\文档类{article}\usepackage〔colorlinks＝true〕｛hyperref｝\使用包{amsthm，amssymb}\使用包{psfig，epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\设置长度{\textheight}{8.9in}%%\boldmath%---try3！&\mathit或\mathrm[或/和-TtH中的-i]\新命令{\bm}[1]{\mbox{\boldmath{$1$}}}\邋遢的\新命令{\bsq}{\vrule height.9ex width.8ex depth-.1ex}%\标记字母%\定义\节{\@startsection{section}{1}{\z@}{-3.5ex加-1ex减%-.2ex}{2.3ex+.2ex}}{\normalsize\bf}}%\制造者\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo22.eps}\vskip 1cm{\LARGE\bf一些容易导出的整数序列}\vskip 1.5厘米{large Valery A.Liskovets}\\medskip美国国家科学院数学研究所，Surganov街11号\\白俄罗斯明斯克220072\\\梅德斯基普电子邮件地址：\ href{mailto:liskov@im.bas-net.by}{liskov@im.bas-net.by}\vskip2.5厘米\bf{摘要}\结束{中心}{\em我们提出并讨论了几种简单的获取方法现有枚举序列中的新枚举序列。例如，考虑到对合函数作用的图的数目转换可以表示为这样的图的总数和图的数量对合不变。另一个不太常见的想法是关于偶数和奇边图：他们的数字之间的差异往往被证明是非常大的简单数量（例如$n！$）。30多个新序列将通过这些方法构建。}\vspace*{+.1in}\无音（noindent）这项研究是由INTAS支持（授予INTAS-BELARUS 97-0093）。}\《数学学科分类》（1991）：{\rm 05C30，05A19}}\目录\章节{引言}\标签{B}新的现实提出了新的任务。{\em在线百科全书整数序列}~\cite{Slo99}的{\it-OEIS}）是一个快速发展的设施在数学研究中扮演着越来越重要的角色。成为一名综合参考源需要包含尽可能多的自然定义序列。众多爱好者的努力%%（专业人士和业余人士）和研究人员旨在促进这一目标。目前的工作也是出于同样的动机目标。一个富有成效的想法是从已知序列中生成新序列。为了实现它，各种有用的序列变换有被提议---参见{BeS95，Cam89，Hel97，Tra98}。在迄今为止讨论的大多数情况下，这些操作将一个序列转换为另一个序列。这里我们考虑一些其他操作类似类型但不太通用，生成新的枚举序列对于{\ittwo}中的图%%（或更多）其他序列（在大多数情况下，作为它们的半和）。被计数对象之间的对应关系非常简单，而且通常已经知道了。然而，他们已经从未被系统地分析过（这可以是部分的简单明了就可以解释：严肃的研究人员很少认为它们值得独立表述）。我们会的看，我们的操作确实产生了新的、有趣的序列。在某种意义上，它们可能被视为已经隐含在OEIS中。%%因为每个感兴趣的人都可以很容易地从相应的项目中提取它们。然而，它们不能通过正式规则提取，因此需要在OEIS{\it显式}中显示。同时，我们应该避免琐碎的序列，而不是全部新的序列应该被添加到OEIS中。我们会回来的第~\ref{F}节中的这个问题。\子部分{图的定义、类}\标号{G}在下文中，$n$表示图的{\it顺序}，即节点（或顶点）的数量。为了统一起见，我们总是从案例开始$n=1$，通常$n$取所有自然值。换句话说，我们处理表单的序列（或列表）$[a、（1）、a、（2）、a，（3）、\点]$\$N$表示边的数量（在有向图中通常称为边{\it-arcs}），如果有$n$个节点和$n$个边，我们有时会说到$（n，n）$图。$\Phi$表示任意类的图，无向或有向。图形可以有循环，但不能有多条边（平面贴图除外）。要考虑的最重要的特定类别将由以下希腊大写字母，有时带有象征性下标：\开始{itemize}\item$\Gamma$\四（简单）无向图\item$\Gamma_\mathrm{l}$\带循环的四元（无向）图，即。对称自反关系%%\item$\Gamma_\mathrm{b}$\四部二部图（未指定%%零件及其尺寸），\item$\Gamma_\mathrm{e}$\四偶（即欧拉）图%%3\Xi\项目$\Gamma_\mathrm{m}$\四元中值图，即。具有$n=\lceil n（n-1）/4\rceil$边的$（n，n）$-图%%具有中等数量的齐次边\item$\Gamma_\mathrm{r}$\未指定度的四元正则图\项$\Gamma_\mathrm{t}$\quad（顶点）传递图\项目$\Gamma_\mathrm{c}$\四循环图（即Cayley图循环群）\项目$\增量$\四位数字\项$\Delta_\mathrm｛l｝$\quad（二进制）关系，即有向图带循环\item$\Delta_\mathrm{e}$\四平衡有向图（即欧拉有向图：入度数=任何顶点的出度数）\项$\Delta_\mathrm{c}$\四循环有向图\item$\Omega{}$\四元定向图，即反对称关系\项目$\Theta_｛｝$\quad锦标赛，即完全定向图%4\项目$\Lambda{}$\四平面图（顺序=\#（边））。%1\结束{itemize}\子段{枚举函数\标签{N}}小写字母将用于基数标记图的子集和相应的大写字母将用于相同类型的未标记图形。最重要的特定需提及的数量如下：\开始{itemize}\类$\Phi中的项$a，a\，=$\，\#（所有图形）$\项$c，c\，=$\，\#（连通图）\项目$d，d\，=$\，\#（断开连接的图形）\项$b，b\，=$\，\#（双连通图）（图及其补图都是连通的）\项$s，s\，=$\，\#（强连通有向图或强有向图）\项$G\，\，=$\，\#（无标号自补无向图）\项$K\，\，=$\，\#（到互补为止的未标记图）\项$f_\mathrm{E}，f_\mathr{E}\，=$\，\#（带偶数的图边数（或弧数）和\项$f_\mathrm{O}，f_\mathr{O}\，=$\，\#（奇数图边数（或弧数），其中$f=a，c，\点，f=a，c，\点$\结束{itemize}我们表示$n$-图和$（n，n）$-图的相应函数通过${f\，（\Phi，n）}，\，{f\，（\ Phi，n）}$和${f\，（\Phi，n，n）}，\，{f\，（\ Phi，n，n）{$（或仅$f、（n）、\f、（n、n）$等，如果类被理解），其中$f$和$f$指的是标签和未标记图相应的指数生成函数（例如f.）标记图和未标记图的普通生成函数表示为$\mathbf f\，（z）$，$\mathbf f\$\mathbf F\，（z）$，$\mathbf F\形式变量$z$对应于$n$和$x$对应于$N$。特别是在标记的情况下，$${\mathbf\，（z，x）\，=\，\sum_{n\geq1}\mathbf \，（n，x）\frac{z^n}{n！}}\=\，\sum_n\sum_Nf\，（n，n）x^n\frac{z^n}{n！}$$%（以免混淆$\mathbf f\，（n，x）$$\mathbf f\，（z，x）|{z=n}$，此处不使用后一个表达式）。我们用以下序列标识任何函数$f \，（n）$其值$[f\，（1），f\，（2），f\，（3），\dots]$。引用{Slo99}中的序列将由它们的$A$-编号引用。（其中许多序列是根据本文添加的。）\节{减法}\标签{D}我们从最普通的情况开始：计算不属于集合的给定子集的对象。原则上，这是一个取之不尽用之不竭的新序列来源，但我们局限于几个有趣的课程，其中一些将用于以下内容。%%巨大的\子节{Disconnection}\label{Dc}考虑任意类图$\Phi$的。使用上述符号，我们有不连续标记图，%$$d\，（\Phi，n）\，=\，a \，（\ Phi，n）\，-\，c \，（\Phi，n）\eqno（1）$$%对于断开连接的未标记图，%$$D\，（\Phi，n）\，=\，A\，（\ Phi，n）\，-\，C\，（\fhi，n）\eqno（1*）$$%通常情况下$c\，（n）$可以用$a\，（n）$和$C\，（n）$表示$A\，（n）$，反之亦然方式取决于标签类型和重复限制。例如，请参见未标记图形的EULERi/EULER/WIGH转换和LOG/EXP用于标记的~\cite{BeS95，Tra98}。因此$d\，（n）$（和$D\，（n）$）通常可以单独用$a\，（n）表示${\it或}$c\，（n）$（分别用$A\，（n）$或$c\，（n-）$表示）。无论如何，（1）和（$1*$）更容易如果$a、（n）$和$c、（n$C\，（n）$）已计算。\子段{弱有向图}\标号{Wd}在有向情况下（包括关系的情况），连通有向图是称为{\it弱}连接以区别于{\它是强}连通的。如第~\ref｛Dc｝节所述，我们可以考虑另外两个量：非有向图不存在的强连通和（弱）连通有向图强连接。只有后一个数量才有意义比赛，因为所有比赛都是弱连接的。这两个概念对于平衡有向图都没有意义，在这种情况下弱连通有向图都是强连通的。这个想法不仅对大多数班级都很有成效上面定义的有向图的有向图：在所有顶点具有相同外度的图\脚注{对于抽象{自动机}~\cite{HaP73}（第6.5节）。地没有输出和初始状态的定义自动机是可以用元组标识的半正则有向图状态集到自身的映射~\cite{Lis77}.}。还有一个概念，我们将在下面使用（\ref{Sem}），%%（\ref{Std}），是一个半强有向图。有向图被称为{\it半强}如果它的所有弱连通分量都是强连通的（特别是，强有向图是半强的）。在未标记的情况下，此外，应该（至少）区分两种半强有向图：有或无重复（即同构组件）。同样，使用普通的枚举关系``connected--disconnected''，可以很容易地计算出半强强连通数的任何类中的有向图已知。实际上，这些转换的效率较低，因为强连通有向图（尤其是未标记的有向图）仅对少数类型的有向图计算（请参见，特别是，~\cite{Wri71，Lis73，Lis77}）；其中两个将在~\ref{Std}中讨论。%%Wri70，\节{对合等价}\标签{I}图上的各种对合运算是新的序列。\分段{互补}\标签{Co}几个有趣的枚举序列与互补图。许多图类都包含唯一定义的{\it-complete图}（对于每个订单）。特别是，存在完整的图形在普通无向图$\Gamma$族中，具有循环$\Gamma_\mathrm{l}$，有向图$\Delta$和关系$\Delta_\mathrm{l}$。这个概念允许我们引入图的{补码}。这是相同顶点上的图其中边是那些不在完整图中的边。\subsubsection{Double connection}\label{CC}%%两次很明显，非连通图的补码是连通的。这个简单的断言允许我们轻松计算连接图（给定类型$\Phi$）其补码也连接{\it和}属于同一个类。我们称之为{\双连通}。在贴有标签的箱子中，他们的编号$b\，（\Phi，n）$由提供%$$c\，（\Phi，n）\，=\，{b\，（\ Phi，n）\，+\，d\，（\ Phi，n）}$$%由（1），%$$b\，（\Phi，n）\，=\，2c\，（\ Phi，n）\，-\，a\，（\fhi，n）。\等式（2）$$%同样，对于未标记的图，%$$B\，（\Phi，n）\，=\，2C\，（\ Phi，n）\，-\，A\，（\fi，n。\设备编号（2*）$$%现在，对于标记的简单无向图\\$a\，（\Gamma，n）$\，=\，[1，2，8，64，1024，32768，2097152，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A006125}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=006125}和\\$c\，（\Gamma，n）$\，=\，[1，1，4，38，728，26704，1866256，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A001187}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=001187},导致\\$b\，（\Gamma，n）$\，=\，[1,0,0,12,432206401635360，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054913}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054913}.\\对于标记的有向图\\$a\，（\Delta，n）$\，=\，[1，4，64，4096，1048576，\dots]=\，\htmladdnormallink｛A053763｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=053763}和\\%%没有A-！$c\，（\Delta，n）$\，=\，[1，3，54，3834，1027080，\dots]\，=\，\htmladdnormal链接{A003027}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=0.003027},导致\\$b\，（Delta，n）$\，=\，[1，2，44，3572，1005584，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054914}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054914}.\\%%对于有标签的定向图\\%%$a\，（\Omega，n）$\，=\，A047656\，=_，[1,3,277295904914348907，\dots]\\%%$c\，（\Omega，n）$\，=\，A0-\，=\\，[1,2,20624？？，\dots]，和\\%no A-！%%$b\，（\Omega，n）$\，=\？\点不适用\\对于未标记的无向图\\%%（普通的，或通常所说的简单的，%%即无回路和多条边），$A\，（\Gamma，n）$\，=\，[1，2，4，11，34，156，1044，12346，274668，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A000088}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000088}, \\$C\，（\Gamma，n）$\，=\，[1，1，2，6，21，112，853，11117，261080，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A001349}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=001349}，我们得到了序列$B\，（\Gamma，n）$\，=\，[1，0，0，1，8，68，662，9888，247492，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054915}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054915}.\\对于未标记的无向正则图\\$A\，（\Gamma_\mathrm{r}，n）$\，=\，[1，2，2，4，3，8，6，22，26，176，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A005176}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=005176},\\$C\，（\Gamma_\mathrm{r}，n）$\，=\，[1，1，1，2，2，5，4，17，22167，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A005177}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=005177}以及\\$B\，（\Gamma_\mathrm{r}，n）$\，=\，[1，0，0，0,1，2，2，12，18，158，\点]=\，\htmladdnormallink｛A054916｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054916}.\\%%原名M0347对于顶点传递图\\$A\，（\Gamma_\mathrm{t}，n）$\，=\，[2，2，4，3，8，4，14，9，22，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A006799}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=006799},\\$C\，（\Gamma_\mathrm{t}，n）$\，=\，[1，1，2，2，5，3，10，7，18，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A006800}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=006800}和\\$B\，（\Gamma_\mathrm{t}，n）$\，=\，[0，0，0，1，2，2，6，5，14，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054917}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054917}.\\对于未标记的有向图\\$A\，（Delta，n）$\，=\，[1，3，16，218，9608，1540944，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A000273}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000273}, \\$C\，（Delta，n）$\，=\，[1，2，13，199，9364，1530843，\dots]\，=\, \htmladdnormal链接{A003085}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=003085}和\\$B\，（Delta，n）$\，=\，[1，1，10，180，9120，1520742，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054918}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054918}.\\对于未标记（自反）关系，\\%（带循环的有向图）\\$A\，（\Delta_\mathrm｛l｝，n）$\，=\，[2，10，104，3044，291968，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A000595}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000595},因此通过EULERi变换~\cite{Tra98}\\$C\，（\Delta_\mathrm{l}，n）$\，=\，[2，7，86，2818，285382，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054919}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054919}和\\$B\，（\Delta_\mathrm{l}，n）$\，=\，[2，4，68，2592，278796，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054920}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054920}.\\对于未标记的对称关系（带循环的无向图）\\$A\，（\Gamma_\mathrm{l}，n）$\，=\，[2，6，20，90，544，5096，79264，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A000666}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000666}因此，通过EULERi转换\\$C\，（\Gamma_\mathrm{l}，n）$\，=\，[2，3，10，50，354，3883，67994，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054921}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054921}和\\%没有A-？？2??$B\，（\Gamma_\mathrm{l}，n）$\，=\，[2，0，0，10，164，2670，56724，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054922}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054922}.%%对于未标记的定向图（反对称关系）\\%%$A\，（\Omega，n）$\，=，A001174\，=\，[1,2,7,42582214802142288，\dots]%%$C\，（\Omega，n）$\，=\，A0-\，=_，[1,1,5,34，？\点]，边数中值为$\Gamma_\mathrm{m}的无向图$需要对当前方法稍作修改。没什么不寻常的订单$n=4k$或$4k+1$产生。然而，对于$n\equiv2,3~（\mbox{mod}4）$，图及其补码有{它不同}边数，即$\lceiln（n-1）/4\rceil$和$\lceil n（n-1）/4\rceil，-1$。我们将在符号中使用质数$'$对于后一种情况。现在，为了计算双连通中值图，应该将$C\，（\Gamma_\mathrm{m}，n）加倍$如~（$2*$），取总数$｛C\，（\Gamma_\mathrm｛m｝，n）｝+｛C'（\Gamma_\mathrm｛m｝，n）｝$。换句话说，我们有%%\equiv 0，1（\mbox{mod}4）$$$B\，（Gamma_\mathrm{m}，n）\，=\，C\，+C'（\Gamma_\mathrm｛m｝，n）\，-\，A\，（\Gamma_\mathrm｛m｝，n）。\等号（2'）$$%b条事实上，我们已经$C=B+D'$和$A'=C'+D'$。根据定义，$A'$计数与$A$计数的图互补的图，即$A=A'$。这些等式等于2美元。数值上，对于具有$n$个节点和$N={\lceil N（N-1）/4\rceil}$edges\\$A\，（\Gamma_\mathrm{m}，n）$\，=\，[1，1，1，3，6，24，148，1646，34040，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A000717}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000717},\\$C\，（\Gamma_\mathrm{m}，n）$\，=\，[1，1，1，2，5，22，138，1579，33366，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A001437}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=001437}\\并通过双参数表\htmladdnormallink{A054924}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054924},\\%%（原名M1538和N0601）%% 1348674,105925685,15968704512,4520384306832,2402814904220039,24256640%% 21535713098$C'（\Gamma_\mathrm{m}，n）$\，=\，[1，0，0，2，5，19，132，1579，33366，\点]=\，\htmladdnormallink{A054926}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054926},从哪里\\$B\，（\Gamma_\mathrm{m}，n）$\，=\，[1，0，0，1，4，17，122，1512，32692，\点]=\，\htmladdnormal链接{A054927}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054927}.%%斯坦因。取消标签。]n（n-1）/4[！？$\lfloor\rfloor=整个$当然，这样的概括也可以应用于其他类似的情况图的类（例如，规定度的正则）。\子子集{自互补}\标号{Sco}%%图到其补码的变换是对合的，并且接下来，我们考虑在方面{\it不变}的各种图类互补性。除了~\ref{CC}中提到的类之外，互补性是例如，适用于未指定的正则图类度$\Gamma_\mathrm{r}$，正则无向度图${（n-1）/2}$（$n$奇数），$n（n-1）$的中值$n$-图可被4整除，{奇数}阶的无向欧拉图$\Gamma_\mathrm{e}$，%%顶点传递图和有向图，（=齐次=欧拉）平衡有向图$\Delta_\mathrm{e}$，任意竞赛$\Theta$和常规锦标赛$\Theta_\mathrm{r}$。另一方面，例如，以下类对于关于互补性：偶数阶无向欧拉图，有一个圈的图，没有1价节点的图，正则无向给定度的图（不等于${（n-1）/2}$），有向图（比赛除外）、函数有向图、非循环有向图等。对于一类未标记图$\Phi$计数按$A\，（\Phi，n）$，设$G\，（\Phi，n）$count{\it自互补}图（即与补码同构的图）。我们可能会问：考虑的$\Phi$中的图$K\，（\Phi，n）$的数量是多少{\取决于互补性}？如果处理以下问题，图的补码看起来更自然由图及其补码组成的对：this可以解释为具有两条边的完整图颜色。在这些术语中，$K\，（\Phi，n）$表示边2-颜色为{\it可互换}和两个单色边子图属于至$\Phi$。最后一个问题的答案现在很简单：%%（无序）$$K\，（\Phi，n）\，=\，\压裂{A\，（\ Phi，n）\，+\，G\，（\fhi，n）}{2}。\方程式（3）$$%事实上，每个图形在不同的对中出现两次（图形，补码）作为第一或第二个组件，除了自补图，只出现在一对中。每对代表一个互补图，所以${2K\，（n）\，=\，A \，（n）\，+\，G \，（m）}$（参见引用{FrH74}）。该组合物可用于：\\到无向图，其中$A\，（\Gamma，n）$\，=\，\htmladdnormal链接{A000088}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000088}如上所示\\$G\，（\Gamma，n）$\，=\，[1,0,0,1,2,0,0,10,36，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A000171}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000171}，导致序列\\$K\，（\Gamma，n）$\，=\，[1，1，2，6，18，78，522，6178，137352，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A007869}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=007869};\\到有向图，其中$A\，（\Delta，n）$\，=\，\htmladdnormallink{A000273}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000273}和\\$G\，（Delta，n）$\，=\，[1，1，4，10，136，720，44224，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A003086}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=003086}，导致\\$K\，（Delta，n）$\，=\，[1，2，10，114，4872，770832，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054928}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054928};\\参加锦标赛\\$A\，（Theta，n）$\，=\，[1，1，2，4，12，56，456，6880，191536，\点]\，=\,\htmladdnormal链接{A000568}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000568}和\\$G\，（\ Theta，n）\，=\，G\，（\ Omega，n）$\，=\，[1，1，2，2，8，12，88，176，2752，\点]）\，=\，\htmladdnormal链接{A002785}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=002785},\，导致\\$K\，（Theta，n）$\，=\，[1，1，2，3，10，34，272，3528，97144，\点]\，=，\htmladdnormallink｛A059735｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=059735}; \\$n$-图的中值对于$n=4k$或$4k+1$（即$n=1、4、5、8、9点$），其中\\$A\，（\Gamma_\mathrm{m}，n）$\，=\，[1，3，6，1646，34040，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A000717}的相应子序列{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000717}（参见~\ref{CC}）和\\$G\，（\Gamma_\mathrm{m}，n）$\，=\，$G\，=\，[1，1，2，10，36，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A000171}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000171}不带零（见上文），导致\\$K\，（\Gamma_\mathrm{m}，n）$\，=\，[1，2，4，828，17038，\dots]\$n\equiv 0，1~（\mbox{mod}4）$\\循环图，其中\\$A\，（\Gamma_\mathrm{c}，n）$\，=\，[1，2，2，4，3，8，4，12，8，20，8，48，14，48，44，84，36，192，\点]）\，=\，\htmladdnormallink{A049287}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=049287}和\\$G\，（\Gamma_\mathrm{c}，n）$\，=\，[1，0，0，0,1，0，=\，\htmladdnormallink{A049289}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=049289}，导致\\$K\，（\Gamma_\mathrm{c}，n）$\，=\，[1，1，1，2，2，4，2，6，4，10，4，24，8，24，22，42，20，96，dots]=\，\htmladdnormal链接{A054929}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054929};\\和循环有向图，其中\\$A\，（\Delta_\mathrm{c}，n）$\，=\，[1，2，3，6，6，20，14，46，51，140108，\dots]\，=\，\htmladdnormallink｛A049297｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=049297}和\\$G\，（\Delta_\mathrm｛c｝，n）$\，=\，[1，0，1，0，2，0，3，0，4，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A049309}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=049309}，导致\\$K\，（\Delta_\mathrm{c}，n）$\，=\，[1，1，2，3，4，10，8，23，27，70，56，dots]=\，\htmladdnormallink{A054930}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054930}.在最后两种情况下，$G\，（n）$与相应的OEIS中由额外零值散布的序列以涵盖所有订单。在这方面值得一提的另一类图是二部图；枚举结果请参考~\cite{Qui79}关于此类图的函数$G$。一般来说，这种思想可以有效地应用于类只要我们知道任何两个在三个相应的序列中。%%公式~（3）给出了第三个序列。%%这就是情况，例如，对于未标记的比赛%%（据我所知，我们只有\\%%%参加比赛\\%%$A\，（Theta，n）$\，=\，[1，1，2，4，12，56，456，6880，191536，\点]\，%%=\，A000568）和具有未指定价的正则无向图\\%%%M1262型%%$G\，（\θ，n）$\，=\，[1，1，2，2，？，\点]\，=，A0？，%M（M）%%同质图（具有未指定的价）\\%%（$A\，（\Gamma_\mathrm{r}，n）$\，=\，[1,2,2,4,3,8,6,22,26176，\dots]\，%%=\，A005176）。%%M0303型%%我也找不到一类同时满足这两个条件的{二部}图%%功能$A$和$G$（或$A$与$K$）将可用。\子子集{A组合}\标签{Mis}%杂项我们可以人为地将同样的方法应用于连通图，即我们考虑未标记的数$L\，（n）$连通图到互补图。互补性清楚地保留了连通图的子类其补语也相连。因此公式~（3）适用，产生$｛L\，（n）\，=\，（B\，（n）\，+\，G\，（n））/2｝$，其中$B\，（n）$由公式~（$2*$）确定。因此%$$L\，（\Phi，n）\，=\，C，-\，G\，（\Phi，n）｝｛2｝。\等式（4）$$%因此，对于未标记的无向连通图，我们得到\\$L\，（\Gamma，n）$\，=\，[1，0，0，1，5，34，331，4949，123764，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054931}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054931},\\对于有向图\\$L\，（\Delta，n）$\，=\，[1，1，7，95，4628，760731，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054932}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054932}.\\\分段{反弧}\标签{Re}我们可以将同样的思想应用于其他对合变换。首先考虑有向图中弧的反转。现在%$$K_\mathrm{R}（\Phi，n）\，=\，\frac{A\，（\Phi，n），+\，G_\mathrm{R}（\Phi，n）}{2}，\eqno（3\mathrm R）$$%其中$G_\mathrm{R}$表示自反有向图的数量%%（即反转弧后与自身同构的）和$K_\mathrm{R}$表示（未标记的）有向图的数量被认为可以反转弧线。对于有向图，$A\，（\Delta，n）$\，=\，\htmladdnormallink{A000273}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000273}（请参见~\ref{CC}）\\$G_\mathrm{R}（\Delta，n）$\，=\，[1，3，10，70，708，15224，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A002499}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=002499}然后我们得到\\$K_\mathrm{R}（\Delta，n）$\，=\，[1，3，13，144，5158，778084，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054933}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054933}.\\对于关系，$A\，（\Delta_\mathrm{l}，n）$\，=\，\htmladdnormal链接{A000595}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000595},\\$G_\mathrm{R}（\Delta_\mathrm{l}，n）$\，=\，[2，8，44，436，7176，222368，\dots]\，=\，\htmladdnormal链接{A002500}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=002500}以及\\$K_\mathrm{R}（\Delta_\mathrm{l}，n）$\，=\，[2，9，74，1740，149572，48575680，\点]\，=\，\htmladdnormal链接{A029849}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=029849}.\\对于定向图，\\%$\Omega$\\$A\，（\Omega，n）$\，=\，[1，2，7，42，582，21480，2142288，\dots]\，=\,\htmladdnormal链接{A001174}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=001174},\\$G_\mathrm{R}（\Omega，n）$=\，[1，2，5，18，102，848，12452，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A005639}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=005639}然后我们得到\\$K_\mathrm{R}（\Omega，n）$\，=\，[1，2，6，30，342，11164，1077370，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054934}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054934}.\分段{平面映射}\label{Du}%%手性方程~（3）的形式对于未标记的对象来说是固有的具有额外的对合变换。这种变换尤其适用于几何图形以及平面地图等拓扑对象。\脚注{我们顺便注意到公式~（3）是一个特殊情况（对于2阶组）的结果称为伯恩赛德引理。公式~（2）和~（$2*$）也是~（3）的特殊情况。}\子子集{对偶性和反射}\标号{Dua}这个想法可以应用于平面地图（或其他地图曲面）。%%如果表示对于未根（=未标记）平面贴图的编号$A\，（\Phi，n）$在一类映射$\Phi$中有$n$个边和相应的数字{it自对偶}映射的$G_\mathrm{D}（\Phi，n）$，类似于（3），%$$K_\mathrm{D}（\Phi，n）\，=\，\frac{A\，（\Phi，n），+\，G_\mathrm{D}（\Phi，n）}{2}，\eqno（3\mathrm{D}）$$%其中$K_\mathrm｛D｝（\Phi，n）$表示未展开映射的数量考虑了{\二元性}。目前，$G_\mathrm{D}（\Phi，n）$的公式似乎是已知的只有一种情况，即对于类球面上所有平面贴图的$\Phi\，=\，\Lambda$一个杰出的方向。在这种情况下，%$$K_\mathrm{D}^+（λ，n），+\，G_\mathrm{D}^+（\Lambda，n）}{2}，\eqno（3\mathrm{D}^+）$$%其中上标$^+$表示枚举到{\it-定向-保护}转换。现在\\$A^+（Lambda，n）$\，=\，[2，4，14，57，312，2071，15030，117735，967850，8268816，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A006384}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=006384}和\\%%Walsh，M1281$G_\mathrm{D}^+（\Lambda，n）$\，=\，[0，2，0，9，0，69，0，567，0，5112，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A006849}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=006849}用0点缀。因此\\$K_\mathrm{D}^+（\Lambda，n）$\，=\，[1，3，7，33，156，1070，7515，59151，483925，4136964，\点]=\，\htmladdnormal链接{A054935}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054935}.%% [2, 4, 14, 57, 312, 2071, 15030, 117735, 967850, 8268816%%+ [0, 2, 0, 9, 0, 69, 0, 567, 0, 5112%%1/2 1 3 7 33 156 1070 7515 59151 483925 4136964让我们考虑反思，而不是二元性。我们得到了这个公式%$$A\，（\Lambda，n）\，=\，\frac｛A^+（\Lambda，n）\，+\，G_\mathrm{ach}（\Lambda，n）}{2}，\eqno（3\mathrm{a}）$$%其中$G_\mathrm{ach}（\Lambda，n）$表示{\it-achiral}的数量映射（即同构于其镜像的映射）定向-保护同构。%%（同胚）。因此，从\\$A\，（\Lambda，n）$\，=\，[2，4，14，52，248，1416，9172，66366，518868，4301350，\点]\，=\，\htmladdnormallink{A006385}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=006385}我们有\\$G_\mathrm{ach}（\Lambda，n）$\，=\，[2，4，14，47，184，761，3314，14997，69886，333884，\点]=\，\htmladdnormal链接{A054936}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054936}.在这里，考虑互补图可能更自然类，即{手性}映射，即。%$$G_\mathrm{ch}（λ，n），=\，A\，（λ，n）\，-\，G_\mathrm{ach}（λ$$%因此\\$G_\mathrm{ch}（\Lambda，n）$\，=\，[0，0，0，5，64，655，5858，51369，448982，3967466，\点]=\，\htmladdnormal链接{A054937}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054937}.调查也很有趣关于{中心对称}的平面映射。\子子集{圆形对象}\label{Nec}%%项链我们用圆形物体来指代各种几何图形定义在圆盘内部，或者更具体地说，定义在凸面（规则）内部多边形。例如{\it项链}（即被视为可旋转的字符串），多边形的三角剖分和其他类型的剖分（即不可分割的外平面地图）。项链的计数结果是众所周知的，并且有广泛的代表性在OEIS中。特别是，有许多序列枚举可以翻转的项链；这种项链有时被称为{手镯}。对于任何类型的项链，相同的半和公式连接三个相应的序列，分别枚举，项链、手镯和绳子，最多可旋转{\it和}翻转（即反转或反射）。所以每当两个人序列已知时，可以立即获得第三个序列。此外，就像地图一样（见~\ref｛Dua｝），而不是手镯有时切换到互补集是有用的，也就是说，要计算与反向不同构的项链。项链的另一个自然变化是珠子颜色（或字符串字母）。同样，如果这是一个内卷（例如两种颜色的换位），则会出现三个适当的量它们由相同的公式连接（参见{FrH74}）。此外，可以将此结合起来倒转的内卷化和数项链直到这个组合变换以及与之相关的不变量。对于双色，出现了一个不寻常的半和公式带有$2n$珠子的项链，相对的珠子有不同的颜色。换句话说，这些项链在$180^\circ$旋转与颜色变换相结合。根据~\cite{PaR84}，这种自双项链的数量为由表达式给出%$$Q\，（n）\，=\，\压裂{h\，（n）\，+\，2^{floor（n-1）/2\floor}}{2}$$%\eqno（3\mathrm{n}）哪里%$$h，（n），=，frac{1}{2n}\sum_{k|n，k\\mathrm{奇数}}\phi\，（k）\，2^{n/k}$$%涉及Euler totient函数$\phi\，（n）$。这是序列\\{}$Q\，（n）\，=\，Q \，（Psi，n）$\，=，[1，1，2，2，4，5，9，12，23，34，63，\点]\，=\,\htmladdnormal链接{A007147}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=007147}.同时\\$h，（n）\，=\，h \，（Theta，n）$\，=，[1，1，2，2，4，6，10，16，30，52，94，\点]\，=\,\htmladdnormal链接{A000016}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000016}列举了所谓的无涡标记锦标赛（参见特别是~\cite{Knu92}，第14页）。很好奇地注意到$Q\，（n）$：根据以~\引用{BaD98}，%$$Q\，（n）\，-\，[n^2/12]\，-\\，1$$%枚举一类多蛋白石球体，其中方括号表示最接近的整数。数字上这是\\{}%%-[1，1，2，2，3，4，5，6，8，9，11，\dots][0,0,0,0，1，1，4，6，15，25，52，\点]=\htmladdnormal链接{A059736}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=59736}.还可以找到其他自双项链的具体示例，例如。，引用{PaR84，Rob81}。我们不再在这里讨论它们，而是转向循环对象的一个重要但不太熟悉的类$\Xi$称为和弦图。{it和弦图}是一组和弦位于定向圆上的成对不同节点之间。弦可以相交，它们的集合被认为是同位素将圆转换为自身。如果没有施加限制，弦图的数量${A^+（\Xi，n）}$带有$n$和弦和可逆（非手性）弦图$G_\mathrm{ach}（\Xi，n）$可以很容易地进行评估（请参阅~\cite{Sto00，Bar95}中的详细信息）。相应的（3a）型公式有左侧的$A\，（\Xi，n）$，其中$A\、（\Xi-n）$表示考虑到反射的和弦图数量。数字上\\$A^+（\Xi，n）$\，=\，[1，2，5，18，105，902，9749，127072，1915951，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A007769}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=007769}和\\$G_\mathrm{ach}（\Xi，n）$\，=\，[1，2，5，16，53，206，817，3620，16361，\点]\，=\，\htmladdnormal链接{A018191}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=018191},因此\\$A\，（\Xi，n）$\，=\，[1，2，5，17，79，554，5283，65346，966156，\dots]=\，\htmladdnormallink｛A054499｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054499}.所以，对于{手性}弦图的互补序列$G_\mathrm｛ch｝（\Xi，n）\，=\，{A\，（\Xi，n）\，-\，G_\mathrm{ach}（\Xi，n）}$我们获得\\$G_\mathrm｛ch｝（\Xi，n）$\，=\，[0，0，0，1，26，348，4466，61726，949795，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054938}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054938}.\节{偶边和奇边图}\标签{E}考虑一种特定类型的序列：数字$f_\mathrm{E}（n）$图的$f_\mathrm{O}（n）$边数），带有{\t偶数}和{\t奇数}个数边缘。在一些非平凡的情况下，人们可以很容易地表达这两者用相应图形的数量表示的数字。我们使用基于生成函数的形式化方法。公式以这种方式出现是相当一致的，但需要个人证据。大意（回到~\cite{FrH74}）就是评估差异${f_\mathrm{E}（\Phi，n）-f_\mathr{O}（\ Phi，n）}$（换句话说，这是图的加权枚举，其中，$（n，n）$-图获得权重$（-1）^n$）。它显然等于$\mathbf{f}\，（\Phi，n，-1）$和结果往往是一个非常简单的函数。%%因此，$f_\mathrm{E}$和$f_\tathrm{O}$表示为半和%%此序列与$f$的一半差异。%%图集上的交替求和。我们还考虑了类似序列$F_\mathrm{E}（n）$和$F_\fathrm{O}（n）$对于未标记图，这里得到的结果较少。\分段{标记图}\label{Lg}\子子集{连通图}\标号{Cog}对于类$\Gamma$，%%带o.g.f的标记连通$n$-图。如我们所知，标记为connected的数字$c，（n，n）$的示例f$（n，n）$-图满足等式%$$\mathbf c\，（z，x）\，=\，\log\，（1\，+\，\mathbf-a\，（z，x））$$%其中$n$对应的o.g.f.-变化$n$的图为$｛\mathbf a\，（n，x）\，=\，（1+x）^｛n（n-1）/2｝｝$和\\${\mathbf c\，（n，x）\，=\，\sum_n c\，[n，n）x^n}$\（为了简单起见，到处都是$\Gamma$）。因此，对于$n>1$，$｛\mathbf a\，（n，-1）\，=\，0｝$，${\mathbf a\，（1，-1）\，=\，1}$和${\mathbf a \，（z，-1）\n，=\、z}$。因此${\mathbfc\，（z，-1）\，=\，\log\，（1+z）}$和%$$｛c_\mathrm｛E｝（n）\，-\，c_\mathrm｛O｝（n）｝\，=\，\mathbf c\，（n，-1）\，=\，{-（-1）^{n}（n-1）！}$$%这是{\em Amer.Math.Monthly}问题，在~\cite{Sol94}中可以找到$k$组件图的另一证明和推广。我们还注意到%%\\${（-1）^{n-1}（n-1）！}$是格的M“obius函数设置分区。最后，${c_\mathrm{E}（n）\，+\，c_\mathrm{O}（n）}\，=\，c\，（n）$，因此%$$c_\mathrm{E}（\Gamma，n）\，=\，\frac{c\，（\Gamma，n）\，-\，（-1）^n（n-1）！}{2}$$%和%$$c_\mathrm{O}（\Gamma，n）\，=\，\frac{c\，（\Gamma，n）\，+\，（-1）^n（n-1）！}{2}$$%数字（带有$c\，（\Gamma，n）$\，=\，[1，1，4，38，728，26704，1866256\点]\，=\，\htmladdnormallink{A001187}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=001187},\\$c_\mathrm{E}（\Gamma，n）$\，=\，[1，0，3，16，376，13292，933488，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054939}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054939}和\\$c_\mathrm{O}（\Gamma，n）$\，=\，[0，1，1，22，352，13412，932768，\点]=\，\htmladdnormallink{A054940}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054940}.\子子集{连通有向图}\label{Cod}同样的结果对（弱）连通有向图也是有效的$\Delta$（见我在~\cite{Sol94}中的评论）；在证明中，我们只需要使用生成函数$（1+x）^{n（n-1）}$代替$（1+x）^}n（n-1）/2}$。\子子集{对称关系}\标签{Syr}对于循环为$\Gamma_\mathrm{l}$的图类，与$（1+x）^｛n（n+1）/2｝$而不是$（1+x）^｛n（n-1）/2｝相同的证明$结果为${\mathbfa\，（z，-1）\，=\，0}$和${\mathbf c\，（n，-1）\，=\，0}$。因此%$$c_\mathrm｛E｝（\Gamma_\mathrm｛l｝，n）\，=\，c_\mathrm{O}（\Gamma_\mathrm{l}，n）\，=\，c\，（\Gamma_\mathrm{l}，n）/2$$%（通过互补性，这对于$n\equiv 1，2~（\box｛mod｝4）$是显而易见的）。\子子集{定向图}\标签{Org}对于定向图$\Omega$，我们使用多项式${\mathbfa\，（n，x）\，=\，（1+2x）^{n（n-1）/2}}$，因此${\mathbfa\，（n，-1）\，=\，（-1）^{n（n-1）/2}$。现在$\mathbfa\，（z，-1）\，=\，{\cos\，（z）\，+\，\sin\，（z）-1}$和%$$\mathbf c\，（\Omega，z，-1）\，=\，\ log\，（\ cos \，（z）\，+\，\ sin\，（z））$$%因此\\${c_\mathrm{E}（\Omega，n）\，-\，c_\mathrm{O}（\ Omeca，n）}$\，=\，[1，-2，4，-16，80，-512，3904，-34816，\点]，即\htmladdnormal链接{A000831}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000831}（扩展${（1+\mbox{tan}x）/（1-\mbox{tan}x）}$）至交替符号\\${c_\mathrm{E}（\Omega，n）\，+\，c_\mathrm{O}（\ Omega（n）}\，=\，c\，（\Omega，n）$\，=\，[1，2，20，624，55248，13982208，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054941}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054941}.因此\\$c_\mathrm{E}（\Omega，n）$\，=\，[1，0，12，304，27664，6990848，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054942}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054942}和\\$c_\mathrm{O}（\Omega，n）$\，=\，[0，2，8，320，27584，6991360，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054943}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054943}.%% 3904\, =\, $2^6*61$; 34816\, =\, $2^11*17$;%%对于关系，g_n（x）\，=\，（1+x）^{n^2}。\子子集{强连通有向图}\标签{Std}\段落{命题}{\it对于标记的强有向图，}%$$s_\mathrm｛E｝（\Delta，n）\，-\，s_\mathrm｛O｝（\Delta，n）\，=\，（n-1）！\，。\等式（5）$$%\梅德斯基普\段落｛备注。｝这是{\em Amer.Math.Monthly}问题~\cite{Pro97}前面在~\cite{Sol94}中提到，但没有证据。%%到问题\#6673\#10620我于1992年首次获得证据。\段落{Proof.}设${s\，（n，n）=s\。（5）中左边的差值是$\mathbf s，（n，-1）$。根据~\cite{Lis73}（参见~\cite{Wri71}），%$$\mathbf s \，（z，x）\，=\，-\，\log\，（1\，-\$$%%\eqno（）%哪里${\mathbf v\，（z，x）\，=\，\sum_{n\geq1}\mathbfv \，（n，x）z^n/n！}$\${\mathbf v \，（n，x）\，=\，\ mathbf a \，（n，x）\${\mathbf a \，（n，x）\，=\，（1+x）^{n（n-1）/2}}$\\${\mathbf a \，（z，x）\，=\，{\sum_{n\geq1}\mathbfa\，（n，x）z^n/n！}}$（因此${a\，（n，n）\，=\，a\标记无向图）和%$$\mathbf u \，（z，x）\，=\，\sum_{n\geq1}\mathbfu \，，（n，x）\frac{z^n}{n！}\，=\，1\，-\，\frac{1}{1+\mathbfa\，（z，x）}。\等式（6）$$%正如我们在~\ref{Cog}中看到的，$n>1$的${mathbfa\，（n，-1）\，=\，0}$。此外，${mathbfa\，（1，-1）}\，=\，{mathbfu\，（1,-1）\，=_，1}$。因此\\${\mathbf v\，（z，-1）\，=\，z}$，从哪里${\mathbfs\，（z，-1）\，=\，-\log\，（1-z）}$和${mathbfs\，（n，-1）\，=\，（n-1）！}$~~~$\平衡计分卡$\梅德斯基普在~\cite{Sol00}中可以找到不同的证明。\段落{推论}%$$s_\mathrm{E}（\Delta，n）\，=\，\frac{s\，（\ Delta，n）\，+\，（n-1）！}{2}$$%{\it和}%$$s_\mathrm{O}（\Delta，n）\，=\，\frac{s\，（\ Delta，n）\，-\，（n-1）！}{2}$$%\梅德斯基普因此，从$s\，（\Delta，n）$\，=\，[1，1，18，1606，565080，\点]\，=\，\htmladdnormallink｛A0003030｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=003030}，我们获得\\$s_\mathrm｛E｝（\Delta，n）$\，=\，[1，1，10，806，282552，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054944}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054944}以及\\$s_\mathrm{O}（\Delta，n）$\，=\，[0，0，8，800，282528，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054945}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054945}.让%$$v，（n）\，=\，v \，（Delta，n）\$$%其中，例如f.$\mathbf u\，（z）\，=\，{1\，-\，1/（1+mathbf a\，（z））}$和$\mathbfa\，（z）\，=\，{\sum_{n\geq1}2^{n（n-1）/2}z^{n}/n！}$。众所周知，$u\，（n）$枚举了强标记比赛（参见，例如，~\cite{HaP73}，（5.2.4））。所以这是序列\\%%另请参见~\cite{Lis73}或~\cite{Wri70}）。$u\，（n）\，=\，s \，（Theta，n）$\，=\，[1，0，2，24，544，22320，1677488，\点]=\，\htmladdnormal链接{A054946}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054946}.因子$2^{n（n-1）/2}$构成序列\\$a\，（\Gamma，n）=a \，（\ Theta，n）$\，=\，[1，2，8，64，1024，32768，2097152，\dots]\，=\，\htmladdnormallink{A006125}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=006125}. 因此\\%%1 2 8 64 1024 32768 2097152 A006125 2^{n（n-1）/2}。%%x 1 0 2 24 544 22320 1677488%%v 1 0 16 1536 557056 731381760$v\，（n）$\，=\，[1，0，16，1536，557056，731381760，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054947}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054947}.\子子集{A离题：半强有向图}\label{Sem}正如我们在~\cite{Lis73}中指出的那样，$v\，（n）\，=\，{s^\mathrm{O}（\Delta，n）\，其中$s^\mathrm{E}（\Delta，n）$和$s^\fathrm{O}（\ Delta，n）$是带偶数的半强有向图的数目（参见~\ref{Wd}）奇数{\it个组件}。此外\\${s^\mathrm{O}（\Delta，n）\，+\，s^\mathrm{E}（\ Delta，n）\，=\，s^\mathrm{W}（\Delta，n）}$，其中$s^\mathrm{W}（\ Delta，n）$表示标记的半强有向图的数量，即EXP通过$s\，（\Delta，n）$轻松表达转换~\引用{BeS95，Tra98}。这提供了一种评估方法$s^\mathrm{E}（\Delta，n）$和$s^\fathrm{O}（\ Delta，n）$。具体来说\\$s^\mathrm{W}（Delta，n）$\，=\，[1，2，22，1688，573496，738218192，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054948}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054948},\\$s^\mathrm{O}（\Delta，n）$\，=\，[1，1，19，1612，565276，734799976，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054949}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054949}和\\$s^\mathrm{E}（\Delta，n）$\，=\，[0，1，3，76，8220，3418216，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054950}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054950}.有一个类似的未标记的对应奇偶差公式具有{\相互非同构分量}的半强有向图：$V\，（n）\，=\，{S^\mathrm{O}（\Delta，n）\、-\，S^\mathrm{E}（\ Delta，n）}$。这种交替求和在未标记的枚举中起着关键作用强连通有向图~\cite{Lis73}：\\$1-\sum_n V\，（n）z^n=\prod_n（1-z^n）^{S\，（\Delta，n）}$。人们可以从这些公式中提取$S^\mathrm{E}（\Delta，n）$和$S^\fathrm{O}（\ Delta，n）$。首先，我们需要评估$V\，（n）$。在我们给出的~\cite{Lis73}中一个直接（虽然困难）的公式和相应的数值数据双参数函数$V\，（n，n）$。但现在我们可以继续了相反的方向，使用上述表达式和已知值$S\，（Delta，n）$。数字上\\$S\，（Delta，n）$\，=\，[1，1，5，83，5048，1047008，\点]\，=，\htmladdnormallink｛A035512｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=035512},我们从哪里评估\\$V\，（n）$\，=\，[1，1，4，784960，1041872，\dots]=\，\htmladdnormallink｛A054951｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054951}.%%! 78=83-5-0+0；4960=5048-83-5-0+0; 1041872=1047008-5048-83-10!+5!-0+0现在${S^\mathrm{O}（\Delta，n）\，+\，S^\mathrm{E}（\ Delta，n）\，=\，S^\mathrm{W}（\Delta，n）}$，带将不同的组件配对。我们有${1+\sum_n S^\mathrm{W}（\Delta，n）z^n}={\prod_n（1+z^n）^{S\，（\Delat，n）}}$（该系列对应于重量转换（{BeS95，Cam89，Tra98}）。因此\\$S^\mathrm{W}（\Delta，n）$\，=\，[1，1，6，88，5136，1052154，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054952}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054952}.因此\\%%（还是作为半和和半差），$S^\mathrm{O}（\Delta，n）$\，=\，[1，1，5，83，5048，1047013，\dots]=\，\htmladdnormallink{A054953}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054953}和\\$S^\mathrm{E}（\Delta，n）$\，=\，[0，0，1，5，88，5141，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054954}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054954}.显然，其他类型的断开（di）图，无论是标记的还是未标记的，由奇偶性指定的组件数量也有值得考虑。\子子集{Euler有向图}\标号{Eud}下一个断言是新的。\段落{命题}{\it对于带标签的平衡有向图，%$$a_\mathrm{E}（\Delta_\mathrm{E}，n）\，=\，\frac{a\，（\Delta_\mathrm{e}，n）\，+\，n！}{2} \eqno（7_\mathrm{E}）$$%和%$$a\mathrm｛O｝（\Delta_\mathrm｛e｝，n）\，=\，\frac{a\，（\Delta_\mathrm{e}，n）\，-\，n！}{2}. \方程式（7\mathrm｛O｝）$$%对于标记的Eulerian（即连接平衡）有向图，%$$c_\mathrm{E}（\Delta_\mathrm{E}，n）\，=\，\frac{c\，（\Delta_\mathrm{e}，n）\，+\，（n-1）！}{2} \eqno（8_\mathrm{E}）$$%和$$c_\mathrm{O}（\Delta_\mathrm{e}，n）\，=\，\frac{c\，（\Delta_\mathrm{e}，n）\，-\，（n-1）！}{2}. \eqno（8_\mathrm{O}）$$%}\梅德斯基普\段落{Proof.}根据~\cite{Lis71}的定理2，o.g.f。平衡有向图的$\mathbfa\，（\Delta_\mathrm{e}，n，x）$可以是用公式表示，单位根为$m$。选择$m\，=\，n$，并将$\，x:=\，-1$放入该公式，%$$\mathbf a \，（\Delta_\mathrm{e}，n，-1）\，=\，n^{-n}个!\prod\limits_{1\leqk\neql\leqn}（1\，-\，w^{k-l}）$$%其中$w$是一个原始$n$-统一根。因此%$$\mathbf a \，（\Delta_\mathrm{e}，n，-1）\，=\，n个^{-n}个!\prod\limits_{r=1}^n（1\，-\，w^r）^n$$%但是${\prod_{r}（1-w^r）\，=\，n}$，因为这仅仅是多项式${（z^n-1）/（z-1）}$在$z\，=\，1$处求值。因此，%$${\mathbf a \，（\Delta_\mathrm{e}，n，-1）\，=\，n！}$$%这意味着公式~（$7_\mathrm{E}$）和~（$7-\mathrm{O}$）。现在，对于连通平衡有向图，${c_\mathrm{E}（\Delta_\mathrm{E}，n）\，-\，c_\mathrm{O}（\Delta_\mathrm{e}，n）\，}=\，{\mathbf c\，（\Delta_\mathrm{e}，n，-1）}$。和往常一样，${\mathbf c\，（\Delta_\mathrm{e}，z，x）\，=\，\log\，（1\，+\，\mathbf a\，（\Delta_\mathrm{e}，z，x））}$。通过以上公式，${\mathbfa\，（\Delta_\mathrm{e}，z，-1）\，=\，z/（1-z）}$，因此我们有\\${\log\，（1+z/（1-z））}\，=\，{\sum_{n\geq1}z^n/n}$和$｛\mathbf c\，（\Delta_\mathrm｛e｝，n，-1）\，=\，（n-1）！｝$~~~$\平衡计分卡$通过数值计算，我们得到以下序列：\\%%（与已知的略有不同）：\\%%根据~\cite{McK83}\\$a\，（\Delta_\mathrm{e}，n）$\，=\，[1，2，10，152，7736，1375952，\dots]\，=\, \htmladdnormal链接{A007080}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=007080}从那里经过~（$7_\mathrm{E}$）\\$a_\mathrm{E}（\Delta_\mathrm{E}，n）$\，=\，[1，2，8，88，3928，688336，\点]=\，\htmladdnormal链接{A054955}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054955},和~（$7_\mathrm{O}$）\\$a_\mathrm{O}（\Delta_\mathrm{e}，n）$\，=\，[0，0，2，64，3808，687616，\点]=\，\htmladdnormal链接{A054956}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054956}.现在（通过LOG转换）\\$c\，（\Delta_\mathrm{e}，n）$\，=\，[1，1，6，118，7000，1329496，\dots]=\，\htmladdnormal链接{A054957}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054957}因此\\$c_\mathrm{E}（\Delta_\mathrm{E}，n）$\，=\，[1，1，4，62，3512，664808，\点]=\，\htmladdnormal链接{A054958}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054958}和\\$c_\mathrm{O}（\Delta_\mathrm{e}，n）$\，=\，[0，0，2，56，3488，664688，\点]=\，\htmladdnormal链接{A054959}{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054959}.\子段{未标记图}\label{Ug}这里我们将自己限制在一类图上，即$\Gamma$（但也可以比较~\ref｛Sem｝）。考虑差异${A_\mathrm{E}（\Gamma，n）\，-\，A_\mathrm{O}（\ Gamma（n）}$。这显然是相应o.g.f.在$x\，=\，-1$处的值。%%按边数$N$：${mathbf A\，（Gamma，n，x）\，=\，{sum_n A\，，（Gamma，n，n）x^n}$。根据P’olya枚举定理（参见示例~\cite{HaP73}，（4.1.8）），%$$\mathbf A\，（\Gamma，n，x）\，=\，\mathbf Z\，（\mathrm S_n^{（2）}，1+x，1+x^2，\点）$$%其中$\mathbf Z\，（\mathrm S_n^{（2）}，Z_1，Z_2，dots）$表示循环对称群$\mathrm S_n$在其诱导作用中的索引顶点的2个子集。因此%$$A_\mathrm{E}（\Gamma，n），=\，\mathbf Z\，（\mathrm S_n^{（2）}，0,2,0,2，\dots）。\等式（9）$$%我们看到右侧与公式一致（6.2.3）在{HaP73}中表示数字$G，（Gamma，n）$自互补图。因此，引用{Sol96}，${A_\mathrm{E}（\Gamma，n），=\，G\，（\Gamma，n）}$。但是\\${A_\mathrm{E}（\Gamma，n）\，+\，A_\mathrm{O}（\ Gamma，=\，A\，（\Gamma，n）.}$因此%$$A_\mathrm{E}（\Gamma，n）\，=\，\frac{A\，（\Gamma，n）\n，+\，G，（\Gamma，n）}{2}\eqno（10_\mathrm{E}）$$%和%$$A_\mathrm{O}（\Gamma，n）\，=\，\frac{A\，（\Gamma，n），-\，G\，（\Gamma，n）}{2}。\eqno（10_\mathrm{O}）$$%因此，通过比较公式~（$10_\mathrm{E}$）和~（3），我们得到了以下标识：%$$A_\mathrm{E}（\Gamma，n）\，=\，K\，（\Gamma，n）$$%我们还注意到${A_\mathrm{E}（\Gamma，n）\，=\，A_\mathrm{O}（\ Gamma（n）}\=\，A\，（\Gamma，n）/2$，如果$n=4k+2$或$4k+3$。根据$A\，（Gamma，n）$和$G\，（Gamma，n）的数值数据$（或者，取而代之的是$K\，（Gamma，n）$）出现在~\ref{CC}中，得到\\%%$A\，（\Gamma，n）$=[1，2，4，11，34，156，1044，12346，274668]=A000088%%$G\，（\Gamma，n）$=[1，0，0，1，2，0，0，10，36]=A000171美元%%$K\，（\Gamma，n）$=[1，1，2，6，18，78，522，6178，137352]=A007869%%O 0、1、2、5、16、78、522、6168、137316%%E 1、1、2、6、16、78、522、6168、137316$A_\mathrm{O}（\Gamma，n）$\，=\，[0，1，2，5，16，78，522，6168，137316，\点]=\，\htmladdnormallink｛A054960｝{http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=054960}.类似的断言适用于任意有向图和其他一些有向图图的类。%%$S\，（Delta，n）$\，=\，[1，1，5，83，5048，1047008，\点]\，=，A035512\章节{结束语}\标签{F}%%总之，几种主要是投机或负面票据。原则上，有一个简单的从已知序列中获得大量新序列的方法。即，如果$a\，（n）$和$b\，（n）$count两种类型的对象，当然，他们的乘积$a\，（n）b\，（n）$计算有序对对象的总数，以及它们的总和$a\，（n）\，+\，b\，（n）$counts个对象他们脱节的结合。一般来说，这很难考虑作为一个真正富有成效的想法：一般来说，这种配对和结合不自然。但有时，定期产品（以及，更常见的是，两个序列的总和一种自然的解释，尽管可能出乎意料。在这项工作中，我们遇到了可以表示为其他两个序列的半和或和。只有一个序列（即$v，（n）$in~\ref{Std}）被表示为两个序列（其中一个是原始序列）。在~\cite{KLW99}中可以找到更多这样的例子。据我所知，没有对如此有意义的到目前为止，已经开展了行动。%%切换类？！%%仅仅是3的力量。%%另请参阅~\ref{Std}\围兜{普通}\开始{书目}{xx}%%\bibbitem｛BaD98｝B.\，Bagchi和B.\，Datta，的结构定理伪流形，{离散数学}，{bf 188}（1998），41-60。\bibitem{Bar95}D.，Bar-Natan，关于Vassiliev结不变量，｛it Topology｝，｛\bf 34｝（1995），423–472。\bibitem{BeC83}E.\，A.\，Bender和E.\，R.\，Canfield，枚举连通不变图，{\it J.Combin.Th.}，{\bf 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of Integer Sequences主页｝{http://www.research.att.com/~njas/sequences/JIS/}。\中心线{\规则{6.5in}{.01in}}\结束{文档}