%关于斯特林数三角形的推广，%Wolfdieter Lang 2000年2月11日，2000年5月31日更新%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%前导中有定义的乳胶文件%%%%%%%%%序言部分：%\公差=2000\h硬度=2000%\溢出规则=0pt%\字体\sm=cmr10\文档类[10pt]{文章}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{color}\usepackage[colorinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]｛hyperref｝\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}%\使用包{amsmath，maplems}\使用包{amsmath，amssymb，epsf，psfig}\新命令{\seqnum}[1]{\href{http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\定义\跟随{\Longrightarrow}\定义\来自{Longleftarrow}\定义\iff{Longleftrightarrow}\定义\二项式#1#2{#1}\选择{#2}}\工会\定义\在{\子集}中\定义\集合{\子集}\定义\Ineq{\subseteq}\定义\来自{\leftarrow}\定义\Na{{\bf N}}\定义\N0{{\bf N}_{0}}\定义\删除{\部分}\定义\eps{\varepsilon}\定义\x{\\times\}\def\sqr#1#2{{\vcenter{\vbox{\hrule高度。#2pt\hbox{\vrule width.#2pt height#1pt\kern#1pt\vrule宽度#2英尺高#2pt}}}}\def\squaretwo{\mathchoice\sqr56\sqr56/sqr{2.1}3\平方米{1.5}3}\def\eop{$\squaretwo$}%%%%eop=证明结束%%%%\定义\spequiv{\；等于\；}\def\sspequiv{\，\equiv\，}%%小空格equiv\定义\speq{\；=\；}\定义\spdef{\；：=\；}\定义\spdefr{\；=：\；}\定义\spp{\；+\；}\定义\ spm｛\；-\；｝\定义\sspeq{\，=\，}%%%%ssp。。。对于小空间…%%%%\定义\sspdef{\，：=\，}\定义\sspp{\，+\，}\定义\sspm{\，-\，}\定义\pb{\par\bigskip}\定义{\nindent}\定义\pbn{\par\bigskip\noindent}\定义\ps{\par\smallskip}\定义\psn{\par\smallskip\noindent}\定义\pn{\par\noindent}\定义\bn｛\bigskip\noindent｝\定义\sn{\smallskip\noindent}\定义\Dx#1{\frac{d{\#1}}{Dx\幻影{#1}}}\定义\D#1#2{\frac{D{#1}}{D{#2}}\定义\ZZ{\mathbb Z}%%%%%%%%%%%%%%%%%LaTex文件开始日期：%\documentstyle[11pt，maplems]{article}旧版本%\documentstyle[12pt]{article}旧版本\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.5in}\setlength｛\textheight｝｛8.9英寸｝\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo24.eps}\vskip 1厘米{\LARGE\bf关于斯特林数三角形的推广{纪念我的母亲Else Gertrud Lang.}}\\\vskip 1.5厘米\大沃尔夫迪特·朗\\medskip卡尔斯鲁厄“ur Theoretische Physik大学”研究所\\德国卡尔斯鲁厄Kaiserstra e 12，D-76128电子邮件地址：\链接{mailto:wolfdieter.lang@physik.uni-karlsruhe.de}{wolfdieter.lang@physik.uni-karlsruhe.de}\\主页：\htmladdnormal链接{http://www-itp.physik.uni-karlsruhe.de/${\\tilde{}}\$wl}{http://www-itp.physik.uni-karlsruhe.de/~wl}\medskip\vskip2.5厘米\bf{摘要}\结束{中心}{\em介绍了这两类广义斯特灵数的序列。这些三角形序列（即无限维下三角形矩阵）数字的个数将用$S2（k；n，m）$和$S1（k$带有$k\in\bf Z$。第二类和第一类原始Stirling数三角形当$k=1$时出现$S2（2；n，m）$与无符号$S1（2；n，m）$三角形，称为$S1p（2；n，m）美元，它也表示无符号的Lah数三角形。用$s2（k；n，m）$和$s1（k，n，m定义。$s2（2；n，m）$和$s1（2，n+1，m+1）$构成帕斯卡三角形，而$s2（-1，n，m）$原来是加泰罗尼亚的三角形。正在生成函数给出了这些三角形的列。每个${\bf S2}（k）$和${\bf S1}（k）$矩阵都是Jabotinsky矩阵。行的生成函数因此，这些三角形阵列构成指数卷积多项式。还考虑了这些三角形的行和序列。这些三角形是相关的关于获得有限变换的问题对于$k\in\bf Z$，从$x^k\，\Dx{}$生成的无穷小一开始。}\vspace*{+.1in}\无AMS MSC编号：11B37、11B68、11B83、11C08、15A36%注释掉接下来的两行以将其恢复为单个空格%｛\lang1033\high%\集合长度{\baselineskip}{1.5\baselineskip}\章节{概述}{第二类斯特林数}（也称为{子集数}），并用$S2（n，m）$（或$\left\{\begin{array}{c}n\\m\end{arrary}\right\}$表示以\cite{GKP}或${calS}_{n}^{（m）}$in\cite}AS}的符号表示，或序列号{A008277}在数据库\cite{Sloane}中）可以是由定义\开始{方程式}E_{x}^{\n}\equiv（x\，d_{x}）^n\speq\sum_{m=1}^n\，S2（n，m）\，x^m\，d_在{\bf n}中，标签{（1.1）}\结束{方程式}其中导数运算符$d_{x}\equiv\Dx{}}$和$E_{x}$是{\sl-Euler}满足$E_{x}\，x^k\speq-k\，x*k$的运算符。递归关系可以从方程~\ref｛（1.1）｝通过考虑$x\，d_{x}（x\，e_{x{）^{n-1}$，使用约定$S2（n，m）=0$如果$n\，（1-k）\，m$，{即}，如果递归式~ref{（1.39）}中的第一项为负。这将显示通过$m$的入职培训。对于$m=1$，断言是真的，因为只有循环中的第一项存在，并且因为$s1（k，2-k，1）=0$，由于其第一项的消失系数递归，递归表明$s1（k；n-1,1）$对于$n-1=2-k，3-k，…\$（如果$n-1=2-k$是第一个递归项中的乘数消失）。假设该断言适用于给定的$m\ge 1$，{即}$s1（k；n-1，m）=0$对于$n-1，>，（1-k），m$，导致消失对于所有$n-1，>，$s1（k；n-1，m+1）$递归中的第二项，（1-k）\，m\，+\，1.$因此，$s1（k；（1-k）\，（m+1）\，+\，1，m+1）$将为零，因为此递归的第一项系数为零，第二项系数为自$（1-k）\，（m+1）\，>\，（1-k。然后$s1（k；n-1，m+1）$递归地全部消失$n-1，\geq\，（1-k）\，（m+1）\，+\，1$。\hskip 1cm\eop\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\bf引理17:}${\bf-s1}（k）第$m$-th列的o.g.f$（见方程~\ref｛（1.40）｝、~\ref｛（1.41）｝和~\ref｛（1.42）｝）。${\bf s1}（k）$是Bell矩阵（有关此名称，请参见注释7），{即}序列${s1（k；n，m）}{n=1}^{infty}$的o.g.f.由$g1（k；m；y）\sspeq给出（g1（k；1；y））^m$和\开始{方程式}g1（k；y）\spdef g1（k；1；y）\speq{压裂{-1\sspp（1-（k-1）\，y）^{-（k-1\文本{表示{\bf Z}\setminus\{1\}\中的}\\k\。\标签{（3.5）}\结束{方程式}因为我们已经设置了${\bfs1}（1）=\bf1$，所以取$g1（1；y）=y$。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\it-Proof}：从递归关系式中，我们发现，对于$k\in\bf Z$，一阶线性微分差分方程\开始{eqnarray}[1-（k-1）\，y]\，g1^{prime}（k；m；y）\spm \，（k-1，g1（k；m-1；y）\speq 0\\，\\&&标签{（3.6）}\\g1（k；m；0）=0\，\m\ in \Na；\\g1^{\素数}（k；m；y）|{y=0}=s1（k，1,1）\，\delta{m，1}=\增量{m，1}。&&\标签{（3.7）}\结束{eqnarray}素数表示相对于$y$的微分。$y=0$条件遵循等式~\ref{（1.40）}中$g1（k；m；y）$的定义。方程~\ref{（3.6）}用$g1（k；m；y）求解\sspeq（g1（k；1；y））^m$，这导致标准线性$g1（k；y）：=g1（k；1；y）$的非齐次微分方程，即\开始{方程式}[1-（k-1）\，y]\，g1^{prime}（k；y）\spm（k-1，，\标签{（3.8）}\结束{方程式}初始条件$g1（k；0）=0$。解由方程式给出方程式~\ref{（3.5）}（参见方程式~\ref{（1.41）}，\ref{（1.42）}）\电子操作程序\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\bf注10:}广义{\it EIS}\序列号{A001792}序列。类似于由$c2（l；y）$of生成的广义加泰罗尼亚数等式~\ref{（1.23）}（参见注释4），我们可以使用中定义的$c1（l；y）$等式~\ref{（1.42）}作为序列的o.g.f${c1^{（l）}{n}}{n=0}^{infty}$。我们发现了$c1（1；y）=1/（1-y）$生成{\it EIS}\seqnum{A000012}（1的幂），$c1（2；y）$是序列的o.g.f\序列号{A001792}（$n$）。序列的{\it EIS}A编号对于$l=k-1$，见表3第二列，对于$l=1，。。。，5$ 并且$1=-1-6美元。另请参阅{\it EIS}\seqnum{A053113}。为了使$g1（1；y）=y$，我们设置$c1（0；y）\equiv 1$（参见公式~\ref{（1.41）}）。的显式表达式带有$l\in\Na$的$c1^{（l）}_{n}$在等式~\ref{（1.43）}中给出。另外，$c1^{（0）}_{n}=\delta_{n，0}$和$c1（-l；x）$是$l\in\Na$的$x$多项式。例如，$c1（-3；x）\sspeq 1\sspp 3，x\sspp 3，x^2。$中系数的三角形这些多项式可以作为{它是EIS}\序列号{A049323}（增加$x$的权力），或\序列号{A033842}（$x$的递减幂）。这些系数的显式等式~\ref{（1.44）}中给出。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\bf引理18:}矩阵${\bfs1}（k）$的项是{\bfZ}$中所有$k\的整数。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\it-Proof}:${\bfs1}（k）$的第一列包含自$c1（k-1；y）$生成中显式给定的整数$c1^{（k-1）}{n}$给出了等式~\ref{（1.43）}和~\ref}（1.44）}，以及$g1（k；y）$通过等式~\ref{（1.41）}（参见引理17）。案例$k=1$是微不足道的。因为${\bf s1}（k）$是一个普通的卷积三角形（或Bell矩阵）证明第一列由整数组成就足够了。\hskip 1cm\eop\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\bf引理19:}矩阵${\bfs2}（k）$的项是{\bfZ}$中所有$k\的整数。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\it-Proof}：一旦建立，$s2（k；n，m）的所有条目$根据引理3为非负整数。为了证明，我们首先将等式\ref{（1.18）}和\ref}（1.38）{替换为等式~\ref{（3.2）}。为$k\在{\bf Z}$中定义符号矩阵${\bf-s2s}（k）$乘以$s2s（k；n，m）：=（-1）^｛n-m｝\，s2（k；n，m）$。那么等式~\ref{（3.2）}意味着\开始{方程式}{\bf s2s}（k）\，\cdot\，{\bfs1（k）}\speq{\bf1}\。\标签{（3.9）}\结束{方程式}使用$s1（k；n，m）$是前一个整数的事实引理（从引理16开始，它们甚至被认为是非负的）这个方程允许我们递归地进行证明。我们省略了细节~\电子操作程序\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\bf注11:}使用引理16和19，等式~\ref{（1.21）}和~\ref｛（1.22）｝表明$c2（l；y）\sspeq\sum_{n=0}^{\infty}\，c2^{（l）}_{n}\，y^n$等式~\ref{（1.23）}中定义的为所有$l\在{\bf Z}\setminus\{0\}$中。它们的显式形式如下所示\开始{方程式}\标签{E77}c2^{（l）}{n}\speql^n\，\prod_{j=1}^{n}\，（j\，l-1）/（n+1）！~。\结束{方程式}根据定义，$c2（0；y）\sspdef 1$。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\bf引理20:}第一类无符号$k-$Stirling三角形，${\bf S1p}（k）$，在等式~\ref{（1.36）}中为$k\in\Na$定义，是$G1p（k；m；x）\speq\frac{1}{m！}，（G1p（k；1；x））^m$，$m\in\Na$，带$G1p（k；1；x）\spequiv G1p（k；x）\speq（k-1）\，g1（k；{压裂{x}{k-1}}）$用于$k=2,3，…$和$G1p（1；1；x）\spequiv G1p（l；x）\speq-\，ln（1-x）$。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{it证明：}对于$k\geq 2$，从等式~\ref{（1.36）}替换$S1p（k；n，m）$中给出的$G1p（k；m；x）$定义中的~\ref{（1.38）}等式~\ref{（1.46）}。这样，o.g.f.$g1（k；m；y）$出现在普通无符号斯特林数的结果（$k=1$）是众所周知的\引用{AS}。\hskip 1cm\eop\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）{\bf注12:}$G1p（k；m；x）$的显式形式，$k>1$：eq.~\ref{（1.48）}和引理20。方程式\ref{（1.48）}来自方程~\ref{（1.40）}中的o.g.f.$g1（k；m；y）$和~\参考{（3.5）}。这表明$G1p（k；1；x）\speq-\，\overline{G2（k；-x）}$，负成分等式~\ref{（1.24）}的$G2（k；-x）$的逆运算。逆Jabotinsky矩阵类似于${\bf S2}$和${\ff S1}$（{\it-cf}.eqs.~\ref{（3.2）}和~\ref}（3.4）}）有第一列，例如f，它们彼此相反在构图的意义上\cite{Knuth}。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\bf引理21:}${\bf-S1}（k）$的行多项式。对于{\bf Z}$中的$k\，行多项式的e.g.f$S1_{n}（k；x）\spdef\sum_{m=1}^{n}\，S1（k，n，m）\，x^m\$，$n\in\Na$，和$S1_{0}（k；x）：=1$是\开始{方程式}{\cal G}1（k；z，x）：=\sum_{n=0}^{\infty}S1_{n}（k；x）\，z^n/n！\speq e ^{x\，G1（k；z）}\，\标签{（3.11）}\结束{方程式}其中$G1（k；z）\sspeq（-1\sspp（1+z）^{1-k}）/（1-k）$表示$k\neq 1$，和$G1（1；z）\sspeq-ln（1+z）$是第一个的e.g.f.s三角矩阵$｛\bf S1｝（k）$的$（m=1）$列序列。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\it-Proof}：类似于引理9。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\bf注13:}$S1（k；n，m）\speq\左[{\frac{z^n}{n！}}\right]\，[x^m]\，e^{x\，G1（k；z）}\$（参见注释7）。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）命题5:}$S1_{n}（k；x）的指数卷积性质$多项式。在引理21中为$n\in\N0$定义的行多项式$S_｛n｝（k；x）$，满足{\bf Z}$中每个$k的指数（或二项式）等式~\ref{（1.26）}中显示的卷积属性替换了$S2$以$S1$计算。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\it-Proof}：对于固定$k$，比较$z^n/n！$的系数在两者上标识${\cal G}1（k；z，x+y）\speq{\cal G}1（k，z，x）的侧面，{\cal G}1（k；z，y）\$.\\\eop\pbn｛\bf注14：｝在本影演算的记法中（｛\bit cf.｝\cite｛Roman｝）多项式$S1_{n}（k；x）$称为关联多项式多项式（或Sheffer）序列$（1，\上一行{G1（k；t）}\speq G2（k））$。对于$k\neq 1$$G2（k；t）$在中给出等式~\ref{（1.24）}。另外$\上划线{G1（1；t）}\sspeq G2（1）\sspeq exp（t）-1$。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\bf命题6:}O.g.f.对于${\bfs1}（k）$triangles的行和。对于{\bf Z}\setminus\{1\}$中的$k下三角矩阵${\bfs1}（k）$的行和由下式给出方程~\ref｛（1.52）｝。\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{证明}：引理11和$g1（k；x）$产生于引理17。\\eop\vspace*{+.1in}\noindent{\bf命题7:}${\bf-S1p}（k）$和${\bf-S1}（-|k|）$三角形行和序列的示例f。对于{\bf\N0}$中的$k\非负下三角矩阵${\bf S1p}（k）$，相应的${\bf S1}（-|k|）$，分别在等式~\ref{（1.36）}中定义。等式~\ref{（1.37）}，分别由等式~\ref{（1.55）}给出。等式~参考{（1.56）}。\vspace*｛+.1英寸｝\无音（noindent）{\it-Proof}：引理12和$G1p（k；x）$，分别$G1（-|k|；x）$，来自引理20，{it即}等式~ref{（1.48）}，分别。等式~\ref{（1.49）}.\\\eop\pbn{\bf注释15:}分别为带符号${\bf-S1}（k）$、$k\in\Na$的行数。${\bf S1s}（-|k|）$三角形。这里引理12适用于例如f.s$G1（k；x）$，resp。$G1s（-|k|；x）$，分别在等式~\ref{（3.11）}后的第一行中给出。在等式~\ref{（1.49）}后面的段落中。\pbn\pbn\第*{\bf节确认}作者想感谢Stefan Theisen很早就进行了对话这项工作的阶段（注6，案例$k=1$）。也感谢诺伯特·德拉贡他指出了他的网页（参考{Dr}）。这项工作起源于作者1998/1999年共形场理论讲座中的一个练习（{\it Konforme Feldtheorie}，Blatt 1，Aufgabe 2，可用作ps.gz文件\htmladdnormal链接{http://www-itp.physik.uni-karlsruhe.de/${\\tilde{}}\$wl/Uebungen.html}{http://www-itp.physik.uni-karlsruhe.de/~wl/Uebengn.html}）。%http://www-itp.physik.uni-karlsruhe.de/${\\tilde{}}\$wl/Uebungen.html）。\pbn\pbn\开始{书目}{99}\bibitem{AS}M.Abramowitz和I.A.Stegun：{数学函数手册}，多佛，1968年。%\bibitem{Dr}N.Dragon:{\it\htmladdnormallink{Konforme转换}{http://www.itp.uni-hannover.de/${\\tilde{}}\$dragon/Group.html}}，ps.gz文件：\\\bibitem{Dr}N.Dragon:{\it\htmladdnormallink{Konforme转换}{http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/Group.html}}，ps.gz文件：\\网址：http://www.itp.uni-hannover.de/${\\tilde{}}\$dragon/Group.html和引用在那里。\bibitem{GKP}R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik:{混凝土数学}，Addison-Wesley，Reading MA，1989年。\bibitem{Knuth}D.E.Knuth：卷积多项式，《数学杂志》，（1992），67-78。\bibitem{Riordan ICA}J.Riordan:{\it组合学导论分析}，威利，纽约，1958年。\分目{罗杰斯}D.G.罗杰s：帕斯卡三角形、加泰罗尼亚数字和更新数组，{\it离散数学}{\bf 22}（1978），301-310。\bibitem{Roman}S.Roman:{\it《数学微积分》，学术出版社，纽约，1984年\bibitem{S}L.W.Shapiro：加泰罗尼亚三角形，{\it离散数学}｛\bf 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\line$\vdots$&&&\\hline（$\vdot$&&&\\hline）&&&\\-5&\序号{A049224}&\seqnum{A025751}（杰拉德）&\序列号{A025759}（杰拉德）\\&&&\\\hline线&&&\\-4&\序号{A049223}&\seqnum{A025750}（杰拉德）和\seqnum{A05758}（吉拉德）\\&&&\\\l线路&&&\\-3&\序列号{A049213}&\seqnum{A025749}（杰拉德）&\seqnum{A025757}（杰拉德）\\&&&\\\hline线&&&\\-2&\seqnum{A048966}&\sequum{A025748}（杰拉德）&\sequenum{A025756}（吉拉德）\\&&&\\\hline线&&&\\-1&\seqnum{A033184}（加泰罗尼亚语）&\sequum{A000108}\\&&&\\\l线路&&&\\0&\seqnum{A023531}（$\bf 1$矩阵）&\sequum{A000007}\\&&&\\\hline线&&&\\2&\seqnum{A007318}（$n-1，m-1$）（帕斯卡）&\sequum{A000012}&\sequenum{A000079}（2$的幂）\\&&&\\\hline线&&&\\3&\seqnum{A035324}&\sequum{A001700}（$n-1$）&\sequenum{A049027}\\&&&\\\hline线&&&\\4&\seqnum{A035529}&\seq编号{A034171}（$n-1$）&\sequum{A049028}\\&&&\\\hline线&&&\\5&\seqnum{A048882}&\sequum{A034255}（$n-1$）&\sequenum{A048965}\\&&&\\\hline线&&&\\6&\seqnum{A049375}&\seq编号{A034687}&\seq编号{A039746}\\&&&\\\hline线$\v吨$&&&\\\氯化氢\结束{表格}\结束{中心}\newpage（新页面）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%表2的起始位置：\开始{居中}大{\bf表2:k-第二类斯特林数三角形}}\结束{中心}\开始｛中心｝{\large${\bf S2（k），k=0,1,2，…，}$\hskip 1cm${\b S2p（k）；k=0，-1，-2，…}$}\结束{中心}%\空间{2mm}\开始{居中}\开始{tablar}{cccc}\hline&&&\\$k$&A编号&A编号为&A编号\\&三角形&第一列序列&行和序列\\&&&\\\hline\hline（线）$\vdots$&&&\\hline（$\vdot$&&&\\hline）&&&\\-5&\seqnum{A013988}&\sequum{A008543}（$n-1$）（基恩）&\sequem{A028844}\\&&&\\\l线路&&&\\-4&\seqnum{A011801}&\seq编号{A008546}（$n-1$）（基恩）&\sequenum{A028575}\\&&&\\\hline线&&&\\-3&\seqnum{A000369}&\seq编号{A008545}（$n-1$）（基恩）&\sequenum{A016036}\\&&&\\\hline线&&&\\-2&\seqnum{A004747}&\seq编号{A008544}（$n-1$）（基恩）&\sequenum{A015735}\\&&&\\\hline线&&&\\-1&\seqnum{A001497}（$n-1，m-1$）（贝塞尔）&\sequum{A001147}（$n-1$）&\seqnum{A001515}（Riordan）\\&&&\\\l线路&&&\\0&\seqnum{A023531}（$\bf 1$矩阵）&\sequum{A000007}\\&&&\\\hline线&&&\\ 1&\seqnum{A008277}（斯特林第二类）&\sequum{A000012}（$1$的幂）&\ssequum{A000110}（贝尔）\\&&&\\\hline线&&&\\2&\seqnum{A008297}（无符号Lah）&\seqnum}A000142}（阶乘）&\sseqnum{A000262}（Riordan）\\&&&\\\hline线&&&\\3&\seqnum{A035342}&\sequum{A001147}（2-阶乘）&\sequenum{A049118}\\&&&\\\l线路&&&\\4&\seqnum{A035469}&\sequum{A007559}（3阶乘）&\sequenum{A049119}\\&&&\\\hline线&&&\\5&\seqnum{A049029}&\sequum{A007696}（4-阶乘）&\sequenum{A049120}\\&&&\\\hline线&&&\\6&\seqnum{A049385}&\sequum{A008548}（5阶乘）&\sequenum{A049412}\\&&&\\\hline线$\v吨$&&&\\\氯化氢\结束{表格}\结束{中心}\newpage（新页面）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%表3的起始位置：\开始｛中心｝{\large{\bf表3：相关的k-Stirling数三角形第一类}}\结束{中心}\开始{居中}{\large${\bf s1（k）}$，${\bf k\neq 1}$\\${\b s1（1）：=\bf 1}$}\结束{中心}%\空间{2mm}\开始{居中}\开始{tablar}{cccc}\hline&&&\\$k$&A编号&A编号为&A编号\\&三角形&第一列序列&行和序列\\&&&\\\line \line$\vdots$&&&\\hline（$\vdot$&&&\\hline）&&&\\-5&\seqnum{A049327}&\sequenum{A049323}（5$m$）&\sequum{A049351}\\&&&\\\hline线&&&\\-4&\seqnum{A049326}&\sequenum{A049323}（4$m$）&\sequum{A049350}\\&&&\\\hline线&&&\\-3&\seqnum{A049325}&\sequenum{A049323}（3$m$）&\sequum{A049349}\\&&&\\\hline线&&&\\-2&&序号｛A049324｝&&序号｛A049323｝（2，$m$）&&序号｛A049348｝\\&&&\\\hline线&&&\\-1&\seqnum{A030528}&\sequum{A019590}=\seqnum{A049323}（$1,m$）&\sequenum{A000045}（$n+1$）（斐波那契）\\&&&\\\hline线&&&\\0&\seqnum{A023531}（$\bf 1$矩阵）&\sequum{A000007}（$n-1$）=\seqnum{A049323}（0，$m$）&\ssequum{A000012}（$1$的幂次）\\&&&\\\hline线&&&\\2&\seqnum{A007318}（$n-1，m-1$）\\&&&\\\hline线&&&\\3&\seqnum{A030523}&\seqnum}A001792}&\sseqnum{A039717}\\&&&\\\l线路&&&\\4&\seqnum{A030524}&\seqnum}A036068}&\sseqnum{A043553}\\&&&\\\hline线&&&\\5&\seqnum{A030526}&\seqnum}A036070}&\sseqnum{A045624}\\&&&\\\hline线&&&\\6&\seqnum{A030527}&\seqnum}A036083}&\sseqnum{A046088}\\&&&\\\hline线$\v吨$&&&\\\氯化氢\结束{表格}\结束{中心}\newpage（新页面）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%表4的开始部分：\开始｛中心｝大{\bf表4:k-第一类斯特林数三角形}}\结束{中心}\开始{居中}{\large${\bf S1p（k），k=0,1,2，…，}$\hskip 1cm${\baf S1（k）；k=0，-1，-2，…}$}\结束{中心}%\空间{2mm}\开始{居中}\开始{tablar}{cccc}\hline&&&\\$k$&A编号&A编号为&A编号\\&三角形&第一列序列&行和序列\\&&&\\\line \line$\vdots$&&&\\hline（$\vdot$&&&\\hline）&&&\\-5&\seqnum{A049411}&\sequum{A008279}（5，$n-1$）（数字）&\sequenum{A049431}\\&&&\\\hline线&&&\\-4&\seqnum{A049424}&\seq编号{A008279}（4，$n-1$）（编号）&\sequenum{A049427}\\&&&\\\hline线&&&\\-3&\seqnum{A049410}&\sequum{A008279}（3$n-1$）（数字）&\sequenum{A049426}\\&&&\\\hline线&&&\\-2&\seqnum{A049404}&\seq编号{A008279}（2，$n-1$）（编号）&\sequenum{A049425}\\&&&\\\l线路&&&\\-1&\seqnum{A049403}&\seq编号{A008279}（1，$n-1$）（编号）&\seqnum{A000085}\\&&&\\\hline线&&&\\0&\seqnum{A023531}（$\bf 1$矩阵）&\sequum{A000007}\\&&&\\\hline线&&&\\ 1&\seqnum{A008275}（无符号斯特林第一类）&\sequum{A000142}（$n-1$）&\sechnum{A0001 42}（阶乘）\\&&&\\\hline线&&&\\2&&seqnum｛A008297｝（无符号Lah）&&seqnum｛A000142｝（阶乘）&&seqnum｛A000262｝（Riordan）\\&&&\\\hline线&&&\\3&\seqnum{A046089}&\seq编号{A001710}（$n+1$）（米特里诺维奇$^2$）&\sequenum{A049376}\\&&&\\\hline线&&&\\4&\seqnum{A035469}&\seq编号{A001715}（$n+2$）（米特里诺维奇$^2$）&\sequenum{A049377}\\&&&\\\hline线&&&\\5&\seqnum{A049353}&\seq编号{A001720}（$n+3$）（米特里诺维奇$^2$）&\sequenum{A049378}\\&&&\\\hline线&&&\\6&&序号｛A049374｝&&序号｛A001725｝（$n+4$）（Mitrinovic$^2$）&&序号｛A049402｝\\&&&\\\hline线$\v吨$&&&\\\氯化氢\结束{表格}\结束{中心}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%表末：\newpage（新页面）\vspace*{+.5in}\中心线{\规则{5.4in}{.01in}}\vspace*{+.1in}\无音（noindent）{\小（与序列有关\序列号{A000007}，\序列号{A000012}，\序列号{A000045}，\序列号{A000079}，\序列号{A000085}，\序列号{A000108}，\序列号{A000110}，\序列号{A000142}，\序列号{A000262}，\序列号{A000369}，\序列号{A001147}，\序列号{A001497}，\序列号{A001515}，\序列号{A001700}，\序列号{A001710}，\序列号{A001715}，\序列号{A001720}，\序列号{A001725}，\序列号{A001792}，\序列号{A004747}，\序列号{A007318}，\序列号{A007559}，\序列号{A007696}，\序列号{A008275}，\序列号{A008277}，\序列号{A008279}，\序列号{A008297}，\序列号{A008543}，\序列号{A008544}，\序列号{A008545}，\序列号{A008546}，\序列号{A008548}，\序列号{A011801}，\序列号{A013988}，\序列号{A015735}，\序列号{A016036}，\序列号{A019590}，\序列号{A023531}，\序列号{A025748}，\亮片{A025748}-\序列号{A025755}，\序列号{A025749}，\序列号{A025750}，\序列号{A025751}，\序列号{A025756}，\序列号{A025757}，\序列号{A025758}，\序列号{A025759}，\序列号{A028575}，\序列号{A028844}，\序列号{A030523}，\序列号{A030524}，\序列号{A030526}，\序列号{A030527}，\序列号{A030528}，\序列号{A033184}，\序列号{A033842}，\序列号{A034171}，\序列号{A034255}，\序列号{A034687}，\序列号{A035323}，\序列号{A035324}，\序列号{A035342}，\序列号{A035469}，\序列号{A035529}，\序列号{A036068}，\序列号{A036070}，\序列号{A036083}，\序列号{A039717}，\序列号{A039746}，\序列号{A043553}，\序列号{A045624}，\序列号{A046088}，\序列号{A046089}，\序列号{A048882}，\序列号{A048965}，\序列号{A048966}，\序列号{A049027}，\序列号{A049028}，\序列号{A049029}，\序列号{A049118}，\序列号{A049119}，\序列号{A049120}，\序列号{A049213}，\序列号{A049223}，\序列号{A049224}，\序列号{A049323}，\序列号{A049324}，\序列号{A049325}，\序列号{A049326}，\序列号{A049327}，\序列号{A049348}，\序列号{A049349}，\序列号{A049350}，\序列号{A049351}，\序列号{A049353}，\序列号{A049374}，\序列号{A049375}，\序列号{A049376}，\序列号{A049377}，\序列号{A049378}，\序列号{A049385}，\序列号{A049402}，\序列号{A049403}，\序列号{A049404}，\序列号{A049410}，\序列号{A049411}，\序列号{A049412}，\序列号{A049424}，\序列号{A049425}，\序列号{A049426}，\序列号{A049427}，\序列号{A049431}，以及\序列号{A053113}。）}\中心线{\规则{5.4in}{.01in}}\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2000年2月11日收到；发表于《整数序列杂志》2000年9月13日；2000年11月30日进行了微小的编辑修改；固定的OEIS链接8月11日2012\中心线{\规则{5.4in}{.01in}}\vspace*{+.1in}\无音（noindent）返回\htmladdnormalllink{整数序列日志主页第}页{网址：http://www.oeis.org}.\中心线{\规则{5.4in}{.01in}}\结束{文档}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%文件结束日期：%%%