\文档类[12pt]{amsart}\usepackage[colorinks=true]{hyperref}使用包\使用包{amscd，amssymb}\使用包｛eepic，psfig｝\新命令{\MRhref}[1]{}\新定理{定理}{定理{\新定理{命题}[定理]{命题\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{推论}[定理]{推演}\新计数器{numx}\新计数器{ff}\新命令{\EdgesEven}[2]{%\设置计数器{ff}{\value{numx}}\加到计数器{ff}{\value{numx}}\addtocounter{ff}}{-1}\开始{图片}（30,10）（-15,0）\多输出（-\value{ff}，10）（2,0）{\value{numx}}{%\行（\value{ff}，-10）{\value{ff}}\加到计数器{ff}{-2}}\多输出（-\value{ff}，10）（2,0）{\value{numx}}{%\行（\value｛ff｝，-10）｛-\value｛ff｝｝\加到计数器{ff}{-2}}\put（0,15）{\makebox（0,0）{#1}}\put（-3，-3）{\makebox（0,0）[r]{#2}}\put（0,0）{\圈*{2}}\结束｛图片｝｝\新命令{\EdgesOdd}[2]{%\设置计数器{ff}{\value{numx}}\加到计数器{ff}{\value{numx}}\开始{图片}（30,10）（-15,0）\多输出（-\value{ff}，10）（2,0）{\value{numx}}{%\行（\value{ff}，-10）{\value{ff}}\加到计数器{ff}{-2}}\加到计数器{ff}{-2}\多输出（-\value{ff}，10）（2,0）{\value{numx}}{%\行（值{ff}，-10）{-\value{ff}}\加到计数器{ff}{-2}}\put（0,10）{（0，-10）{10}}\put（0,15）{\makebox（0,0）{#1}}\put（-3，-3）{\makebox（0,0）[r]{#2}}\put（0,0）{\圈*{2}}\结束{图片}}\新命令{\FFL}[1]{\开始{图片}（30,10）（-15,0）\put（3,20）{\makebox（0,0）[c]{$1$}}\结束{图片}}\新长度{\lenx}\settowidth{\lenx}{\，$1|2|3$\，}\newcommand｛\Abox｝[1]｛\makebox[0pt]｛%\框架框[\lenx][c]{$\phantom{\overline0|}#1\phantom{|\overline 0}$}}\新命令{\Nbx}[1]{\makebox[0pt]{\ensuremath{\scriptstyle#1}}}\开始｛文档｝\中心线{\psfig{file=logo0018.ps，宽度=4.5in}}\vskip 1cm\中心线{\LARGE\bf经典序列的两个类似物}\vskip 1.5厘米\中心线{大型Ruedi Suter}\大跳跃\中心线{Mathematikdepartment}\中心线{ETH Z\“urich}\中心线{8092 Z“乌里奇，瑞士}\梅德斯基普\中心线{电子邮件地址：\ href{mailto:suter@math.ethz.ch}{suter@math.ethz.ch}}%\urladdr{http://www.math.ethz.ch/$\tilde{\phantom{a}}$suter}%\谢谢{}%\日期{}%\献词{}\vskip2.5厘米\中心线{\bf{抽象}}\textit{我们计算Hasse中边数的指数生成函数分区格的$\mathsf B$-和$\mathf D$-类似物的图表。}\vspace*{+.1in}{\footnotesize1991年{\em数学学科分类}初级05A15、52B30；次级05A18、05B35、06A07、11B73、11B83、15A15、20F55}\第*{导言}节当查找序列$1$、$6$、$31$、$160$、$856$、$4802$、$28\、337$时，Sloane的整数序列标识符之一中的$175\，896$，\ldot引用{HIS，EIS，OIS}，人们了解到，这些数字是$n$-终端网络，$n=2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$、$9$、$\ldots$作为在Riordan~\cite{Ri}的一篇旧文章中进行了描述。在组合学中，有两种通用的方法来推广经典枚举事实。通过将集合$[n]=\{1，\dots，n\}$替换为有限域$\mathbb F_q$to上的$n$维向量空间获取$q$-模拟。另一个概括或扩展是通过考虑``“$\mathsf A$-case”的$\mathf B$-和$\math2f D$-类似物“”。本术语源于谎言理论。（此处没有“$\mathsf C$-case”，因为它与“$\mathsf B$-case”一致。）当然可以尝试将两者结合起来方法并提供$q$-$\mathsf B$-和$q$-$\mathf D$-类似物。在本注释中，我将描述$\mathsf B$和$\mathf D$的数字模拟终端网络的驱动点阻抗对这些序列的外观很好奇，下面是它们的前几个术语：\开始{align*}\mathsf B\mbox{模拟}\qquad&\mbox{1美元、8美元、58美元、432美元、3396美元、28美元、384美元、252美元、456美元、2美元、385美元、280美元、10美元\\\mathsf D\mbox{模拟}\qquad&\mbox{0美元、4美元、31美元、240美元、1931美元、16美元、396美元、147美元、589美元、1美元、408美元、224美元、10美元\结束{align*}我可能应该强调，我只会给出数学论证，不会试图提供$\mathsf B$-~和$\mathf D$-网络的物理实现。我们从某些经典超平面排列开始。超平面排列定义了一系列子空间，即那些可以写入的子空间作为排列中的一些超平面的交点。对于每个这样的子空间我们将选择表示子空间的正规形式。这种正常形式包括Dowling术语中部分$\{\pm1\}$-分区的等价类\引用{Do}。Dowling实际上为任何有限群$G$。使用电压图的概念（或$|G|=2$的符号图）或更普遍的有偏图，扎斯拉夫斯基对道林的工作进行了意义深远的概括有趣的是，不仅网络，而且数学处理超平面排列带有图论的味道。在这里，我们将坚持尽管例如，这种方法在{BjSa}中取得了成功。在某种意义上，正常形式这种方法追求一种与扎斯拉夫斯基的图表相反的策略。超平面或更多排列的惠特尼数和特征多项式通常用于子空间排列，即具有固定秩的顶点数在哈斯图和M“obius函数中，许多作者已经进行了研究。显然，到目前为止，人们对Hasse中边缘的数量几乎没有关注图表。还有一点值得一提。它涉及$\mathsf a$-、，$\mathsf B$-和$\mathf D$-系列。我们将确保一切对前两个系列，而对于$\mathsf D$-系列，我们必须更加努力。一方面，$\mathsf a$-和$\mathf B$-系列与$\mathsf D$-另一个序列也出现在其他上下文中，例如，在问题中计算中最长元素的约化分解相应的Coxeter群（初始论文请参见{St}）。相反，在谎言理论中，人们有一种不同的二分法，即带花边（如$\mathsf A$和$\mathf D$）和非简单带花边的（如$\ mathsf B$和$\mathsf C$）类型。最后，一个明显的概括，然而，我们不深入讨论酉反射群无穷族的超平面安排。\截面{超平面排列及其相交格}设$\mathcal A=\{H_1，\dots，H_N\}$是余维~$1$in的子空间的集合向量空间$\mathbb R^n$。我们让$L（\mathcal A）$表示所有的偏序集交集$H_{i_1}\cap\dots\cap H_{ir}$，按反向包含排序。此偏序集$L（\mathcal A）$实际上是一个几何晶格。它的底部元素$\widehat0$是空索引集上的交集，即$\mathbb R^n$。原子是超平面$H_1、\dots、H_N$，顶部元素$\widehat1$是$H_1\cap\dots\cap H_N$。有关更多详细信息，请参阅卡地亚的布尔巴基谈话，Bj“orner的论述引用了{Bj}来描述更一般的子空间排列，以及Orlik和Terao的专著对于对理论的透彻阐述。Orlik和Solomon提出的一个定理表明，对于有限不可约Coxeter群$W$与Coxeter协议$\mathcal A=\mathcall A（W）$相等\开始{方程式}\标签{AH}|\mathcal A^H|=|\mathcal A|+1-H\结束{方程式}其中$H\in\mathcal A$是排列的任何超平面，$H$是Coxeter$W$和$\mathcal A^H$的数量是$H$中的超平面排列mathcal A-{H}$中$H的超平面$H\cap H'$。换句话说，（ref{AH}）表示相交晶格$L（mathcal A）$中的每个原子是由$|\mathcal A|+1-h$元素覆盖。人们可能想知道关于覆盖$L（\mathcal A）$中任意元素的元素数。这里我们关注的相交格来自以下超平面单位：$\mathbb R^n$。\更新命令{\arraystretch}{1.4}$$\开始{数组}{|l|l|}\hline\多列{1}{|c|}{\mbox{$\mathcal A$}}类型&\多列{1}{c|}{mbox{$\mathcal A$}}\\hline的元素\四边形（\mathsf A_1）^n&\{x_A=0\}_{A=1，\点，n}\\\四边形\mathsf A_{n-1}&\phantom{x_A=0\}_{A=1，\dots，n}，\}\，\{x_b=x_c\}_{1\leq斜面b0美元），而对于另一个超平面只在零向量中相交的类型。我们同意让$\mathsf A_{-1}$表示$0$中的空超平面排列。所以交叉格$\mathsf A_｛-1｝$和$\mathsf A_0$是同构的。还有一点滥用$\mathsf A_1$类型的符号，因为它可以被视为$（\mathsf-A_1）^1$或$\mathsf A_{2-1}$。但这不会引起麻烦。对于L（mathcal A）$中的每个子空间$E\，我们定义子集$B_E\subseteq[n]=\{1，\dots，n\}$的属性$$C_E:=\bigcap_{a\in[n]-B_E}\{x_a=0\}$$是包含$E$的坐标超平面的最小交点。对于例如，如果$\mathcal A$的类型为$\mathsf A_{n-1}$，则全部为$B_E=[n]$$E\以L（\mathcal A）$表示。对于超平面$E=\{x_1\！=\！x_2\}\cap\{x_2\{x_5\！=\！x_8\}\cap\{x_8\！=\！0\}\subseteq\mathbb R^8$我们得到$B_E=\{4,6,7\}$。将$E$作为$C_E$的子空间进行描述按$B_E分区$与一起函数$\zeta:B_E\to\{\pm1\}$。如果$\{B_1，\dots，B_k\}$是$B_E的分区$到$k$块中，则$E$是$k$维子空间对于某些$j$}，C_E\bigm|{b，C}\b_j\mbox{中的$$E=\bigl\{（x_1，\dots，x_n）\纵向箭头\ζ（b）\，x_b=\ζ（c）\，x_c \ bigr \｝$$显然，$E$和$\bigl（\{B_1，\dots，B_k\}，\zeta\bigr）$是$1$到$2^k$，因为每个块都有标志的选择。这种对应关系为$L（\mathcal）中的子空间提供了一种方便的表示法A） 美元。我们写下一些$B\subseteq[n]$的分区，并在B中修饰数字$a\$$\zeta（a）=-1$，超价。可以选择整体标志对于每个块，我们同意每个块中的最小数字没有过棒。举个例子$\mathsf B_3$型考克塞特排列。有$24$个子空间考虑过的。顶点中显示了它们作为“符号排列”的表示（方框）。\开始{居中}\集长度｛\unitlength｝｛1.25毫米｝\开始{picture}（90,47）\放置（42,42）{\框架框（6,4）{}}\put（0,28）{\框架框（6,4）{$3$}}\put（7,28）{\框架框（6,4）{$123$}}\put（14,28）{\框架框（6,4）{$1\上划线23$}}\put（21,28）{\框架框（6,4）{$13$}}\put（28,28）{\框架框（6,4）{$12$}}\put（35,28）{\框架框（6,4）{$1\overline2$}}\put（42,28）{\框架框（6,4）{$2$}}\put（49,28）{\框架框（6,4）{$2\overline3$}}\投入（56,28）｛\framebox（6,4）｛$23$｝｝\put（63,28）{\框架框（6,4）{$1\上划线3$}}\put（70,28）{\框架框（6,4）{$12\overline3$}}\put（77,28）{\框架框（6,4）{$1\overline2\overline3$}}\put（84,28）{\框架框（6,4）{$1$}}\put（6,14）{\框架框（6,4）{$2|3$}}\put（15,14）{\框架框（6,4）{$12|3$}}\put（24,14）{\框架框（6,4）{$1\上划线2|3$}}\put（33,14）{\框架框（6,4）{$13|2$}}\put（42,14）{\框架框（6,4）{$1|3$}}\put（51,14）{\框架框（6,4）{$1\上划线3|2$}}\放置（60,14）｛\framebox（6,4）｛$1|2\overline3$｝｝\put（69,14）{\框架框（6,4）{$1|23$}}\put（78,14）{\框架框（6,4）{$1|2$}}\put（42.0）{\框架框（6.8.4）{$1|2|3$}}\put（45,4）{（-36,10）{36}}\put（45,4）{（-9,10）{9}}\put（45,4）{（18,10）{18}}\put（9,18）{（-6,10）{6}}\put（9,18）{（43,10）{43}}\put（18,18）{（-15,10）{15}}\put（18,18）{（13,10）{13}}\put（27,18）{（-24,10）{24}}\put（27,18）{（11,10）{11}}\put（36,18）{（-26,10）{26}}\put（36,18）{（-12,10）{12}}\put（45,18）{（-42,10）{42}}\put（45,18）｛\line（21,10）｛21｝｝\ put（45,18）｛\line（42,10）｛42｝｝\put（54,18）{（-9,10）{9}}\put（54,18）{（19,10）{19}}\put（63,18）{（-46,10）{46}}\put（63,18）{（10,10）{10}}\put（72,18）{（-62,10）{62}}\put（72,18）{（8,10）{8}}\put（81,18）{（-50,10）{50}}\put（81,18）{（-36,10）{36}}\put（45,42）{（-42，-10）{42}}\put（45,42）{（-28，-10）{28}}\put（45,42）{（-14，-10）{14}}\put（45,42）{（42，-10）{42}}\put（45,42）{（28，-10）{28}}\put（45,42）{（14，-10）{14}}\放置（45,42）{（0，-10）{10}}\结束{picture}\par{\small\textsc{图}1。$\mathsf B_3$格}的哈斯图\结束{中心}\无音（noindent）例如，$3$代表行$x_1=x_2=0$，$1\overline23$代表$x_1=-x_2=x_3$，$1|2\overline3$表示平面$x_2=-x_3$，$1|2$表示$x_3=0$等。\第*{哈斯图中的顶点}节\begin｛引理｝\label｛条件｝对于子集$B\subseteq[n]$的分区$\{B_1、\dots、B_k\}$和函数$\zeta:B\to\{\pm1\}$$k$维子空间$$\left\{（x_1，\dots，x_n）\in\mathbb R^n\，\left|\\开始{array}{@{}l@{}}a\在[n]-B\中，\右箭头\，x_a=0\\{b，c}\在b_j\mbox{\textup{中用于某些$j$}}\，\Longrightarrow\，\泽塔（b）\，x_b=\泽塔[c]\，x_c\end{数组}\right。\右\}$$根据下表，属于$L（\mathcal A）$。\更新命令{\arraystretch}{1.4}$$\开始{数组}{|l|l|}\hline\多列{1}{|c|}{\mbox{\textup{$\mathcal A$}}}&\多列{1}{c}{mbox{textup{condition}}}\\hline\四元（\mathsf A_1）^n和|B|=k，\，\zeta=1\\\四元\mathsf A_{n-1}&B=[n]，\，\ zeta=1\\\quad\mathsf B_n&\mambox｛---｝\\\quad\mathsf D_n和\bigl|[n]-B\bigr|\neq1\\\hline\结束{数组}$$\更新命令{\arraystretch}{1}%\结束{引理}\开始{proof}上表中的条件应明确。对于类型$（\mathsf A_1）^n$和$\mathsf A_{n-1}$为了简单起见，我们把$\zeta=1$（从字面上看，$\ze塔$只能是每个块上的常数$B_j$）。$\mathsf D_n的条件$只需考虑超平面$x_a=0$不属于$L（\mathcalA） 美元。但例如，$r\geqsleat2$的$x_1=\dots=x_r=0$可以写为$x_1=-x_2$，$x_1=\dots=x_r$，因此该子空间是~$L（\mathcal A）$的元素。\结束{proof}对于整数${n，k}\geqslead0$和$b>0$，让$S_b（n，k）$表示分区数$[n]$到$k$块中，每个块包含至少$b$个元素。所以$S_1（n，k）=S（n，k）$是第二类斯特林数。除b=1$外，我们只需要这个箱子其中$b=2$，这是从P’olya-Szeg\H{o}\cite（第一部分，第4章，S，3）中得知的；第八部分，第1章，第22.3]{PS}号。然而，我们声明以下更一般的内容提议。\开始{命题}\标记{Sb}对于每个整数$b>0$，分区数$S_b（n，k）$的生成函数从$[n]$到长度至少$b$的$k$块$$\sum_{n，k}\geqslate0}S_b（n，k）\frac{x^n}{n！}\，y^k=\exp\left（y\cdot\Bigl（e^x-1-x-\压裂{x^2}{2！}-\dots-\frac{x^{b-1}}{（b-1）！}\Bigr）\right）$$\结束{命题}\开始{proof}对于$k\geqsleat1$，我们有递归关系\开始{方程式}\标签{rec}S_b（n，k）=k\，S_b（n-1，k）+\tbinom{n-1}{b-1}\，S_b（n-b，k-1）。\结束{方程式}事实上，为了将$[n]$划分为长度至少为$b$的$k$块，我们可以将$[n-1]$的分区转换为长度至少为$b$的$k$块，并且将元素$n$附加到任何一个$k$块中，或者我们可以从中获取$b-1$元素$[n-1]$与$n$一起构成一个包含$b$元素的块，并将剩余的$n-b$元素到长度至少为~$b$的$k-1$块中。\票面价值为了证明这个命题，我们必须证明对于每个整数$k\geqslead0$\开始{方程式}\label{ind}f_k（x）：=\sum_{n\geqslate0}S_b（n，k）\frac{x^n}{n！}=\frac{1}{k！}\Bigl（e^x-1-x-\裂缝{x^2}{2！}-\dots-\frac{x^{b-1}}{（b-1）！}\Biger）^k。\结束{方程式}接下来是$k$的入职培训。$k=0$的情况很清楚：$S_b（n，0）=\delta_{n，0}$。对于$k\geqsleat1$，我们可以获得$fk（x）$的微分方程，即\开始{align*}f_k'（x）&=\sum_nS_b（n，k）\压裂{x^{n-1}}{（n-1）！}\\&\stackrel{\Nbx{（\ref{rec}）}}{=}\sum_nk\，S_b（n-1，k）\分形{x^{n-1}}{（n-1）！}+\sum_n\tbinom{n-1{b-1}\，S_b（n-b，k-1）\压裂{x^{n-1}}{（n-1）！}\\&=k\，fk（x）+\压裂{x^{b-1}}{（b-1）！}\，f{k-1}（x）\\&=k\，f_k（x）+\压裂{x^{b-1}}{（b-1）！}\压裂{1}{-\frac｛x^2｝｛2！｝-\dots-\frac｛x^｛b-1｝｝｛（b-1）！｝\Bigr）^｛k-1｝\结束{align*}其满足$fk（0）=0$的唯一解实际上是由等式~（\ref{ind}）。\结束{proof}格$L（mathcal A）$是秩函数为余维的分次偏序集。这个第二类分级偏序集的第$r$th个Whitney数定义为等级为$r$的元素。我们从制作开始惠特尼的数字相当明确。我们在$\mathbb R^n$中修复了一个超平面安排$\mathcal A$，并让$W（n，r）$是相交格的第$r$个惠特尼数（第二类）$L（\mathcal A）$。惠特尼数$W（n，n-k）$在写入数组时可以看作帕斯卡三角形的推广。事实上，帕斯卡三角形是为类型为~$（\mathsf A_1）^n$的布尔格。\vspace{.1英寸}让我们暂时离题考虑一下这种广义Pascal三角形或数组。后面数组中的（左上角）带有惠特尼数$W（0,0）$，其他惠特尼数字$W（p，q）$的条目$（p，q$）符合下图。{\footnotesize$$\开始{CD}W（n，n-k）@>>>W（n+1，n-k+1）\\@VVV\\W（n+1，n-k）\结束{CD}$$}\开始｛逐项列出｝\item\textbf{Pascal arranges}=$（\mathsf A_1）^n$类型的Coxeter排列\\$W（n，n-k）=\binom nk$。\票面价值{\footnotesize\新长度{\twofigures}\settowidth{\twofigures}{$00$}$$\开始{CD}1@>>\makebox[\two figures][c]{$1$}@>>\幻影{0}1\幻影{0}@>>>\makebox[2\two数字][c]{$1$}@>>\cdots\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\1@>>>2@>>>>3@>>4@>>\cdot\\@vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv@VVV@VVV\\1@>>>3@>>>>6@>>10@>>\cdot\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\1@>>>4@>>>>10@>>20@>>\吨\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\结束{CD}$$}%\newpage（新页面）\item\textbf｛Stirling arrangements｝=类型为$\mathsf的Coxeter排列{n-1}$\\$W（n，n-k）=S（n，k）$。对于$\mathsf A_{n-1}$格，方程的模拟$\tbino美元nk=\tbinom{n-1}{k}+\tbinom}{n-1{k-1}$读取$S（n，k）=k\，S（n-1，k）+S（n-1,k-1）$，这种情况$b=第1$个（\ref{rec}）\\[-3mm]{\footnotesize$$\开始{CD}1@>{{}\cdot0}>>\makebox[\twofigures][c]{$0$}@>>\phantom{0}0\幻影{0}@>>>\makebox[2\two个数字][c]{$0$}@>>\cdots\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\1@>>1@>>1@>>1@>>\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\1@>{{}\cdot2}>>3@>{}\cd ot2}>>7@>{{}\cm\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\1@>{{}\cdot3}>>6@>{}\cd ot3}>>25@>{{}\CD ot3}>>90@>{neneneep \cd ot3}>>\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\1@>{{}\cdot4}>>10@>{}\cd ot4}>>65@>{{}\cm\\@VVV@VVV@vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\结束{CD}$$}\分页符\item\textbf{$2$-道林安排}=类型为$\mathsf B_n$的考克塞特安排\\$W（n，n-k）=T（n，k）$。对于$\mathsf B_n$格，Whitney数满足关系$T（n，k）=（2k+1）\，T（n-1，k）+T（n-1,k-1）$（参见推论~\ref{corT}）。{\footnotesize$$\开始{CD}1@>>\makebox[\twofights][c]｛$1$｝@>>>\幻影{0}1\幻影{0}@>>>\makebox[2\two数字][c]{$1$}@>>\cdots\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\1@>{{}\cdot3}>>4@>{}\cd ot3}>>13@>{{}\cm\\@vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv@VVV@VVV\\1@>{{}\cdot5}>>9@>{}\cd ot5}>>58@>{{}\cm\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\1@>{{}\cdot7}>>16@>{}\cd ot7}>>170@>{{}\cm\\@VVV@VVV@VVV@VVV\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\结束｛CD｝$$｝\结束{itemize}继续以显而易见的方式，我们得到了道林格的惠特尼数对应于完备单项群$（\mathbb Z/m\mathbbZ）\wr\mathfrak S_n$，作用于$n$次对称群的圈积$（\mathbb Z/m\ mathbb Z）^n$。这很简单，计算可以在\cite{Be1，Be2}中找到。对于$\mathsf D_n$晶格，情况更为微妙。下表说明了为什么会这样。\更新命令{\arraystretch}{1.4}$$\开始{数组}{|c|l|}\hline\mbox｛type｝&多列｛1｝｛c|｝｛\box｛exponents｝｝\\hline（\mathsf A_1）^n和1,1，\点，1\\\mathsf A_n和1,2，\点，n\\\mathsf B_n和1,3，\点，2n-1\\\数学D_n和1,3，点，2n-3，n-1线\结束{数组}$$\更新命令{\arraystretch}{1}%类型$\mathsf D_n$的特立独行指数$n-1$揭示了以下事实：$2n$//$\乘以$\/$2n$不对称矩阵的行列式是矩阵项中的多项式。这就结束了我们的离题。从现在开始，我们将忽略几乎微不足道的类型为$（\mathsf A_1）^n$的大小写。\开始{命题}\标记{惠特尼}惠特尼数$W（n，n-k）$由以下公式给出。\更新命令{\arraystretch}{1.6}$$\开始{数组}{|l|l|}\hline\多列{1}{|c|}{\mbox{\textup{type}}&\multicolumn{1}}{c|}{W（n，n-k）}\\hline\矩阵A_{n-1}&S（n，k）\幻影{\sum\limits_{j=k}^n}\\\数学B_n&\sum\limits_{j=k}^n2^{j-k}\tbinom-nj\，S（j，k）\\\矩阵D_n&\sum\limits_{j=k}^n2^{j-k}\tbinom-nj\，S（j，k）-2^{n-1-k}n\，S（n-1，k）线\结束{数组}$$\更新命令{\arraystretch}{1}%\结束{命题}\开始{proof}根据表中的基本组合推理进行证明引理~\ref{条件}。（回想一下，$S（n，k）$是第二类斯特林数。）\结束{proof}提案~\ref{Whitney}中的表格也可以在\cite{Za}的最后一个推论中找到。\开始{定理}\标记{顶点}惠特尼数的生成函数如下表所示。\更新命令{\arraystretch}{1.6}$$\开始{数组}{|c|l|}\hline\mbox{\textup{type}}&\multicolumn{1}{c|}{\phantom{\biggl（}\sum\limits_{n，k}\geqslid0}W（n，n-k）\dfrac{x^n\mathstrut}{n！}\，y^k\幻影{biggr（}}\\hline\mathsf A&\exp\bigl（y\cdot（e^x-1）\bigr）\phantom{\bigl（}\\\mathsf B&e ^x\exp\Bigl（\dfrac y2\cdot\Bigl（e^{2x}-1\较大）\较大）\\\mathsf D&（e^x-x）\exp\Bigl（\dfrac｛y｝｛2\mathstrum｝\cdot\Bigl（e^{2x}-1\较大）\较大）\\\hline\结束{数组}$$\更新命令{\arraystretch}{1}%\结束{定理}\开始{proof}对于类型$\mathsf A$，这是命题~\ref{Sb}，$b=1$。对于类型$\mathsf B$系数$$a_n（y）=\sum_{k\geqslate0}\sum_{j=k}^n2^{j-k}\tbinom-nj\，S（j，k）\，y^k\ in \mathbb Z[y]$$是的二项式变换$$b_j（y）=\sum_{k\geqslate0}2^｛j-k｝S（j，k）\，y^k\ in \mathbb Z[y]$$因此\开始{align*}\sum{n\geqslate0}a_n（y）\frac{x^n}{n！}&=e^x\sum{j\geqslide0}b_j（y）\frac{x^j}{j！}\\&=e^x\sum_{j，k}S（j，k）\压裂{（2x）^j}{j！}\Bigl（\压裂y2\Bigr）^k=e^x\exp\Bigl（\frac y2\cdot\Bigl（e^{2x}-1\bigr）\bigr）。\结束{align*}最后，对于类型$\mathsf D$，我们需要减去\开始{align*}\总和_{n，k}2^{n-1-k}n\，S（n-1，k）\压裂{x^n}{n！}\，y^k&=x\sum_{n，k}S（n-1，k）\压裂{（2x）^{n-1}}{（n-1）！}\Bigl（\压裂y2\Bigr）^k\\&=x\exp\Bigl（\frac y2\cdot\Bigl（e^｛2倍｝-1\较大）\较大）\结束{align*}来自$\mathsf B$类型的生成函数。\结束{proof}在定理~\ref{vertices}中设置$y=1$，我们得到指数生成哈斯图中顶点数的函数。其中的系数指数生成函数是$\mathsf A$类型的Bell数$\mathsf B$类型的Dowling编号。对于$\mathsf D$类型，这些数字显然是未命名的。\开始{推论}\label{corT}Whitney数字$T（n，k）=W（n，n-k）$$2$-Dowling安排满足递归关系$$T（n，k）=（2k+1）\，T（n-1，k）+T（n-1,k-1）$$\结束{推论}\开始{proof}$\Bigl（\dfrac{\partial}{\paratilx}-2\，y\，\dfrac{\partical}{\protialy}-1-y\Bigr）\，e^x\exp\Bigl（\dfrac y2\cdot\Bigl（e^{2x}-1\较大）\较大）=0$。\结束{proof}\第*{哈斯图中的边}节在哈斯图中，有两种明显的计算边数的方法。也就是说，通过所有顶点，并将向上或双重向上的边数相加向下。正如Orlik和Solomon对于秩为$1$的元素的结果所表明的那样，这里比较容易计算覆盖给定顶点的顶点对应的边而不是数那些与被给定顶点覆盖的顶点相对应的边。$L（\mathcal A）$的Hasse图中的一条边从L（mathcal A）$中的$E\对应于余维L（mathcal A）$中的子空间$E'\$1$以$E$表示。我们将计算$E$中包含多少这样的子空间。从示意图上看，我们有$$\bigl（\{B_1，\dots，B_k\}，\zeta\bigr）\rightsquigarrow\bigl（\{B_1'，\dots，B_{k-1}'\}，\zeta'\bigr）$$具有$$E=\left\{（x_1，\dots，x_n）\in\mathbb R^n\，\left|\\开始{array}{@{}l@{}}a\在[n]-B\中，\右箭头\，x_a=0\\{b，c}\以b_j\mbox{表示一些$j$}\，\Longrightarrow\，\ zeta（b）\，x_b=\ zeta（c）\，x_c \结束｛array｝\ right。\右\}$$其中$B=B_1\cup\dots\cup B_k$，$E'$通过施加一个进一步的方程式获得，$$E'=\left\{（x_1，\dots，x_n）\in\mathbb R^n\，\left|\\开始{array}{@{}l@{}}a\in[n]-B'\，\Longrightarrow\，x_a=0\\{b，c}\在b_j'\mbox{对于一些$j$}\，\Longrightarrow\，\zeta'（b）\，x_b=\zeta`（c）\，x_c\end{数组}\right。\右\}$$其中$B'=B_1'\cup\dots\cup B_{k-1}'$。施加一个进一步的等式可能有两种不同类型的化身正常形式。（与往常一样，$\widehat{B_k}$表示省略$B_k$。）\开始｛逐项列出｝\item\textbf{融合两个方块}。选择$1\leqslate i-->