整数序列杂志，第3卷（2000年），第00.1.3条

超完美数的研究

贾德森·麦克拉尼
韦斯特菲尔德法院1680号
佐治亚州劳伦斯维尔，邮编30043
美国
电子邮件地址：jud.mccranie@mindspring.com

摘要：一个数字n个是k个-某些整数的超完备k个如果n个= 1 +k秒(n个),哪里秒(n个)是以下各项的适当除数之和n个.1-超完美数是我们熟悉的完美数。本文介绍关于超完全数的一些定理、猜想和表。所有小于10的超完美数¹¹已计算。有证据表明已发表的推测是错误的。

1.简介

超完美数是完美的另一种概括数字，不要与更著名的乘法混淆完美、多重完美或k个-折叠完全数。

定义。一个整数n个>1是k个-超完美如果是的话1个以上k个乘以其适当除数之和，对于某个正整数k个调用了完美指数.（见盖伊，第B2节；罗伯茨，第177页；魏斯坦；斯隆，序列A007592号,A034897美元,A007593号,A007594号等。；斯隆和普劳夫，序列M4150、M5113、M5121。）

这相当于

n个=k个(西格玛(n个)-n个-1）+1                (1)

哪里西格玛通常是除数和函数。

符号。除非另有说明，n个表示超完美数，k个完美指数，第页,q个和第页是奇素数具有第页<q个<第页、和我和k个是正整数。

所有小于10的超完美数¹¹已制成表格本研究。1932年，在这个范围内有2190个超完美数不同的值k个.只有85个超完美数具有奇数索引k个,和80个不同的奇数值k个代表。A类总共2105个超完美数具有偶数索引k个，以及1852个不同的偶数值k个代表。所有这些除1-超完美数外，超完美数是奇数（熟悉的完美数字）。后面给出了一些更大的超完美数。

2.主要表格

表1列出了小于1000000的超完美数及其完美指数k个.顺序A034897号是左栏A034898号是右列。（省略带有k个=1给出A007592号.)

表2列出了已知的超完美数k个<=100.每个值的最小已知超完美数k个产量序列A007594号.小于10的超完美数¹¹列出了。哪里没有超完美数小于10¹¹和更大的超完美数对于以下值k个已知，见表7。

3.结构

我们考虑偶数的情况k个和奇数k个分别进行。

情况1：奇数值k个.什么时候？k个=1这些是完美的数字，我们不再赘述。在本节的其余部分中，我们认为奇怪k个>1，除非另有说明。

定理1。如果k个>1是一个奇数，第页=(3k个+1） /2是质数，并且q个=3k个+4=2第页+3是素数第页²q个是k个-超完美。

证明。定理1、2和3的证明是直接的验证，将被省略。

等效公式为第页=6我-1,q个=12我+1，和k个=4我-1，对于一些我>0.如果第页不是这种形式。

定理1也适用于k个=1，得出完美数字28。的当然，其他1-超完美数不是这种形式。

对于奇数k个>1，共有79个k个-更少的超完美数大于10¹¹最小值为325=5²*13，即3-超完美。其中最大的是98015605201=3659²*7321, 这是2439超完美。

序列A034934美元,A034936号,A034937号,A034938号,A002476号和A045309型给出与定理1相关的素数。表3列出了的奇数值k个>1其中有k个-超完美数。全部（事实上大家都知道k个-奇数的超完美数k个>1） 其形式为定理1（序列A038536号):

猜想1（定理1的逆）。全部k个-奇数的超完美数k个>1为中给出的形式定理1。

如果n个是一个k个-偶数的超完美数k个>1 那么很明显n个很奇怪。全部已知k个-超完美数古怪的k个>1是奇数。如果猜想1成立，那么所有k个-超完美数k个>1是奇数。

Herman te Riele[1981]指出奇数的六个超完美数k个当时已知的[米诺利，1980年]都是相当于定理1。

情况2：偶数值k个>1

定理2。如果第页和q个是明显的奇数这样的素数k个(第页+q个)=pq值-部分为1整数k个，然后n个=pq值是k个-超完美。等效地，q=（kp+1）/（p-k）。

我们再次省略了证据。

以下值有一些限制k个,第页、和q个满足定理2:（a）k个<第页<2k个<q个; 和（b）除k个=2（其中第页=3,q个=7),第页和q个是同余模12，以及k个是6的倍数。

表4给出了一些值第页,q个、和k个那个满足定理2。的更多值第页按顺序给出A034913号, 和的值第页和q个组合，按顺序，包含在序列A034914号.

定理3。假设k个>0和第页=k个+1是质数。如果q个=第页^我-第页+1是一些人的素数我>1那么n个=第页^{我 -1}q个是k个-超完美。

请注意，当k个=1和第页=2这个定理给出了熟悉的完美数字。表5列出了这个定理的一些例子。顺序A034915号给出了的值q个按顺序排列。

为了方便起见，我们将说超完美数是由定理1、2和3是形式分别为1、2和3。米诺利[1980]给出了一个不同的（更广泛的）充分条件，即数字为超完美，这对于形式的超完美数也是必要的第页^我q个并且不依赖于k个.

对于偶数k个>1，有2105个k个-超完美数小于10¹¹其中最小的是21，即2-超完美。最大的是99671702281=107693*925517，这是6468个超穿孔。这个最大偶数值k个表示为156102，其中97885007917=293147*333911是156102-超完美。在这2105个超完美数字中，2001年仅为形式2，17为形式3，68为两种形式，19为这两种形式都不适合。已知的超完美数并不适合所有这些形式有三个不同的主要因素。因此，所有已知的超完美数表格第页^我q个是形式1、2或3。最大超完美数小于10¹¹形式3也是形式2:94860412321=4561*20798161=pq值；k个=4560.

表6给出了小于10的超完美数¹¹属于的形式3，但不是形式2：

对于偶数值k个对于其中k个-超完美数确实存在更常见的是k个-超完美数k个是一个6的倍数（形式2）。对于1852年的偶数值k个有一个k个-超完美数小于10¹¹，都是6的倍数除了k个=2、4、10、40、100、140和190。前五个案例有k个+1素数，因此是形式3的超完美数。对于其余两例，157*2131*3343为140例，229*1999*2551为140例190过度灌注。

我们可以应用定理3找到一些较大的k个-超完美数什么时候k个+1=第页是最好的。例如，参考表2；那里不小（即<10¹¹)k个-超完美数k个=16、22、28、36、42、46等-其中k个+1是素数。（还有其他小值，如k个=8，其中无8-超完美数字已知。）我们只需要检查一下q=p^我-第页+1是一些人的素数我>1-如果是，那么第页^{我 -1}q个根据定理3是超完美的。表7显示了找到了超完美的数字k个<=100,k个+1个=p素数，和我<=500:

表7填写了k个<=表2中的100没有超完美数<10¹¹.给出了一种方法由te Riele[1981]生成具有三个或更多因子的超完美数。他还给出了超完美的数字k个=42、72和96。一个计算使用此方法（除非不需要第页=k个+1） 的第页<2¹⁶,q个<第页< 2³¹做不显示任何其他超完美数字k个<=100.

素数定理的一个推论是整数x个素数约为1/自然对数(x个). 考虑到形式3的数字q个是质数是大约1/自然对数(第页^我). 自从这个总和的数量我从2到无穷远发散，我们期望无穷远数量k个-超完美数k个+1是质数。

4.两个以上素数

19个超完美数小于10¹¹有三个不同的素因子（第一个素因子可以是大于其中没有一个具有三个以上的不同因素。对于偶数值k个，十七个例子是这样的第页^我q个，用于我>1中，第页<q个，而2069个示例是表格pq值，和两个是这样的第页^我qr（质量比）.表8给出小于10的超完美数¹¹有两个以上不同的主要因素：

搜索表单的超完美数pqr（pqr）使用te Riele[1981]的方法，但不要求第页=k个+1（作为他这样做是出于实际原因）。此搜索仅限于k个<= 10000和第页-k个<= 1000. 另外346个超完美表格编号n个=pqr（pqr）,n个>10个¹¹曾经找到。最大的价值k个是9930，其中10009*1258219*125066187236071是9330-超完美。表9列出了找到的对于k个<= 1000.

Herman te Riele构造了11个具有三个不同的超完美数素因子和一个具有四个不同素因子的因子。在他的例子中他设定了三个主要因素第页=k个+1出于实际原因；但是这种限制是没有必要的。本次调查发现，另有16人超灌注次数小于10¹¹有三个主要因素。这个te Riele构造的小于10的数字¹¹注意到了以上。表10列出了素因子为的超完美数（对于偶数k）高于一次功率：

te Riele的方法不能产生k个-超完美数形式pqr（pqr）对于奇数k个.在该结构中，n个/第页是偶数，除非k个=1和第页=2，所以n个/第页不能分解成奇数素数q个和第页.

让我们检查一下k个。对于k个=所有五个示例是形式3，这两个示例都是k个=4和3个四个示例k个=6，示例k个=10等。这个不属于形式2或形式3的例子可以用te方法构造里尔。表11给出了一些小的示例k个，通常为形式3：

以下几个值k个表11中有多个k个-超完美数。表12列出了一些较大的示例k个由几个超完美数表示的，所有这些超完美数都是表格2。

5.关于一般值的备注k个

对于204个值k个，有两个或多个k个-超完美数小于10¹¹。的值k个有三个以上的例子如表13所示：

根据定理3，应该有k个-超完美数无论何时k个+1是质数。什么时候？k个是均匀的，并且k个+1是复合情况不太清楚。对于的值k个那是一个6的倍数，定理2只提供了有限数量的可能k个-超完美数。最多搜索10个¹¹显示其中一些值的超完美数k个，但定理2失败提供更多示例。因此，有偶数值k个的（a）没有k个-超完美数小于10¹¹，（b）定理2未能提供任何示例，以及（c）定理3不适用。然而，可能存在大于10¹¹这些偶数值的不同形式k个。对于例如，157*2131*3343是140超完美，229*1999*2551是190倍完美。

Daniel Minoli和Robert Bear【Guy，第B2节】推测是k个-每个的超完美数k个.提供的数据这里可以作为这个推测是错误的证据。最引人注目的原因是数据表明定理1（猜想1）的逆命题为true，这意味着存在奇数值k个对于其中没有k个-超完美数。此外，如前所述，teRiele构造（有三个或更多素因子）不适用于奇数k个.

对于偶数值k个情况不太明朗。甚至还有的值k个没有k个-超完美数已知。如果k个+1是素数，则定理3最终应产生k个-超完美数。如果k个是6的倍数，然后是定理2提供的可能性有限。否则就有可能te Riele方法将生成一个示例。然而，这个机会似乎用这种方法构造的小而超完美的数很少。考虑到前面，提供了以下推测：

猜想2。有偶数值k个对于其中没有k个-过度灌注数。

6.结论

对于奇数值k个>我们给出了一个结构k个-超完美数，我们推测所有这些超完美数字是这样的形式（对于奇数k个>1).

对于偶数值k个，我们展示了两个充分条件导致k个-超完美数。所有已知只有两个不同素因子的超完美数是这两种形式之一，但具有两个以上不同素数的超完美数存在着不属于这些形式的因素。其中一些数字也是由te构造的里尔。

我们提供了一些证据来反驳米诺利发表的推测忍受吧k个-所有人都存在超完美数k个>0.

最后一点：Minoli[1980]给出了一个超完美数列表少于1500000，并表示计算耗时超过10个小时在PDP 11/70上。这位作者的程序在六岁以下的儿童中搜索了相同的范围300 MHz Pentium-II通用电子计算机上的秒数。最多搜索10个¹¹然而，需要几晚的运行。

7.相关顺序

与某些形式的超完美数相关的素数：

A034934号,A034936号,A034937号,A034938号,A002476号,A045309型-表格1
2013年0月34913日,2014年0月34914日-表2，表4
A034915号-表3，表5
第034922号,A034923号,A034924号,A034925号,A034926号-表3，表7

的一些值k个至少有四个已知k个-超完美数字：

A000396/M4186-完美数，1-超完美数
A007593/M5121-2-超完美数（已知5个）
A028499号-6-超完美数（已知4个）
A028500型-12个过度灌注数（已知6个）
A028501号-18-超完美数（已知4个）
A028502号-2772个超完美数（已知4个）
A034916号-31752个超完全数（已知5个）

工具书类

理查德·K·盖伊，数论中尚未解决的问题，第二版，Springer-Verlag，纽约，1994年。

Daniel Minoli，非线性超完美数问题，数学计算第34卷，639-6451980年。

乔·罗伯茨，整数的诱惑，数学协会美国，1992年。（注：第177页上的超完美定义包含打印错误：“西格玛(n个)“应该是”西格玛(米)".)

Herman J.J.te Riele，三个不同素数的超完美数因素，计算数学第36卷，297-2981981年。

N.J.A.斯隆，整数序列在线百科全书,以电子方式发布于www.research.att.com/~njas/sequences网站/

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，整数百科全书序列《学术出版社》，圣地亚哥，1995年。

Eric W.Weisstein，CRC简明数学百科全书，CRC公司克利夫兰出版社，1998年。在线版本：mathworld.wolfram.com/

（与序列有关A007592号,A007593号,A007594号,A028499号,A028500型,A028501号,A028502号,A038536号,A034897号,A034898美元,A034913号,A034914号,A034915号,A034916号,A034922号,A034923号,A034924号,A034925号,A034926美元,A034934号,A034936号,A034937号,A034938号. )

1998年8月4日收到；修订版于1999年10月22日收到。发表于2000年1月21日的《整数序列杂志》。