\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{amsmath}\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{amscd}\使用包{graphicx}\usepackage[colorinks=true，链接颜色=网绿色，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\使用包{graphics}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\使用包{breakurl}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{https://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf近似连续和\\\vskip.1英寸积分根}\vskip 1厘米\大型蓬波尔·阮公（Pongpol Ruankong）和坎塔普·库哈帕塔纳库尔（Kantaphon Kuhapatanakul）\\数学系\\科学学院\\卡塞萨尔特大学\\曼谷10900\\泰国\\\链接{mailto:fscippru@ku.ac.th}{fscippru@ku.ac.th}\\\链接{mailto:fscikpkk@ku.ac.th}{fscikpkk@ku.ac.th}\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们给出了Saltzman和Yuan关于连续积分根和的结果的另一种证明。我们使用AM-GM-HM不等式来证明主要结果。此外，结果所适用的下限也大大提高了。\结束｛摘要｝\章节{引言}对于每个实数$x$，让$\left\lfloor x\right\rfloor$表示不超过$x$的最大整数。许多数学家已经研究了连续积分根的和（参见{公顷}-\引用{zh}）。例如，以下恒等式适用于每个正整数$n$：\开始{itemize}\物品[$（1）$]$\left\lfloor\sqrt n+\sqrt{n+1}\right\rfloor=\left\floor\squart{4n+1}\ right\rfloor$\物品[$（2）$]$\left\lfloor\sqrt n+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}\right\rfloor=\left\floor\scrt{9n+8}\right \rfloor$\物品[$（3）$]$\left\lfloor\sqrt n+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\squart{n+3}\right\rfloor=\left\floor\squart}\rift\rfloor$\物品[$（4）$]$\left\lfloor\sqrtn+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\scrt{n+3}+\squrt{n+4}\right\rfloor=\left\floor\scrt}25n+49}\right \rfloor$\物品[$（5）$]$\left\lfloor\sqrt[3]n+\sqrt[3]{n+1}\right\rfloor=\left\floor\scrt[3]{8n+3}\rift\rfloor$\物品[$（6）$]$\left\lfloor\sqrt[3]n+\sqrt[3]{n+1}+\sqrt[3]{n+2}\right\rfloor=\left\floor\squart[3]{27n+26}\right \rfloor$。\结束{itemize}相反，Zhan\cite{zh}表明，对于任何实数$c$，都有一个正整数$n$，如下所示$$\left\lfloor\sqrtn+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\squart{n+3}+\scrt{n+4}+\squrt{n+5}\right\rfloor\neq\left\ lfloor/sqrt{36n+c}\right \rfloor。$$Saltzman和Yuan引用{sy}给出了$n\ge4$的类似公式。$$\left\lfloor\sqrtn+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\squart{n+3}+\squrt{n+4}+\scrt{n+5}\right\rfloor=\left\ lfloor\sqrt{36n+89}\right \rfloor$$并给出了通用公式：对于所有整数$p，m\ge2$，\开始{方程式}\label{root}\左\lfloor\sqrt[p]{n}+\sqrt[p]{n+1}+\squart[p]{n+2}+\cdots+\sqrt[p]}{n+m-1}\right\rfloor=\left\lfloor\sqrt[p]{m^pn+\frac{m^p（m-1）}{2}-1}\右侧地板\结束{方程式}保留所有正整数\开始{方程式}\label{bound}n> 压裂{m^p（m-1）（2m-1）（p-1）}{12p}。\结束{方程式}他们利用凹函数的性质来近似连续积分根的和。本文利用AM-GM-HM不等式给出了\eqref{root}的另一种证明，并在$n$上获得了一个新的下界，它大约是\eqref{bound}的一半。\部分{结果}在接下来的部分中，让$m$和$p$是两个大于$1$的正整数，让$m=\frac{（p-1）m^p（m^2-1）}{12p}$，并让$i_1，i_2，\dots，i_p\In\{0,1,2，\dotes，m-1}$。由$A_p、G_p$和$H_p$分别表示正整数$n+i_1、n+i_2、点、n+ip$的算术平均值、几何平均值和调和平均值，即。，\开始{align*}A_p&=\压裂{1}{p}\sum_{j=1}^p（n+i_j）\\G_p&=\sqrt[p]{（n+i_1）\点（n+i _p）}\\H_p&=\frac｛p｝｛\sum_｛j=1｝^p\frac｛1｝｛n+i_j｝｝｝。\结束{align*}通过众所周知的AM-GM-HM不等式，$$H_p\le G_p\le A_p$$其中等式成立当且仅当$n+i_1=n+i_2=\cdots=n+ip$。为了证明主要定理，我们首先给出了两个技术引理。\开始{引理}\标签{lem1}对于每个正整数$n$，$$\sum_{i_1=0}^{m-1}\dots\sum_{i_p=0}^{m-1\left（A_p-H_p\right）<\dfrac{m}{n^{p-1}}\left（n+\frac{m-1{2}\right，^{p-2}）$$\结束{引理}\开始｛证明｝注意\开始{align*}A_p-H_p&=\压裂{1}{p}\sum_{j=1}^p（n+i_j）-\压裂{p}{\sum_}j=1}\\&=\压裂{\左（\左（n+\压裂{1}{p}\sum{j=1}^pi_j\右）\左（\frac{1}}{p{\sum{k=1}^p\压裂{\prod_j=1}^p（n+i_j）}{n+i_c}\右）-\prod_{j=1{p（n+i_j c{\prod_{j=1}^p（n+ij）}{n+ik}}。\结束{align*}因此$$\压裂{A_p-H_p}{p}\sum_{k=1}^p\压裂{\prod_{j=1}^p（n+i_j）}{n+i~k}=\左（n+\frac{1}{p{\sum_j=1}^pi_j\右）\左（\压裂{1}{p}\sum_k=1}右）-\prod_{j=1}^p（n+i_j）$$接下来，我们确定\开始{方程式}\标记{coef}\sum_{i_1=0}^{m-1}\dots\sum_{i_p=0}^{m-1}\left（left（n+\frac{1}{p}\sum_j=1}^pi_j\right）\left右侧）\结束{方程式}作为变量$n$中的多项式。很容易看出，\eqref{coef}中$n^p$和$n^{p-1}$的系数为零。此外，我们声称，对于每一个$t=2,3，点，p$，eqref{coef}中$n^{p-t}$的系数等于$M{p-2\choose-t-2}left（\frac{M-1}{2}right）^{t-2}$，这意味着多项式是$M\left（n+\frac{M-1}{2\right）。当$t=2,3，\dots，p$时，\eqref{coef}中$n^{p-t}$的系数等于以下值的和：\开始{itemize}\项目[（i）]$\显示样式\sum{i_1=0}^{m-1}\dots\sum_{i_p=0}^{m-1}\left（\frac{1}{p^2}\sum_{j=1}^pi_j\ left（\sum_S\sum{\substack{j_1<\cdots-->