线：%\AntiDiagonale（西北-最远点的x坐标，西北-最近点的y坐标%点）x轴上投影的长度%%标记点：%\标签[位置？]{[标签]}（x坐标，y坐标）%其中：%[位置？]=\l、\lo、\lu、\r、\ro、\ru、\o、\u%l=左侧，r=右侧，u=底部，o=顶部。%此外，如果通过\Einheit？cm基本单位改变，存在%\llo、\loo、\llu、\luu、\rro、\roo、\rru、\ruu。%%输入以下命令可以更改基本单位%\Einheit=？厘米%默认值为\Einheit=0.5cm。%%可以通过输入以下命令更改路径的厚度%\PfadDicke{？cm}%默认值为\PfadDicke=1pt。%%可以使用以下点大小：%\DuennPunkt、\NormalPunkt和\DickPunkt。语法：%\DickPunkt（x坐标、y坐标）等。%%此外，Kreis还提供了一个圆圈。语法：%\Kreis（x坐标，y坐标）%\类别代码`\@=11\font\tenln=line10\font\tenlnw=linew10\粗线条\newskip\Einheit\Einheait=.6cm\新计数\xcoord\newcount\ycoord\newdimen\xdim\newdimen\ydim\newdimn\PfadD@cke公司\newdimen（新维度）\Pfadd@cke公司\PfadD@cke2pt \Pfadd@cke0.3磅\定义\PfadDicke#1{\PfadD@克#1 \除法\PfadD@cke公司按2\Pfadd@cke公司\PfadD@cke公司\乘法\PfadD@cke公司按2}\long\def\LOOP#1\重复{\def\BODY{#1}\ITERATE}\def\ITERATE{\BODY\let\next\ITERATE\else\let\next\relax\fi\next}\让\REPEAT=\fi\def\Punkt{\hbox{\raise-2pt\hbox到0pt{\hss\scriptsize$\bullet$\hss}}}\定义\DuenPunkt（#1，#2）{\n取消跳过\将#2\Einheit\hbox提升为0pt{\hskip#1\Einheit\将-1.5pt\hbox提升到0pt{\hss\tiny$\bullet$\hss}\hss{}\def\NormalPunkt（#1，#2）{\unskip\将#2\Einheit\hbox提升为0pt{\hskip#1\Einheit\将-3pt\hbox提升到0pt{hss\large$\bullet$\hss}\定义\DickPunkt（#1，#2）{\unskip\将#2\Einheit\hbox提升到0pt｛\hskip#1\Einheit\raise-4pt\hbox到0pt｛\hss\Large$\bullet$\hss｝\hss｝\定义\Kreis（#1，#2）{\unskip\将#2\Einheit\hbox提升为0pt{\hskip#1\Einheit\将-4pt\hbox提升到0pt{大$\circ$\hss}\定义\对角线（#1，#2）#3{\unskip\leavevmode\xcoord#1\放松\ycoord#2\放松\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einhit\单位长度\Einheit\行（1,1）{3}\hss}}\定义\反对角线（#1，#2）#3{\unskip\leavevmode\xcoord#1\放松\ycoord#2\放松\advance\xcoord by-0.05\relax\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einhit\单位长度\Einheit\行（1，-1）{#3}\hss}}\定义\Pfad（#1，#2），#3\endPfad{\unskip\leavevmode\xcoord#1\ycoord#2\thicklines\ZeichnePfad#3\endPfad\thinlines}\def\ZeichneFad#1｛\ifx#1\endPfad\let\next\放松\else\let\next\ZeichnePfad\如果编号#1=1\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einhit\vrule高度\Pfadd@cke公司宽度1\E高度\Pfadd@cke公司\高速}%\前进\xcoord 1\else\ifnum#1=2\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einhit\hbox{hskip-\PfadD@cke公司\vrule高度1\Einheit宽度\PfadD@cke公司深度0pt}\hss}%\前进\ycoord 1\else\ifnum#1=3\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt｛\hskip\xcoord\Einheit\单位长度\Einheit\行（1,1）{1}\hss}\前进\xcoord 1\前进\ycoord 1\else\ifnum#1=4\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einhit\单位长度\Einheit\行（1，-1）{1}\hss}\前进\xcoord 1\前进\ycoord by-1\fi\fi\fi\fi\下一个}\定义\hSSchritt{\leavevmode\raise-.4pt\hboxto0pt{\hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将-.4pt\hbox提升为0pt{hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将-.4pt\hbox提升为0pt{hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将-.4pt\hbox升高到0pt｛\hss.\hss｝\hskip.2\Einheit\将-.4pt\hbox提升到0pt{hss.\hss}\hskip.2\Einheit}\定义\vSSchritt{\vbox{\baselineskip.2\Einheit\lineskiplimit0pt\hbox{.}\hbox{.S}\hbos{.}\ hbox{.C}\hbbox{.}\def\DSSchritt{\leavevmode\raise-.4pt\hbox到0pt{%\hbox到0pt{\hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将.2\Einheit\hbox提升到0pt{\hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将.4\Einheit\hbox提升到0pt{\hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将.6\Einheit\hbox提升为0pt{\hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将.8\Einheit\hbox提升到0pt{\hss.\hss}\hss{}\def\dSSchritt{\leavevmode\raise-.4pt\hbox到0pt{%\hbox到0pt{\hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将-.2\Einheit\hbox提升到0pt{\hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将-.4\Einheit\hbox提升到0pt{\hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将-.6\Einheit\hbox提升到0pt{\hss.\hss}\hskip.2\Einheit\将-.8\Einheit\hbox提升到0pt{hss.\hss}\def\SPfad（#1，#2），#3\endSPfad{\unskip\leavevmode\xcoord#1\ycoord#2\ZeichneSPfad#3\endSPfad}\def\ZeichneSPfad#1{\ifx#1\endSPfad\let\next\relax\else\let\next\ZeichneSPfad\如果数量#1=1\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einhit\hSSchritt\hss}%\前进\xcoord 1\else\ifnum#1=2\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einhit\hbox{hskip-2pt\vSSchritt}\hss}%\前进\ycoord 1\else\ifnum#1=3\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einhit\DSSchritt公司}\前进\xcoord 1\前进\ycoord 1\else\ifnum#1=4\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einhit\dSSchritt公司}\前进\xcoord 1\提前\按-1排序\fi\fi\fi\fi\下一个}\定义\Koordinachsen（#1，#2）{\unskip\hbox到0pt{\hskip-.5pt\vrule height#2\Einheit width.5pt depth1\埃尼特}%\hbox to0pt{\hskip-1\Einheit\xcoord#1\advanced\xcoordby1\vrule高度0.25pt宽度\xcoord\Einheit深度0.25pt\hss}}\定义\Koordinachsen（#1，#2）（#3，#4）{\unskip\hbox到0pt{\hskip-.5pt\ycoord-#4\advance\ycoord by 1\vrule高度#2\Einheit宽度.5pt深度\ycoord\Einheit}%\hbox到0pt{\hskip-1\Einheit\hskip#3\Einheit\xcoord#1\前进\xcoord by 1\advanced\xcoord-by-#3\vrule高度0.25pt宽度\xcoord\Einheit深度0.25pt\hss}}\定义\书写器（#1，#2）{\unskip\xcoord0\ycoord0\leavevmode\回路\ifnum\ycoord<#2\循环\ifnum\xcoord<#1\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einheit\Punkt\hss}%\前进\xcoord 1\重复\x坐标0\前进\ycoord by 1\重复}\定义\书写器（#1，#2）（#3，#4）{\unskip\xcoord#3\ycoord#4\leavevmode\回路\ifnum\ycoord<#2\循环\ifnum\xcoord<#1\将\ycoord\Einheit\hbox提升到0pt{\hskip\xcoord\Einheit\Punkt\hss}%\前进\xcoord 1\重复\xcoord#3号\前进\ycoord by 1\重复}\定义\标签#1#2（#3，#4）{\unskip\xdim#3\Einheit\ydim#4\Einhit\def\lo{\advance\xdim by-.5\Einheit\advange\ydim by.5\Ein heit}%\def\llo{\advance\xdim by-.25cm\advange\ydim by.5\Einheit}%\def\loo｛\advance\xdim by-.5\Einheit\advance\xdim by.25cm｝%%新DEF\O:=\OX\def\o{\advance\ydim增加0.25cm}%\def\ro{\advance\xdim by.5\Einheit\advange\ydim by.5\Einheit}%\定义\rro{\advance\xdim by.25cm\advange\ydim by.5\Einheit}%\def\roo{\advance\xdim by.5\Einheit\advange\ydim by.25cm}%\定义{\advance\xdim by-.30cm}%\定义\r{\advance\xdim by.30cm}%\def\lu{\advance\xdim by-.5\Einheit\advange\ydim by-.6\Einhit}%\def\llu{\advance\xdim by-.25cm\advange\ydim by-.6\Einheit}%（定义\llu{\advence\xdim by-.25厘米\advance \ydims by-.6 \Einhit}%）\def\luu{\advance\xdim by-.5\Einheit\advange\ydim by-.30cm}%\def\u{\advance\ydim乘以-.30cm}%\def\ru{\advance\xdim by.5\Einheit\advange\ydim by-.6\Einhit}%\def\rru{\advance\xdim by.25cm\advange\ydim by-.6\Einheit}%定义\def\ruu{\advance\xdim by.5\Einheit\advange\ydim by-.30cm}%#将\ydim\hbox提升到0pt{\hskip\xdim\vbox到0pt{\vss\hbox到0pt}\hss$#2$\hss}\vss}\hss}%}\类别代码`\@=12\更新命令{\baselinestretch}{1.0}\v空间{5mm}\t\\cite｛takacs｝使用拉格朗日反演来获得交替和表达\开始{方程式}\裂缝{n！}{n+1}\sum_{j=0}^{楼板n/2楼板}（-1）^{j}\裂缝{（2j+1）（n+1）^{n-2j}}{2^{j}j！（n-2j）！}\标签{eq:1}\结束{方程式}$[n]={1,2，\ldots，n\}上未生根树的森林数$\htmladdnormal链接{A001858}{http://www.research.att.com:80/cgi网站-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A001858}。这与凯利的简单形成对比表达式$（n+1）^{n-1}$\htmladdnormal链接{A000272}{http://www.research.att.com:80/cgi网站-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=A000272}$[n]$上有根树的森林数量。在这里我们使用众所周知的计算有根树的森林以给出组合求导的结果：我们将（ref{eq:1}）表示为加权树配置，其中显示无根树的森林具有重量$+1$，我们展示了一个重量反转抵消所有其他配置重量的内卷化。首先，将（\ref{eq:1}）重写为\开始{方程式}\sum_｛0\le j\len/2}^{}\（-1）^{j}\幻影{\int_{}^{}}\下大括号{\binom{n}{2j}（2j-1）！！}_{A} \幻影{\int_{}^{}}\下大括号{（2j+1）（n+1）^{（n+1\标签{eq:2}\结束{方程式}其中$（2j-1）=1\cdot 3\cdot 5\ldot（2j-1）$是双重阶乘。系数$B$是$[0，n]上的森林数量$由$2j+1$棵树组成，这些树的根位于指定的$2j+1$根集合\引用[定理3.3，p.\：17]{moon}（另请参阅最近的优雅证明。系数$A$是选择$2j$元素的方法数从$[n]$开始，然后将它们分成两组；换句话说，在$[n]$的一些$2j$元素上形成完美匹配。这些$2j$元素与0一起很好地充当了指定的根来构造由产品$AB$计算的配置。定义一个\emp{partially-paired-root}（简称PPR）\emp}$n$-forest}成为植根于0的树以及零对或多对（无序）根树树木形成$[0，n]$的分区。PPR林的\emph{pair-count}是它的树对数。产品$AB$是PPR$n$-森林的数量，带有对计数$j$。如果我们定义PPR林的\emph{weight}将对计数$j$的值设为$（-1）^{j}$，则（1）的右侧是所有PPR$n$-森林的总重量。包括我们要计算的对象在这些PPR$n$-森林中，我们假设每棵树未生根的森林在其\emph{最小}顶点生根。那么$[n]$上的未开根树木森林正好对应于PPR$n$-成对计数为0的森林顶点0的子节点小于其所有子节点（删除顶点0以获取这个没有根的树的森林）。中的顶点$v$如果至少有一个$v$是$-->