j$。两个无向弧$\{a,b\}$和$\{c,d\}${em交叉}如果$a<c<b<d$或$c<a<d<b$其中我们假设$a](文本);}\新命令{\forwardarrow}[2]{\node[anchor=east]位于#1(文本){};\节点[anchor=west]位于#2(描述){};\绘制[线宽=0.3mm](描述)边缘[out=135,in=45,<-](文本);}\开始{图形}[t]\开始{居中}\开始{tikzpicture}\{1,…,11}中的foreach\x\节点位于(\x,0){\small$\x$};\后坝箭头{(1+0.1,0.1)}{(3-0.1,0.1){\后坝箭头{(5+0.1,0.1)}{(6-0.1,0.1){\后坝箭头{(9+0.1,0.1)}{(10-0.1,0.1){\后坝箭头{(9+0.1,0.3)}{(11-0.1,0.3){\前向箭头{(3+0.1,0.1)}{(8-0.1,01)}\前向箭头{(3+0.1,0.2)}{(9-0.1,02)}\转发箭头{(4+0.1,0.1)}{(5-0.1,0.1){\转发箭头{(4+0.1,0.2)}{(7-0.1,0.2){\结束{tikzpicture}\结束{中心}\字幕{面部有向图对应于图~\ref{Figure_one}.}中的$B$-对角线集\标签{figure_facial}\结束{图}让$A$是向后箭头的面部有向图在非空有限节点集$V\subseteq\Ppp上$设~$v$为$v$的最小元素。我们定义了{\em Schr\“ordr word}$\SP(A)$面部有向图$A$通过以下递归定义。\开始{itemize}\项目[(i)]如果集合$V$仅由一个节点组成,也就是说,$V=\{V\}$,让$\SP(A)$成为空单词~$\epsilon$。\项目[(ii)]如果最小节点$v$是$A$的独立节点,则让$\SP(A)$是串联$H\cdot\SP(A_{V-\{V\}})$。\项目[(iii)]最后,当节点$v$未被隔离时,因为$v$是最少的元素,必然有一个向后的箭头$(x,v)$进入$v$。设$w$为最小节点这样$(w,v)$是$A$的箭头,即,$w=\ min(\{x\ in V\::\:(x,V)\ in A\})$。定义$\SP(A)$的依据$$ \SP(A)=美国\SP(A_{V\cap(V,w]})\cdot D\cdot\SP(A_{V-(V,w]})。$$\结束{itemize}\开始{引理}设$A$是一组大小为$n+1的节点上的面部有向图$正好由$k$向后箭头组成。然后,Schr“order word$\SP(A)$的长度为$2n$有$U$和$D$两个字母的$k$副本。\标签{lemma_easy_observation}\结束{引理}\开始{proof}这两个语句都是在$n$上进行归纳。第一句话源于以下事实两组节点$V\cap(V,w]$和$V-(V、w]$是相互补充的。第二句话如下通过观察非交叉属性确保$A中的每个箭头$是箭头~$(w,v)$,$A_{V\cap(V,w]}$中的箭头,或$A_{V-(V,w]}$中的箭头。\结束{证明}\开始{命题}映射$\SP$是介于仅由向后箭头组成的所有面部有向图的集合在$n+1$节点集和长度为$2n$的所有Schr“order字上。\标签{命题向后}\结束{命题}\开始{proof}给定长度为$2n的Schr“order word$\alpha$$和一个节点集$V=\{V{1}<V{2}<\cdots<V{n+1}\}$,逆映射如下递归计算。如果$\alpha$是空单词~$\epsilon$,则逆图像是孤立节点~$v{1}$。如果单词$\alpha$以$H$开头,则,$\alpha=H\cdot\beta$,其中$\beta$s的长度为$2n-2$,计算节点上$\beta$的逆图像$\{v{2}、v{3}、ldot、v{n+1}$并将节点$v{1}$添加为独立节点。否则,因数$\alpha$唯一为$U\cdot\beta\cdot D\cdot\ gamma$,其中$\beta$和~$\gamma$是Schr \“长度为$2p$和$2n-2p-2$的顺序词,分别是。计算$\beta的逆图像$在节点$\{v{2}、v{3}、\ldots、v{p+2}\}$上。类似地,计算节点上$\gamma$的反转图像$\{v{1}、v{p+3}、v{p+4}、\ldot、v{n+1}\}$。把这些结合起来两个有向图并添加向后箭头~$(v{p+2},v{1})$。\结束{proof}现在,我们将双射$\SP$扩展到所有面部有向图。为此,我们引入了{\em扭曲操作$\tw$}在每个有向图$A$上,从最小元素开始有一个向前箭头v$中的$v\到v$中最大的元素$w\。{\em扭曲有向图}$\tw(A)$是带有箭头集的节点集$V-\{V\}$上的有向图$$E(\tw(A))=E(A_{V-\{V\}})\以下为:\杯子\:\{(w,z)\::\:(v,z)\in A,z\neq w\}。$$换句话说,我们删除最少的节点$v$并替换每个转发节点箭头$(v,z)$从$v$开始,带有向后箭头$(w,z)$。请注意$A$中没有向后箭头$(z,v)$,因为$v$是前进箭头$(v,w)$。\开始{引理}设$V$是最小(分别是最大)节点为$V的节点集$(分别为$w$)。扭曲图是集合$V上面部有向图集合的双射$包含面部有向图集的前进箭头$(v,w)$集合$V-\{V\}$。\标签{lemma_twisting}\结束{引理}\开始{proof}我们声称扭曲有向图$\tw(A)$是面部有向图。注意,限制~$A_{V-\{V\}}$是一个面有向图。如果$(v,z)$形式的$A$中没有前进箭头,其中$z<w$,等式$\tw(A)=A{V-\{V\}}$成立,且该断言为真。因此,假设有~$(v,z)$形式的向前箭头。我们需要证明在添加向后箭头$(w,z)$。我们验证的条件(1)到(4)命题~\ref{position_facial_digraphs}整齐。如果箭头$(w,z)$与箭头~$(x,y)交叉$然后箭头~$(v,z)$已经在$A$中穿过了这个箭头,验证条件~(1)。由于我们没有引入任何新的前进箭头,条件~(2)为空。假设向后箭头~$(w,z)$嵌套了向前箭头$(x,y)$。然后,前进箭头$(v,z)$和$(x,y)$没有嵌套在$A$中,验证~(3)。条件~(4)直接成立,证明了该主张。扭曲贴图是一对一的。相反的有节点集$V(\tw^{-1}(B))=V(B)\cup\{V\}$和箭头集由以下公式给出$$E(\tw^{-1}(B))=\{(v,w)\}\:\杯子\:E(B_{V\cap(V,w)})\:\杯子\:\{(v,z)\::\:(w,z)\B\}中,$$其中$V\cap(V,w)$表示交叉点集合$V$的打开间隔为$(V,w)$。注意,如果节点$w$是“尾部节点”,反向映射将其切换回“head node”。\结束{proof}现在我们将双射$\SP$扩展到映射$\DP$这适用于所有面部有向图。设$A$是节点集$V$上的面部有向图。此外,让$v$和$w$分别是最小值节点集~$V$的最大节点,也就是说,$v=最小(v)$和$w=最大(v)$。\开始{itemize}\项目[(i)]如果面部有向图$A$没有向前箭头,设$\DP(A)=\SP(A)$。\项目[(ii)]如果面部有向图$A$有向前箭头,设$(x,y)$是向前箭头,它嵌套了其他向前箭头。由于$v\leq x<y\leq w$,注意有向图$A_{V\cap[V,x]}$和$A__{V\ cap[y,w]}$没有前进箭头。将$\DP(A)$定义为串联$$\DP(A)=\SP(A_{V\cap[V,x]})\cdot D\cdot\DP(\tw(A_{V\cap[x,y]}))\cdot U \ cdot\SP(A_{V\cap[y,w]})。$$\结束{itemize}作为引理~\ref{Lemma_easy_observation}的推广我们有以下引理。\开始{引理}设$A$是$n+1$个节点的集合$V$上的面部有向图并假设$A$由$k$箭头组成。那么平衡的Delannoy单词$\DP(A)$的长度为$2 n$和分别有$U$和~$D$两个字母的$k$副本。\结束{引理}\开始{proof}我们只需证明定义$\DP$的第二种情况的引理。假设$V\cap[V,x]$和$V\cap[y,w]$基数分别为$a$和$b$。然后是中间部分$V\cap[x,y]$的大小为$n-a-b+3$。因此$\tw(A_{V\cap[x,y]})$有$n-A-b+2$个节点。因此,总长度为$2\cdot(a-1)+2\cdot(n-a-b+1)+2\ cdot(b-1)+2=2 n$。对于引理的第二种情况,假设限制有向图$A_{V\cap[V,x]}$和$A__{V\ cap[y,w]}$分别有$c$和$d$箭头。由于没有箭头嵌套前进箭头~$(x,y)$,中间有向图$A{V\cap[x,y]}$有$k-c-d$箭头。因此,扭曲有向图少了一个箭头,即$k-c-d-1$。因此,$U$字母的总数是$c+(k-c-d-1)+d+1=k$,证明了第二个断言。\结束{proof}我们现在扩展Proposition~\ref{Proposition_backwards}所有面部有指图。\开始{定理}映射$\DP$是介于所有面部有向图的集合在$n+1$节点集和所有平衡Delannoy字集上长度$2n$。\标签{theorem_forwards_and_backwards}\结束{定理}\开始{proof}映射$\DP$的倒数计算如下。设$\alpha$是长度为$2n的平衡Delannoy单词$$V$是一个节点集$\{V{1}<V{2}<\cdots<V{n+1}\}$。如果Delannoy单词$\alpha$是Schr“order单词,则应用命题~\ref{proposit_backwards}。否则,我们可以对Delannoy单词$\alpha$进行唯一分解作为$\beta\cdot D\cdot\gamma\cdot U\cdot\ delta$,其中$\gamma$是一个平衡的Delannoy单词,$\beta$和~$\delta$是Schr“order单词。注意,系数$\beta\cdot D$是唯一的由最短的首字母决定$D$字母数超过$U$字母数的段,换句话说,编码路径以第一个down结束水平轴下方的台阶。通过对称论点,$U\cdot\delta$是最短的最后一段比~$D$的数量多~$U$一个。假设$\beta$、$\gamma$和$\delta$的长度分别为$2p$、$2q$和~$2n-2p-2q-2$。应用证明中的逆映射命题~\ref{proposit_backwards}到单词$\beta$和$\delta$以获得$\{v{1},v{2},\ldots,v{p-1}\}$上的有向图,分别地$\{v{p+q+2},v{p+3},\ldots,v{n+1}\}$。通过递归,将$\DP$的倒数应用于$\gamma$,以获得面部节点集$\{v{p+2}、v{p+3}、\ldots$、$v{p+q+2}上的有向图。然后将扭转映射的逆映射应用于有向图,从而获得。最后,取这三个有向图的并集。\结束{proof}\开始{图形}[t]\开始{居中}\开始{tikzpicture}\{1,…,11}中的foreach\x\节点位于(\x,0){\small$\x$};\后坝箭头{(1+0.1,0.1)}{(3-0.1,0.1){\后坝箭头{(5+0.1,0.1)}{(6-0.1,0.1){\后坝箭头{(5+0.1,0.3)}{(7-0.1,0.3){\后坝箭头{(8+0.1,0.1)}{(9-0.1,0.1){\后坝箭头{(9+0.1,0.1)}{(10-0.1,0.1){\向后箭头{(9+0.1,0.3)}{(11-0.1,0.3)}\结束{tikzpicture}\结束{中心}\标题{从中的集合获得的修改的箭头集合图~\ref{Figure_face}.}\标签{figure_twisted}\结束{图}\{双射的非递归描述}\标签{section_non-recursive_description}我们现在给出双射$\DP$的非递归描述。首先,我们用一组索引字母。\开始{definition}\标签{definition_multiset}给定节点集$V$上的面部有向图$a$,定义{\em关联的多集$M(A)$}包含索引字母集中的元素$\{D_{x},U_{xneneneep,H_{x{:::x\in\Ppp\}$通过以下三个步骤:\开始{enumerate}\项目对于每个$x<\max(V)$,这是弱连通分量我们添加字母$H_{x}$到多集$M(A)$。\项目对于向前箭头的每个尾部$x$,考虑一下这个集合$\Head(x)=\{y>x\::\:(x,y)\在A\}$中,即带有尾部的前箭头头$x$。将字母~$D_{x}$的副本添加到~$M(a)$,还为添加字母~$U{w}$的副本$w=\最大值(\头(x))$。取下前进箭头~$(x,w)$。对于每个剩余的$y\in\Head(x)$,小于$w$,将前进箭头$(x,y)$替换为后退箭头$(w,y)$。生成的箭头集只有反向箭头。\项目对于向后箭头的每个头部$y$,考虑一下这个集合$\尾(y)=\{x>y\::\:(x,y)\在A\}$中,也就是说,一套头部为$y$的后向箭头尾部。将$U_{y}$的副本添加到~$M(a)$。还为$x\in\Tail(y)添加$D_{x}$的副本$并为添加$U_{x}$的副本除了$\Tail(y)$的最大元素之外的所有元素。\结束{enumerate}\结束{定义}\开始{example}{\rm对于中显示的面部箭头集$A$图~\ref{Figure_facial},在第一步中,我们将字母$H_{2}$和$H_}7}$添加到$M(A)$。在第二步中,我们添加字母$D_{3}$、$U_{9}$、$D_{4}$和~$U_}7}$到~$M(A)$,我们删除了前进箭头$(3,9)$和$(4,7)$。我们还将$(3,8)$替换为~$(9,8)美元,将$(4,5)$替换成$(7,5)美元。我们获得了如所示的一组向后箭头图~\ref{Figure_twisted}。请注意,这组箭头不需要面部表情:在我们的例子中,$9$是$(10,9)$和$(11,9)的头部$它也是$(9,8)$的尾部。最后,在第三步中,我们添加字母$U_{1}$,$D_{3}$,$U_{5}$,美元D_{6}$,$U_{6}$,$D_{7}$,$U_{8}$,$D_{9}$,$U_{9}$、$D_{10}$、$U_{10{$和$D_{11}$到~$M(A)$。我们最终得到了多集$$M(甲)=\{U_{1},H_{2},D_{3},D_{3},D_{4},U_{5},D_{6},U_{6},D_{7},U_{7},H_{7},U_{8},D_{9},U_{9},U_{9},D_{10},U_{10},D_{11}\} .$$}\结束{示例}在上定义线性顺序不等式索引字母$D_{x}<U_{x{<H_{xneneneep<D_{x+1}$对于所有正整数$x$。我们得到如下晶格路径。\开始{命题}平衡的Delannoy单词$\DP(A)$是通过读取按顺序索引字母,然后省略下标。\标签{命题_双对象_显式}\结束{命题}对于图~\ref{Figure_facial}中显示的一组箭头,我们获得单词$$UHDDDDUDUHUDUD(美元)$$由以下代码编码的晶格路径单词如图~\ref{Figure_lattice_path}所示。\开始{图形}[t]\开始{居中}\开始{tikzpicture}\绘制(-5,0)节点(v1){}——(-4.5,0.5)——(-3.5,0.5;\绘制[虚线](v1)边(v2);\节点位于(-5,-0.2){(0,0)};\节点位于(-3,-0.5){(4,0)};\节点位于(3.2,-0.3){(16.0)};\节点位于(5,-0.2){(20.0)};\结束{tikzpicture}\结束{中心}\标题{与有向图关联的格路径在图~\ref{Figure_face}.}中\标签{figure_lattice_path}\结束{图}回想一下,有向图的{\em弱连通分量}是通过以下方法获得的图中的连接组件忽略箭头的方向。在我们的面部有向图中,弱连通分量是树。证明的简要提纲命题~\ref{Proposition_bijection_explicit}如下所示。首先证明没有向前箭头的面部有向图的语句。在本例中,$\Tail(y)的每个非最大元素$x$$提供两个连续的字母$D_{x}U_{y}$。接下来,观察一下有向图及其扭曲有向图相同的弱连接组件。此外,在扭曲手术仍然有相同的头部。因此,在记录步骤~(1)中的水平步数后我们可以同时进行所有扭转操作在步骤~(2)中。我们把剩下的细节留给读者。\第{节结束语}类型$B$结合面体$Q^{B}_{n}的面$通过包容具有自然的秩序。这个订单的图片是什么在我们的反对下?平衡的顺序是否不同Delannoy路径会产生更自然的保序双射吗?\{确认}节我们要感谢裁判的大力帮助改进演示文稿。第一及第三作者感谢美国高等研究院新泽西州普林斯顿,2018年夏季进行研究访问。这项工作得到了来自西蒙斯基金会(#429370寄给理查德·埃伦堡,\#245153和514648至G’abor ~ Hetyei,206001和422467至玛格丽特·雷迪)。\新命令{\journal}[6]{#1,#2,\emph{#3}{\bf#4}(#5),#6.}\新命令{\book}[4]{#1,\emph{#2},#3,#4.}\新命令{\bookf}[5]{#1,\emph{#2},#3,#4,#5.}\开始{书目}{99}\围兜项目{Ardila_Beck_Hosten_Pfeifle_Seashore}\期刊{F.\Ardila,M.\Beck,S.\Ho\c{S}ten,J.\Pfeifle和K.\Seashore{根多面体和根格的生长级数}{SIAM J.\离散数学}{25}{2011}{360--378} \bibitem{Athanasiadis}(圣经)\期刊{C.\Athanasiadis}{$h^*$-向量,欧拉多项式图}的稳定多面体{电子\J.\组合}{11(2)}{2004}{论文R6}\bibitem{Banderier_Schwer}\期刊{C.\Banderier和S.\Schwer}{为什么是德拉诺伊数字?}{J.\统计\计划\推断}{135}{2005}{40--54}\bibitem{博特陶贝斯}\期刊{R.\Bott和C.\Taubes}{关于节点的自链接。拓扑和物理}{J.\数学\物理}{35}{1994}{5247--5287}\bibitem{Cho}\日志{S.\Cho}{类型为$A_n$的根的多面体}{公牛\Austral.\Math.\Soc.}{59}{1999}{391--402}\bibitem{deLoera_Rambau_Santos}\书籍{J.\A.\de Loera、J.\Rambau和F.\Santos}{三角化:算法和应用程序的结构}{算法计算\Math.\vol.\25}{弹簧-Verlag}{2010} \bibitem{Ehrenborg_Hetyei_Readdy}\期刊{R.\Ehrenborg、G.\Hetyei和M.\Readdy}{Simion的$B$associahedron类型是一个拉三角剖分勒让德多面体}{离散计算\Geom.}{60}{2018}{98--114}\bibitem{Hetyei_Legendre}\期刊{G.\Hetyei}{勒让德多面体的德兰诺伊orthants}{离散计算\Geom.}{42}{2009}{705--721} \bibitem{哈德逊}J.\F.\P.\Hudson,{\it分段线性拓扑},W.\A.\Benjamin,Inc.,1969年。\bibitem{Simion(西蒙)}\期刊{R.\Simion}{B型结合面体}{应用\数学中的高级}{30}{2003}{2--25}\bibitem{斯坦利作文}\期刊{R.\P.\Stanley}{有理凸多面体的分解}{Ann.\离散数学}{6}{1980}{333--342} \围兜\期刊{J.\Stasheff}{从歌剧到“物理”灵感理论}{上下文\数学}{202}{1997}{53-81}\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010(数学学科分类):初级52B05;次要05A15、05E45、52B12。\noindent\emph{关键词:}Delannoy编号,类型$B$关联面体,Bott-Taubes多面体,Schr“order path,$f$-vector。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent(与序列有关\序列号{A006318},\序列号{A008288},\序列号{A008459},以及\序列号{A063007}。)\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音(noindent)2018年6月26日收到;2018年10月15日收到修订版;2018年12月13日。发表于2018年12月18日的{整数序列杂志}。\大跳跃\小时\大跳跃\无音(noindent)返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}。\vskip.1英寸\结束{文档}