\文档类[11pt]{文章}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\使用包{amsthm，amssymb}\使用包{psfig，epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\setlength｛\textheight｝｛8.9英寸｝\新命令{\rk}{{\rm-rk}}\新命令{\bbox}{\npagebreak[4]\hfill\rule{2mm}{2mm{}}\新计数器{resno}\新环境{Proof}{{sc-Proof.\}}{hfill\bbox\bigskip}\新环境｛prp｝｛\addtocounter｛resno｝｛1｝\新环境{lem}{\addtocounter{resno}{1}{\bigskip\noindent\thesection.\teresno\\sc引理.\}\sl}{\bigskip}\newenvironment{thm}{\addtocounter{resno}{1}{\bigskip\noindent\thesection。theresno\\sc定理\newenvironment{cor}{\addtocounter{resno}{1}{\bigskip\noindent\thesection。这里没有\\sc推论\新环境{dfn}{\addtocounter{resno}{1}{\bigskip\noindent\thesection。theresno\\sc定义\制造商\定义\节{\@startsection{section}{1}{\z@}{-3.5ex加-1ex减-.2ex}{2.3ex加.2ex}{\normalsize\bf}}\制造者\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo26.eps}\vskip 1cm｛\LARGE\bf计数集覆盖和分裂图｝\vskip 1.5厘米{大戈登·罗伊尔}\medskip\\计算机科学系\\西澳大利亚大学\\和\\组合数学与优化系\\滑铁卢大学\\\梅德斯基普电子邮件地址：\ href{mailto:gordon@cs.uwa.edu.au}{gordon@cs.uwa.edu.au}\vskip2.4厘米\bf{摘要}\结束{中心}{\em分裂图与子集集的最小覆盖之间的双射显示了。由于这种最小覆盖的枚举问题这意味着分割图也可以枚举。}\第{激励}节{\sl分割图}\/是带有和弦补码的和弦图。它很容易识别分割图，因此可以计算少量顶点上的分裂图的数量，如图所示在表~\ref{splitg}中。无论何时提供这样的表格理解它们包含成对的非同构数对象，而不是“标记”对象。表1中的数字构成序列\htmladdnormallink｛A48194｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=048194}在里面\引用{sloane94}，哪一个是在线的感兴趣的整数序列数据库（另请参阅{sloaneplouffe95}）。这个数据库的目的之一是允许研究人员遇到序列来确定它以前是否发生过，以及发生在什么上下文中，从而暴露可能未经探索的连接。$n$集合$n$的$k$封面是以下$k$子集的集合其工会为$N$的$N$。如果没有子集合，则$k$封面是最小的涵盖$N$。克拉克\cite{克拉克90}给出了$n$-集合的最小$k$-覆盖（此处再次说明数字是指成对非同构对象的数量）。使用此公式，Michael Somos（私人通信）计算$n$-集的最小覆盖总数并使用\cite{sloane94}观察到$n\leq 11$（当时已知序列的极限），此数字等于$n$个顶点上的分割图的数量。目前的论文通过证明这并非巧合结果如下：\开始{thm}$n$个顶点上的分裂图之间存在一一对应关系以及一组大小为$n$的最小覆盖。\结束{thm}\开始{表格}[h]\定心\开始{tabler}{cr}\氯化氢顶点和分割图\\\氯化氢1&1\\2&2\\3&4\\4&9\\5&21\\6&56\\\氯化氢7&164\\8&557\\9&2223\\10和10766\\11&64956\\12&501696\\\氯化氢\结束{表格}\标题{\标签{拆分}拆分少数顶点上的图\结束{表格}\节{背景}本文中，图是指没有多重的无向图边或循环。关于基本图论术语和背景，推荐使用Diestelcite{diestel97}和West\cite{west96}这两本书。｛\sl弦｝\/（或｛\sl三角化｝）如果图没有循环长度大于等于4的诱导子图。弦图形成一个一类重要的图，并且已经被广泛研究，特别是关于确定广泛的一般图的已知NP-hard问题。{\sl分割图}\/是带弦补的弦图；这个术语出现了因为图$X$是分割图当且仅当存在分区时$V（X）=I\cup C$，其中$I$是独立集，$C$是集团（请参见Foldes \&Hammer \引用{foldeshommer77}）。因此，$X$可以“拆分”为一个集团和一个独立的集合---asplit$V（X）=I\cup C$将被称为{\sl special}，如果$C$与$I$中的至少一个顶点相邻。每个分割图都有一个特殊的分割，因为如果$C$不与$I$的任何元素相邻，可以将其移动到$I$。一般来说，$n$集合的$k$封面可能包括子集的空集和多次出现。$k$-包含的$S_1$如果存在双射，$N_2$的$N_1$和$S_2$是同构的$\phi:N_1\mapsto N_2$，使$\phi（S_1）=S_2$。克拉克认为$k$-covers的几个枚举问题。他包括封面有序或无序、最小或不必最小，计数是通过总数或同构类的数量。然而，我们只需要使用最小覆盖的同构类的数目克拉克（Clarke）称之为“最小无序无标签封面”。图~\ref{cover}以类似的方式显示了9集的最小$4$-cover要绘制图形，它表示同构类，而不是有标签的封面。\开始{figure}\定心\开始{picture}（140100）（-10，-10）\放置（20,20）{椭圆形（60,60）}\放置（100,20）{\椭圆形（60,60）}\放入（60，60）｛\oval（60，60）｝\放置（100,80）{\椭圆形（60,20）}\put（00,40）{\圈*{5}}\put（40,40）{\圈*{5}}\put（40,80）{\圈*{5}}\put（80,40）{\圈*{5}}\put（40,0）{\圈*{5}}\put（80,0）{\圈*{5}}\put（120,20）{\圈*{5}}\put（80,80）{\圈*{5}}\put（120,80）{\圈*{5}}\结束{图片}\标题{\标签{封面}A最少$4$-覆盖$9$-集合}\结束{图形}给定cover$S=\{S_1，\ldots，S_k\}$，我们定义一个元素$a\在N$中表示{\sl忠诚}\/如果它只存在于子集$S_i$。如果$S$是最小覆盖，则每个子集$S_i$包含忠诚元素。\节{双射}在本节中，我们给出了上的分裂图之间的双射$n$个顶点和一组大小为$n$的最小覆盖。给定集合$N$的最小覆盖$S=\{S_1，\ldots，S_k\}$，形成一个图$X=X（S）$，顶点集$N$如下。设$I\子项V（X）$是通过从中（任意）选择一个忠实元素而获得的集合每个集合$S_i$。设$X$是其边集是的并集的图每个集合$S_i$上的一个团和$V（X）\反斜杠i$上的团。很容易验证子集$I$的不同选择不会更改$X$的同构类。图~\ref{split}显示源自图~\ref｛cover｝封面的图形。\开始{lem}如果$S$是最小覆盖，则上面定义的图$X=X（S）$为分割图。\结束{lem}\开始｛证明｝由于忠诚元素属于一个子集$S_i$，因此如下所示$I$是$X$的独立集合。根据定义$V（X）\反斜杠I$是团，因此$X$是分割图。\结束{Proof}\开始{figure}\定心\开始{picture}（140100）（-10，-10）\放置（40,0）{（0,1）{40}}\放置（40,0）{（-1,1）{40}}\放置（0,40）{（1,0）{40}}\放置（80,0）{（0,1）{40}}\放置（40,40）{（0,1）{40}}\放置（40,40）{（1,1）{40}}\放置（40,40）{（1,0）{40}}\放置（80,40）{（0,1）{40}}\放置（80,40）{（-1,1）{40}}\放置（80,80）{（-1,0）{40}}\放置（80,80）{（1,0）{40}}\放置（40,0）{（1,2）{40}}\放置（40,0）{（1,1）{40}}\放置（120,20）{（-2,1）{40}}\放置（120,20）{（-4,1）{80}}\放置（120,20）{（-2，-1）{40}}\放置（120,20）{（-4，-1）{80}}\放置（120,20）{（-2,3）{40}}\put（00,40）{\圈*{7}}\put（40,40）{\圈*{7}}\放入（40,80）｛\circle*｛7｝｝\put（80,40）{\圈*{7}}\put（40,0）{\圈*{7}}\put（80,0）{\圈*{7}}\put（120,20）{\圈*{7}}\放入（80，80）｛\circle*｛7｝｝\put（120,80）{\圈*{7}}%\放置（00,40）{\圈{5}}%\put（80,0）{\圈{5}}%\put（120,80）{\圈{5}}%\放入（40,80）｛\circle｛5｝｝\结束{图片}\标题{\标签{拆分}A分割图}\结束{图形}现在，给定一个分割图$X$，将$V（X）$的覆盖$S=S（X）$as跟随。设$\cal M$是$X$的最大团集。定义一个如果存在，则最大团$M\in\cal M$为{\sl基本}是v（X）$中仅位于$M$中的顶点$v\。然后拿$S$去是$X$的基本最大团集。\开始{lem}如果$X$是分割图，则上面定义的封面$S=S（X）$是最小覆盖范围。\结束{lem}\开始{Proof}设$V（X）=I\cup C$是$X$的特殊分割。$I$中的每个顶点都位于唯一的最大团中，包括它自己和它的邻居。这些最大集团中的每一个都至关重要，由于$C$中的每个顶点都位于其中一个团中，因此它们会形成一个封面$V（X）$。没有其他必要的最大派系集合可以省略，同时仍覆盖$I$中的顶点，并且因此，$S$是最低保险额。\结束{Proof}\开始{thm}$n$顶点上的分割图之间存在一一对应关系$n$-集合的最小覆盖数。\结束{thm}\开始{Proof}如果$X$是特殊拆分$V（X）=I\cup C$的拆分图，然后在封面$S（X）$中，$I$的顶点形成忠诚的集合$S（X）$中每个子集的一个元素。它如下$X=X（S（X））$，因此这两个映射将$X\maps映射到S（X$S\mapsto X（S）$是倒数。\结束｛证明｝\节{枚举}我们现在可以提供一个计算分裂图的公式$n$个顶点，使用克拉克公式。第一个步骤是获得同构数的表达式所有$k$-覆盖$n$-集的类（不一定是最小的）。这需要对$n$和$k$的所有分区进行双重求和。用${\cal P}_n$表示$n$的所有分区集。一个隔板{\cal P}_n$中的$\alpha由序列给出$[\alpha_1，\alpha_2，\ldots，\alfa_m]$个整数求和至$n$。如果$\alpha$是这样的分区，并且$\mu_i$是尺寸为$i$的零件数量，然后让$${n\choose\alpha}={n！\over\prod_i\mu_i！i^{\mu_i}}。$$Clarke\cite{clarke90}表明同构类的数量$n$-集合的$k$-覆盖由下式给出$$t（n，k）={1\over n！k！}\sum_{alpha\in{cal P}_n，\beta\in{cal P}_k}{n\choose\alpha}{k\choose\\beta}\prod_i\left（\left）（\prod_j 2^{（\alpha_i，\beta_j）}\right）-1\ right），$$和最小$k$-覆盖的同构类的数量$n$-设置为$$m（n，k）=t（n-k，k）。$$因此，如果$s（n）$是$n$顶点上的分割图的数量，$$s（n）=\sum{k=1}^n m（n，k）=\sum{k=1}^n t（n-k，k）。$$表~\ref{splitgbig}给出了$n\leq20$的$s（n）$值，如下所示用Maple计算。（请注意，克拉克引用{克拉克90}中给出的$t（n，k）$的值表$t（6,8）$、$t（7,7）$和$t（7.8）$的值稍有错误。）\开始｛表｝\定心\开始{tabler}{crcr}\氯化氢顶点和分割图&顶点和分割图形\\\氯化氢1&1&11&64956\\2&2&12&501696\\3、4、13和5067146\\4&9&14&67997750\\5&21&15&1224275498\\\氯化氢6&56&16&29733449510\\7&164&17&976520265678\\8号和557号和18号以及43425320764422\\9&2223&19&2616632636247976\\10&10766&20&213796933371366930\\\氯化氢\结束{表格}\标题{\标签{splitgbig}拆分最多20个顶点上的图}\结束{表格}{\bf确认}我想感谢迈克尔·索莫斯让我知道他的观察，尼尔·斯隆使之成为可能。这项研究部分得到了NSERC运营的资金支持授予。\开始{书目}{XX}\bibitem{clarke90}R.J.克拉克。用子集覆盖集合。{\sl离散数学.\bf 81}，（1990），147--152。\bibitem{diestel97}莱因哈德·迪斯特尔。{\sl图论}，数学研究生课文173，Springer-Verlag（1997年）。\bibitem{foldeshammer77}（双项{折叠锤77}）褶皱，圣埃芬；彼得·哈默。拆分图，{\sl国会数字，第XIX}号，（1977），311--315。\bibitem{sloaneplouffe95}新泽西州斯隆。；西蒙，普洛夫。{\sl整数序列百科全书}，学术出版社，1995年。\bibitem{sloane94}新泽西州斯隆。整数序列在线百科全书。电子版发布于\htmladdnormallink{http://www.research.att.com网站/$\sim$njas/sequences/}{http://www.research.att.com网站/~njas/sequences/}。\围兜{west96}韦斯特，道格拉斯B。｛\sl图论导论｝，普伦蒂斯·霍尔，1996年。\结束{书目}\vspace*{+.5in}\中心线{\规则{6.5in}{.01in}}\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\小（与顺序有关\htmladdnormal链接{A48194}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=048194}.)}\中心线{\规则{6.5in}{.01in}}\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2000年5月3日收到；发表于2000年6月6日的《整数序列杂志》。\中心线{\规则{6.5in}{.01in}}\vspace*{+.1in}\无音（noindent）返回\htmladdnormallink{整数序列日志主页}{http://www.research.att.com网站/~njas/sequences/JIS/}。\中心线{\规则{6.5in}{.01in}}\结束{文档}