\文档类[12pt]{文章}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\使用包{amssymb}\使用包{psfig，epsf}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\标记字母\定义\节{\@startsection{section}{1}{\z@}{-3.5ex加-1ex减-.2ex}{2.3ex加.2ex}{\normalsize\bf}}%在页眉中的节或小节编号后加一个句点\定义\@sect#1#2#3#4#5#6[#7]#8{\ifnum#2>\c@secnumdepth\定义\@svsec{}\else\refstepcounter{#1}\edef\@svsec{/cs将#1\endcsname命名为.hskip.75em}\fi\@tempskipa#5\放松\ifdim\@tempskipa>\z@\开始组#6\放松\@hangfrom{\hskip#3\relax\@svsec}{\interlinepension\@M#8\par}%（挂起）\末端组\csname#1mark\endcsname{#7}\addcontentsline{toc}{#1}{\ifnum#2>\c@secnumdepth\else\protect\numberline{\cs将#1\endcsname}\fi命名为#7} \其他\def\@svsechd{#6\hskip#3\@svsec#8\csname#1mark\endcsname{#7}\addcontentsline{toc}{#1}{\ifnum#2>\c@secnumdepth\else\protect\numberline{\cs将#1\endcsname}\fi命名为#7} ｝\fi\@截面{#5}}%在定理和类定理数字后加一个句号\def\@begintheorem#1#2{\it\trivlist\item[\hskip\labelsep{\bf#1\#2.}]}\制造者\新定理{定理}{定理{\开始｛文档｝\开始{居中}\epsfxsize=4英寸\离开模式\epsfile{logo110.eps}\vskip1cm{\LARGE\bf通过Hankel和}\\[+.05in]生成函数{\LARGE\bf Stieltjes矩阵}\\\vskip 1.5厘米Paul Peart和Wen Jin Woan\\数学系\\霍华德大学\\华盛顿特区20059\medskip\\电子邮件地址：\ href{mailto:pp@scs.howard.edu}{pp@scs.howard.edu}\vskip2cm{\bf摘要}\结束{中心}{\em当Hankel矩阵由序列$%形成时1、a_1、a_2…$具有$LDL^T$分解，我们提供了一个建设性的证明与$L$相关联的Stieltjes矩阵$S_L$是三对角的。在当$L$是使用普通或指数的Riordan矩阵时的重要情况生成函数时，我们确定$S_L$必须具有的特定形式，我们建设性地证明了序列和$S_L$的生成函数。如果使用时$L$是Riordan普通的生成函数，我们展示了如何导出递归关系用于序列。}\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）\textbf{Keywords.}Hankel矩阵，Stieltjes矩阵，普通生成函数，指数生成函数，Riordan矩阵，LDU分解，三对角矩阵。\medskip\\章节{引言}对于一大类重要组合序列中的每个序列，我们可以导出普通或指数的闭合形式表达式从相关的Hankel矩阵或Stieltjes开始的生成函数矩阵。在本文中，我们给出了生成函数、Hankel矩阵和Stieltjes矩阵提供了几个说明性的例子。在[3]中，完成了一些工作使用Hankel矩阵方法，但该方法的条件是否会起作用还没有确定，或者只是含蓄地猜测。目前本文使用Stieltjes矩阵对方法的分析和应用。我们的基本假设是序列生成的Hankel矩阵$LDU$因式分解，其中$L$是包含所有对角元素等于1，$U=L^T，$和$D$是一个对角矩阵所有对角线元素都不为零。序列$%生成的Hankel矩阵a_0，a_1，a_2，…$，由无限矩阵给出\[H=\左[\开始{数组}{cccccc}a0&a1&a2&a3&a4&.\\a1&a2&a3&a4&a5&.\\a2&a3&a4&a5&a6&.\\a3&a4&a5&a6&a7&.\\a4&a5&a6&a7&a8&.\\. & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]\；。\]在不损失通用性的情况下，我们取$a_0=1$。A必要且充分$H$进行$LDU$分解的条件是$H$为正明确。当$L$是Riordan矩阵（见第2节）时，使用普通或指数生成函数，我们的方法将找到一个闭合形式序列$1，a_1，a_2，a_3，…的生成函数表达式$在普通生成函数的情况下，我们可以使用[4]来寻找一个递归序列的关系。\medskip\\段落{示例1.}德拉诺编号：1,3,13,633211683美元$\\这是序列\htmladdnormal链接{A1850}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=001850}在[5]中。另见[1，第~81]页。我们将高斯消去应用于要获得的Hankel矩阵$H=\左[\开始{数组}{cccccc}1 & 3 & 13 & 63 & 321 & . \\ 3 & 13 & 63 & 321 & 1683 & . \\ 13 & 63 & 321 & 1683 & 8989 & . \\ 63 & 321 & 1683 & 8989 & 48639 & . \\ 321 & 1683 & 8989 & 48639 & 265729 & . \\ .&。&。&。&。&。&。\结束{数组}\右]=$\medskip\$\左[\开始{数组}{cccccc}1 & & & & & . \\ 3 & 1 & & & & . \\ 13 & 6 & 1 & & & . \\ 63 & 33 & 9 & 1 & & . \\ 321 & 180 & 62 & 12 & 1 & . \\ . & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]\左[\开始｛数组｝｛cccccc｝1 & & & & & . \\ & 4 & & & & . \\ & & 8 & & & . \\ & & & 16 & & . \\ & & & & 32 & . \\ . & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]\左[\开始{数组}{cccccc}1 & 3 & 13 & 63 & 321 & . \\ & 1 & 6 & 33 & 180 & . \\ & & 1 & 9 & 62 & . \\ & & & 1 & 12 & . \\ & & & & 1 & . \\ . & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]$\大跳过\与$L$相关联的Stieltjes矩阵$S_L$是矩阵$S_L=L^{-1}\overline{L}$，其中$\overline{L}美元是通过以下方式从$L$获得的删除第一行。（有关Stieltjes矩阵。）在示例1中，\[S_L=\左[\开始{数组}{cccccc}3 & 1 & & & & . \\ 4 & 3 & 1 & & & . \\ &2&3&1&&。\\& & 2 & 3 & 1 & . \\ & & & 2 & 3 & . \\ . & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]。\]根据其定义，$S_L$给出了$L.$的形成规则。具体来说，它给出了从上一个$L$中获取$n^{th}$行的规则行。在这个例子中，我们有$n\geq 1$%\[l{n0}=3l{n-1,0}+4l{n-1.1}\]\[l{nk}=l{n-1，k-1}+3l{n-l，k}+2l{n-1，k+1}四元，四元k\geq1，。\]将$L$最左边的列定义为第零列是很方便的列，第一行为第零行。我们说第零列$L$具有$\{3,4\}$形成规则，$k^{th}$列$%k\geq1，$有一个$\{1,3,2\}$形成规则。请注意，第0列$L$的包含Delannoy数，$S_L$是三对角的。在第2节中，我们证明了只要$H=LDU$，那么$S_L$就是三对角的。从第2节的定理2中，我们可以看到Delannoy数具有封闭形式由以下公式给出的普通生成函数\[g（x）=压裂1{1-3x-4xf}=压裂1{sqrt{1-6x+x^2}}~，\]哪里\[f（x）=x（1+3f+2f^2）=\压裂{1-3x-\sqrt{1-6x+x^2}}{4x}~。\]由于$S_L$是三对角的，而$L$是Riordan矩阵，因此我们可以使用[4]来获得Delannoy数的递归\开始{eqnarray*}nan=&3（4n-3）a_{n-1}-19（2n-3）a_{n-2}+3（4n-9）a_{n-3}-（n-3）a{n-4}\\\mbox{表示}~n&\geq&4，~\mbox{with}~a0=1，a1=3，a2=13，a3=63\，。\结束{eqnarray*}\段落{示例2.}电话号码：$1,1,2,5,15,52203877414021147，…$\\%这个序列说明了指数生成函数的情况。它是序列\htmladdnormal链接{A110}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=0000110}在[5]中。此处\\$L=\left[\开始{数组}{cccccc}1 & & & & & . \\ 1 & 1 & & & & . \\ 2 & 3 & 1 & & & . \\ 5 & 10 & 6 & 1 & & . \\ 15 & 37 & 31 & 10 & 1 & . \\ . & . & . & . & . & .\结束{数组}\right]$和$S_L=\左[\开始｛数组｝｛cccccc｝1 & 1 & & & & . \\ 1 & 2 & 1 & & & . \\ & 2 & 3 & 1 & & . \\ & & 3 & 4 & 1 & . \\ & & & 4 & 5 & . \\ . & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]$\\根据第2节的定理3，$S_L$的形式表明贝尔数的指数生成函数$g（x）$由下式给出\[\ln（g）=int（1+f）dx，quad g（0）=1，\]哪里\[f^{\prime}（x）=1+f（x），\quad f（0）=0。\]所以我们得到\[f（x）=e^x-1\quad\mbox{和}\quad g（x）=e^{e^x-1}。\]我们发现该方法适用于许多其他重要的组合序列。这些包括\开始{itemize}\项目加泰罗尼亚数字：$1,1,2,5,14,42132429，\ldots$（顺序\htmladdnormallink｛A108｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000108})\项目缩短的加泰罗尼亚序列：1、2、5、14、42、132、429、美元$\项目散布着加泰罗尼亚数字零：$1,0,1,0,2,0,5,0,14,0,42，\ldot$\项目中心二项式系数：1,2,6,20,70252美元，9243432美元$（\htmladdnormallink{A984}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000984})\项目中心三项式系数：$1,1,3,7,191141美元$（\htmladdnormallink{A2426}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=002426}),\项目Schr\“{o} 命令的号码：1、2、6、22、90、394、1806美元$（\htmladdnormallink{A6318}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=006318})\项目Schr\“{o} 命令的第二个问题：1,1,3,11,451979034279美元$（\htmladdnormallink{A1003}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=001003})\项目γ数或Motzkin总额：1,0,1,3,6,15,36,91232美元$（\htmladdnormallink{A5043}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=005043})\项目精细数字：1,0,1,2,6,18,57186622美元$（\htmladdnormallink{A957}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000957})\项目指导动物：$1,2,5,13,35,962677502123，\ldot$（\htmladdnormallink{A5773}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=005773})\项目电话号码或自反转排列：1,1,2,4,10,26,76232764美元$（\htmladdnormallink｛A85｝）{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000085})\项目错位数：$1,0,1,2,9,44265185414833，\ldots$（\htmladdnormallink{A166}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000166}).\结束{itemize}在第2节中，我们证明了每当$H=LDU$时，$S_L$总是三对角，我们给出了$S_L$的具体形式。其中的定理2节指示$S_L$必须具有的特定表单，$L$才能成为具有普通生成函数的Riordan矩阵。定理3表明$S_L$必须具有的特定形式，$L$才能成为指数Riordan生成函数。在第3节中，我们给出了一些进一步的示例。\梅德斯基普\第{节定义和定理}\段落{定义}\\textbf{Hankel矩阵}\textit{$%H=（H_{nk}）_{n，k\geq0}$由序列$1，a_1，a_2，a_3，…$生成是由提供\[h{00}=1，\quadh{nk}=a{n+k}\quad\mbox{表示}\quadn\geq0，\quadk\geq0。\]\段落{定义}设$L=（L_｛nk｝）_｛n，k\geq 0｝$为较低值对于所有$i\geq0$，$l{i}=1$的三角形矩阵。\textbf{Stieltjes与$L$关联的矩阵}$S_L$由$S_L=L^{-1}\上一行{L}$给出，其中$\上划线{L}$是通过删除$L的第一行从$L$获得的$也就是说，$\上一行{L%的$n^{th}$行和$k^{th{$列中的元素}$由\[\上划线{l}_{nk}=l{n+1，k}\，。\]\段落{备注}我们注意到$S_L$是唯一的，因此\[S_L=S_{\widetilde{L}}\Leftrightarrow L=\ widetilde{L}\，。\]\段落{备注}如果$S_L=（S_{ik}）_{i，k\geq0}$，则\[l{nk}=\sum\limits_{i\geqo}s_{ik}我_{n-1，i}\quad\mbox{表示}\quadn\geq1\，。\]也就是说，从$S_L$中，我们获得了一个计算$L的$n^｛th｝$行的规则$从$（n-1）^{th}$行。\\\梅德斯基普\段落{备注}$S_L$为三对角当且仅当存在序列$\{lambdak\}{k\geq0}$和$\{mu_k\}_{k\geq0}$这样\[l{n0}=\lambda_0l{n-1,0}+\mu_0l{n1,1}\quad\mbox{代表}\quadn\geq1，\]\[l{nk}=l{n-1，k-1}+\lambda_kl{n-l，k}+\mu_kl}n-1，k+1}\quad\mbox{for}\quadk\geq1\quad\mbox{和}\quad n\geq 1，\]和\[s_{00}=\lambda_0，\quad s_{10}=\mu_0\；，\quad\box｛and ~ for｝\ quad k\geq1\;,\;s_{kk}=\lambda_k\；，\；s{k+1，k}=\mu_k\，。\]\段落{定义}A\textbf{具有普通生成的Riordan矩阵函数是一个下三角矩阵，其生成函数对于$k^{th}$列，$k\geq0$由$g（x）[f（x）]^k$给出，其中\[g（x）=1+g1x+g2x^2+\cdots\quad\mbox{和}\ quad f（x）=x+f_2x^2+f_3x^3+\cdots\]\段落{定义}具有指数生成的Riordan矩阵函数是一个下三角矩阵，其生成函数对于$k^{th}$列，$k\geq0，$由$\frac1{k！}g（x）[f（x）]^k$给出，哪里\[g（x）=1+g1x+g2\frac{x^2}{2！}+g3\frac{x^3}{3！}+cdots\quad\mbox{和}\ quad f（x）=x+f2%\压裂{x^2}{2！}+f3\frac{x^3}{3！}+\cdots~。\]有关Riordan矩阵的详细描述，请参见[2]。在[6]中Woodson探索了其他类型的Riordan矩阵。\bigskip\\\\bigskip%\开始{定理}\标签{th1}设$H=（H_{nk}）_{n，k\geq0}$是Hankel矩阵由序列$1、a_1、a_2、a_3…$生成假设$H=LDU$，其中\[L=（L_{nk}）_{n，k\geq0}=\左[\开始{数组}{cccccc}1 & & & & & . \\ l｛10｝1&&&&。\\l{20}&l{21}&1&&.\\l{30}&l{31}&l}32}&1&&。\\l{40}和l{41}和r{42}和c{43}和1&.\\. & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]，\]\[D=\左[\开始{数组}{cccccc}d_0&&&&&。\\&d_1&&&。\\&&d_2&&&。\\&&&d_3&&.\\&&&&d_4&.\\. & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]\quad\quad d_i\neq 0\quad for \；全部\；i、 \quad\quad U=L^T\，。\]那就是，\[h{nk}=\sum\limits_{i=0}^kd_il_{ki}我_{ni}\，。\]则Stieltjes矩阵$S_L$是具有以下形式的三对角矩阵\[S_L=\左[\开始{数组}{cccccc}\λ_0&1&&&。\\\μ_0&\lambda _1&1&&.\\&\mu _1和\lambda _2和1&&。\\&&\mu 2&\lambda 3&1&.\\&&&\mu 3&\lambda 4&.\\. & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]\，，\]哪里\[\λ_0=a_1\；，\四元\mu_0=d_1；，\四\lambda_k=l{k+1，k}-l{k，k-1}；，\四元\mu_k=\分形{d{k+1}}{dk}\；，\四线组k\geq 1，。\]\结束{定理}\段落{Proof.}我们将证明\[l{n0}=a1l{n-1,0}+d1l{n1,1}\]和\[l{nk}=l{n-1，k-1}+\lambdakl{n-l，k}+\mukl{n-1，k+1}\四元用于\；全部\；k\geq 1。\]我们在$k.$上使用归纳法。根据Hankel矩阵的定义，\[h{nk}=h{n-1，k+1}\quad\mbox{forall}\quadk\geq0\quad_mbox{and}\quadn\geq1\]\[h_{n0}=h_{n-1,1}\左右箭头d_0l{n0}=d_0l_{n-1,0}升_{10} +d_1升_{n-1,1}升_{11} \左右箭头l{n0}=a1l{n-1,0}+d1l{n1,1}\；。\]\[h_{n1}=h_{n-1,2}\左右箭头d_0升_{10} 我_{n0}+d1l_{11} 我_{n1}=d_0l_{20} 我_{n-1,0}+d1l_{21}升_{n-1,1}+d2l_{22}升_{n-1,2}\]\开始{eqnarray*}&\左向右箭头&d1l{n1}=l_{20} 我_{n-1,0}-l_{10} 我_{n0}+d1l_{21}升_{n-1,1}+d2l{n-1,2}\\&\左向右箭头&d1l{n1}=d1l_{n-1,0}+d1（l_｛21｝-升_{10} ）l{n-1,1}+d2l{n-1.2}\\\四边形&\左右箭头&l_{n1}=l_{n-1,0}+\lambda_1l_{n-1,1}+\mu_1l_}n-1,2}\结束{eqnarray*}现在假设\[l{ni}=l{n-1，i-1}+\lambda_il{n-1i \leq k-1，。\]然后\开始{eqnarray*}h_{nk}&=&h_{n-1，k+1}\左箭头\总和\limits_{i=0}^kd_il_｛ki｝l_{ni}=\sum%\极限{i=0}^{k+1}dil{k+1，i}l{n-1，i}\\&\左向右箭头&\总和\limits_{i=0}^{k-1}dil_{ki}我_{ni}（镍）-\总和%\极限{i=0}^{k-1}dil_{k+1，i}l_{n-1，i}+d_kl_{nk}=d_kl_{k+1，k}l_{n-1，k}+d_{k+1}l_{n-1，k+1}\\&\左向右箭头&d_0升_{k0}l_{n0}+\sum\limits_{i=1}^{k-1}dil_{ki}我_{ni}（镍）-\左[d0l{k+1,0}l{n-1,0}+\sum\limits{i=1}^{k-1}dil_{k+1，i}l{n-1，i}\右]+dkl{nk}\\&=&dkl{k+1，k}l{n-1，k}+d{k+1}l{n-1，k+1}\\&\左箭头和d_0l_{k0}\左[a_1l_{n-1,0}+d_1l_{n-1,1}\右]+\总和\limits_{i=1}^{k-1}dil_｛ki｝l_{ni}（镍）\\&&-\左[d0（a11l{k0}+d1l{k1}）l{n-1,0}+\总和%\极限{i=1}^{k-1}dil_{k+1，i}l{n-1，i}\right]+dkl{nk}\\&=&dkl{k+1，k}l{n-1，k}+d{k+1}l{n-1，k+1}\\&\左向右箭头&d_1升_｛k0｝l_{n-1,1}+\sum\limits_{i=1}^{k-1}dil_{ki}我_{ni}（镍）-\左[d_1升_{k1}l_{n-1,0}+\sum\limits_{i=1}^{k-1}dil_{k+1，i}l{n-1，i}\右]+d_kl_｛nk｝\\&=&dkl{k+1，k}l{n-1，k}+d{k+1}l{n-1，k+1}\\\，&\左右箭头&d_1升_{k0}l_{n-1,1}+\sum\limits_{i=1}^{k-1}dil_{ki}\左[l{n-1，i-1}+\lambda_il{n-1、i}+\frac{d{i+1}}{di}l_{n-1，i+1}\右]\结束{eqnarray*}\开始{eqnarray*}&&-\左[d_1l_{k1}l_{n-1,0}+\sum\limits_{i=1}^{k-1}dil_｛n-1，i｝\左[l{k，i-1}+\lambda_il{ki}+\frac{d{i+1}}{di}l_{k，i+1}\右]\右]+dkl{nk}\\&=&dkl{k+1，k}l{n-1，k}+d{k+1}l{n-1，k+1}\\&\左向右箭头&d_1升_{k0}l_{n-1,1}+\sum\limits_{i=1}^｛k-1｝d_il_{ki}我_{n-1，i-1}+\总和%\极限{i=1}^{k-1}天_{i+1}l_{ki}我_{n-1，i+1}\\&&-\左[d_1升_{k1}l_｛n-1,0｝+\sum\limits_｛i=1｝^{k-1}dil_{k，i-1}l_{n-1，i}+\总和%\极限{i=1}^{k-1}天_{i+1}l{k，i+1}l{n-1，i}\右]+dkl{nk}\\&=&dkl{k+1，k}l{n-1，k}+d{k+1}l{n-1，k+1}\\&\左向右箭头和\四元\，d_1\left[我_{k0}l_{n-1,1}+l_{k1}l_{n-1,0}-l_{k1}l_{n-1,0}-l_{k0}l_{n-1,1}\右]\\&&+d_2\左[我_{k2}l_{n-1,1}+l_{k1}l_{n-1,2}-l_{k1}l_{n-1,2}-l_{k2}l_{n-1,1}\右]\\&&+d_3\左[我_｛k3｝l_{n-1,2}+l_{k2}l_{n-1,3}-l_{k2}l_{n-1,3}-l_{k3}l_{n-1,2}\右]\\&&...... \\&&...... \\&&+d_{k-1}\左[我_｛k，k-1｝l_{n-1，k-2}+l_{k，k-2}l_{n-1，k-1}-l_{k，k-2}l_{n-1，k-1}-l_{k，k-1}l{n-1，k-2}\右]\\&&+d_k\左[l_{k，k-1}l_{n-1，k}-l_{kk}l_{n-1，k-1}\右]+dkl{nk}\\&=&dkl{k+1，k}l{n-1，k}+d{k+1}l{n-1，k+1}\\&&\结束{eqnarray*}\开始{eqnarray*}&\左向右箭头和d_kl_{nk}=d_kl_{n-1，k-1}+d_k\左[l｛k+1，k｝-l｛k，k-1｝\右]l｛n-1，k｝+d｛k+1｝l｛n-1，k+1｝\\&\左向右箭头&l_{nk}=l_{n-1，k-1}+\lambda_kl_{n_1，k}+\mu_kl{n-1，k+1}\结束{eqnarray*}对于所有$i\geq 1，当$S_L$具有$\lambda_i=\lambda$和$\mu_i=\ mu$时$我们可以得到序列$1，a_1，a_2，…的一个普通生成函数，。。。$\medskip\\开始{定理}\标签{th2}假设$H$是序列$%生成的Hankel矩阵1，a_1，a_2，…$，设$H=LDL^T$。则$S_L$具有以下形式\[S_L=\左[\开始{数组}{cccccc}a_1&1&&&。\\d_1&\lambda&1&&.\\&\mu&\lambda&1&&.\\&&\mu&\lambda&1&.\\&&&\mu&\lambda&.\\. & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]\，，\]当且仅当序列$%的普通生成函数$g（x）$1，a_1，a_2，…$由提供\[g（x）=压裂1{1-a_1x-d1xf}，，\]哪里\[f=x（1+\lambda f+\mu f^2）\；，\四元数f（0）=0。\]\结束{定理}\段落{Proof.}我们注意到$\mu\neq 0$和\[f=\frac{1-\lambdax-\sqrt{（1-\lampdax）^2-4\mux}}{2\mux}\，。\]考虑下三角矩阵$\widetilde{L}$，这样$k^{th}$列的生成函数是$g（x）[f（x）]^k，\quad k\geq 0.$\开始{eqnarray*}g（x）&=&\压裂1{1-a_1x-d_1xf}\左右箭头g（x\\&\左向右箭头和\widetilde{l}_{00}=1\quad\mbox{和}\quad\\left[x^n\right]g=a_1\左[x^n\右]xg+d_1\左[x*n\右]xgf\\&\左向右箭头和\widetilde{l}_{00}=1\quad\mbox{和}\quad_widetilde{l}_｛n0｝=a_1%\widetilde公司{l}_{n-1,0}+d1\widetilde{l}_{n-1,1}\quad代表\quad n \geq 1。\结束{eqnarray*}此外，对于$k\geq 1$，\开始{eqnarray*}f&=&x（1+\lambda f+\mu f^2）\Leftrightarrow gf^k=xgf^{k-1}+\lampda xgf^k+\muxgf^{k+1}\\&\左向右箭头和左[x^n\right]gf^k=\left[x^n\right]xgf^{k-1}+\lambda\left[x^n\right]xgf^k+\mu \left[x^n\right]xgf^｛k+1｝左[x^n\right]xgf^｛k+1｝\\&\左向右箭头和\widetilde{l}_{nk}=\widetilde{l}_{n-1，k-1}+\λ\widetilde公司{l}_{n-1，k}+\mu\widetilde{l}_{n-1，k+1}\，。\结束{eqnarray*}因此，$S_L$具有给定的形式当且仅当$S_L=S_{\widetilde{L}%}\左向右箭头L=\widetilde{L}$现在我们转向指数生成函数的情况。我们得到了一个序列$1，a_1，a_2，…$的指数生成函数当序列$\{\lambda_i\}{i\geq0}$和$\{\frac{\mu_i}{i+1}{i\ geq0}$是算术序列。\medskip\\开始{定理}\标签{th3}假设$H$是序列$%生成的Hankel矩阵1，a_1，a_2，…$，设$H=LDL^T.$，则$S_L$具有定理中给出的形式1.如果$\{\lambda_i\}_{i\geq0}$是一个常见的算术序列差异$\lambda$和$\{frac{\mui}{i+1}{i\geq0}$一种算术具有公共差$\mu$的序列，则指数生成序列$1、a_1、a_2…$的函数$g（x）$由提供\[\ln（g）=int（a_1+d_1f）dx；，\四格\四格g（0）=1，\]其中$f$由\[f^{\prime}=1+\lambda f+\mu f^2；，\四元\四元f（0）=0\，。\]\结束{定理}\段落{Proof.}考虑带有$\frac的下三角矩阵$\widehat{L}$1{k！}g（x）[f（x）]^k$表示$k^{th}的指数生成函数$列，$k\geq0.$我们注意到$\widehat{L}$是一个Riordan矩阵指数生成函数。\开始{eqnarray*}\ln（g）&=&\int（a_1+d_1f）dx\右箭头g^{\prime}=a_1g+d_1 fg\右箭头\left[\frac｛x^n｝｛n！｝\right]g^｛\prime｝=a_1\left[\frac｛x^n｝｛n！｝\right]g+d1\left[\frac{x^n}{n！}\right]fg\\&\右箭头和\宽箭头{l}_{n+1,0}=a1\widehat{l}_{n0}+d1\widehat{l}%_{n1}\右箭头\widehat{l}_{n0}=\lambda 0\widehat{l}_{n-1,0}+\mu_0%\宽海特{l}_{n-1,1}\结束{eqnarray*}对于$k\geq 1$，\开始{eqnarray*}\左（\frac{gf^k}{k！}\right）^{prime}&=&\frac{g^{prime}f^k}}{k？}+\frac{%玻璃纤维^{k-1}f^{\素数}}{（k-1）！}=\分数{a1gf^k}{k！}+\分数{d1gf^{k+1}}{kgf^{k-1}+\lambda gf^k+\mu gf^{k+1}}{（k-1）！}\\&=&（a1+\lambdak）\压裂{gf^k}{k！}+（d1+\muk）\裂缝{gf^{k+1}}{k？}+\frac{%gf^{k-1}}{（k-1）！}\\&=&\压裂{gf^{k-1}}{（k-1）！}+\lambda_k\frac{gf^k}{k！}+\压裂{mu_k}{k+1}\压裂{%gf^{k+1}}{k！}\，。\结束{eqnarray*}因此\开始{eqnarray*}\左[\frac{x^n}{n！}\right]\左（\frac{gf^k}{k！}\right）^{prime}&=&\左[\压裂{x^n}{n！}\right]\左（\压裂{gf^{k-1}}{（k-1）！}+\lambda_k%\压裂{gf^k}{k！}+\muk\frac{gf^{k+1}}{（k+1）！}\right）\\\&&\结束{eqnarray*}那就是，\[\宽边帽{l}_{n+1，k}=\widehat{l}_{n，k-1}+\lambda _k\widehat{l}_{nk}+\mu_k%\宽海特{l}_{n，k+1}\，，\]\[\宽海特{l}_{nk}=\widehat{l}_{n-1，k-1}+\lambda _k\widehat{l}_{n-1，k}+\mu_k%\宽边帽{l}_{n-1，k+1}\，。\]因此，$S_L$具有给定的形式当且仅当$L=\widehat{L}.$\四线组\medskip\\第{节更多示例}\段落{示例3.}减额：1,0,1,2,9,44265185414833美元$\\这是序列\htmladdnormal链接{A166}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000166}在[5]中。$H=LDL^T$和\[S_L=\左[\开始{数组}{cccccc}0 & 1 & & & & . \\ 1 & 2 & 1 & & & . \\ & 4 & 4 & 1 & & . \\ & & 9 & 6 & 1 & . \\ & & & 16 & 8 & . \\ . & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]\，。\]这是$\lambda_k=2k$和$\mu_k=（k+1）^2的指数情况$因此$\lambda=2$和$\mu=1.$So$f^{\prime}=1+2f+f^2$与$%f（0）=0.$这就得到了$f=\fracx{1-x}$和$\ln（g）=\intfdx$，$g（0）=1.$So\[g（x）=\压裂{e^{-x}}{1-x}\，。\]\段落{示例4.}这里我们从Stieltjes矩阵开始，它的形式在定理3中。相关序列为1,3,10,3918711288455。。。（顺序\htmladdnormal链接{A54912}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054912}（见[5]）。\[S_L=\左[\开始{数组}{cccccc}3 & 1 & & & & . \\ 1&6&1&&&。\\& 6 & 9 & 1 & & . \\ & & 15 & 12 & 1 & . \\ & & & 28 & 15 & . \\ . & . & . & . & . & .\结束{数组}\右]\，。\]这里$S_L$具有定理3中的形式，$\lambda=3$和$\mu=2$因此$L$最左边的列由$\ln（g）=\int（3+f）dx给出，\quad g（0）=1$其中$f^{\prime}=1+3f+2f^2，\quad f（0）=0$我们得到$f=\frac{e^x-1}{2-e^x}$和\[g（x）=\sqrt｛\frac｛e^｛5x｝｝｛2-e^ x｝｝＝1+3x+10\frac｛x^ 2｝｛2！｝+39\frac｛x^ 3｝｛3！｝+187%\压裂{x^4}{4！}+1128\frac{x^5}{5！}+8455\frac}x^6}{6！}+O（x^7）\]我们还可以使用定理1来构造$L$和$D.$请记住$D_{i+1}=\mu_id_i，$和$d_0=1.$\bigskip\\第*{确认}节我们感谢霍华德大学组合数学小组的其他成员（塞尤姆·盖图（Seyoum Getu）、路易斯·夏皮罗（Louis Shapiro）、利昂·伍德森（Leon Woodson）和阿萨莫亚·恩昆塔（Asamoah Nkwanta）感谢他们的有益建议和鼓励。\第*{节参考}\开始{description}\第1项。L.Comtet公司。{\em高级组合数学}。D.雷德尔出版公司，1974年。\第2项。S.Getu、L.W.Shapiro、W.-J.Woan和L.C.Woodson。这个Riordan集团。｛\em离散应用数学｝，{\bf 34}（1991），229-239。\第3项。S.Getu、L.W.Shapiro、W.-J.Woan和L.C.Woodson。怎么猜测生成函数。{\em SIAM离散数学杂志}，{\bf 5}（1992），497-499。\第4项。P.Peart和L.C.Woodson。一些的三因子分解Riordan矩阵。{\em斐波纳契季度}，{\bf 31}(1993), 121-128.\第5项。N.J.A.斯隆。整数序列在线百科全书。电子发布于\htmladdnormallink{http://www.research.att.com/美元\sim$njas/sequences/}{http://www.research.att.com/~njas/sequences/}。\第6项。L.C.伍德森。{\em无限矩阵、$C_n$-函数和代数微积分}。博士论文。霍华德大学，1991年。\结束{description}\vspace*{+.5in}\中心线{\规则{5.4in}{.01in}}\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）{\小（与序列有关\htmladdnormal链接{A108}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000108},\htmladdnormal链接{A166}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000166},\htmladdnormal链接{A957}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000957},\htmladdnormal链接{A984}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000984},\htmladdnormallink｛A1003｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=001003},\htmladdnormal链接{A1850}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=001850},\htmladdnormal链接{A2426}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=002426},\htmladdnormal链接{A5773}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=005773},\htmladdnormal链接{A6318}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=006318},\htmladdnormallink｛A54912｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054912}.)}\中心线{\规则{5.4in}{.01in}}\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）收到日期：1999年5月15日；发表于2000年6月4日的《整数序列杂志》。\中心线{\规则{5.4in}{.01in}}\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）返回\htmladdnormallink{整数序列日志主页}{http://www.research.att.com/~njas/sequences/JIS/}。\中心线{\规则{5.4in}{.01in}}\结束{文档}