\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\使用包{commath}\usepackage[colorinks=true，链接颜色=网绿色，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{网址：http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\新命令{\Y}{\mathscr{Y}}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf包含幂的行列式\\\vskip.12英寸广义斐波那契数}\vskip 1厘米\大型Aram Tangboonduangjit和Thotsaporn Thanatipanonda\\马希隆大学国际学院\\Nakhonpathom纳霍帕西姆73170\\泰国\\\链接{mailto:aram.tan@mahidol.edu}{\taram.tan@mahidol.ac.th} \\\链接{mailto:thotsaporn.tha@mahidol.ac.th}{\tthotsaporn.tha@mahidol.ac.th}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们研究了矩阵的行列式，其项是斐波那契数列。然后，我们扩展结果以包括以下条目是二阶线性递归关系的幂。这些结果激发条目为线性多项式的幂。最后，我们讨论了条目是一般二阶线性乘积的矩阵递归关系。\结束｛摘要｝\章节{引言}\标签｛sec:简介｝在第一期《费波纳契季刊》中，阿尔弗雷德提出了以下问题：\开始{quote}证明$$\begin{vmatrix}F_n^2&F{n+1}^2&F_{n+2}^2\\\F{n+1}^2&F{n+2}^2＆F{n+3}^2 \\F{n+2}^2&F{n+3}^2\end{vmatrix}=2（-1）^{n+1}，$$其中$F_n$是$n$th斐波那契数。\结尾{引号}在《斐波纳契季刊》第二卷中，帕克提出了一个类似的问题每个条目的指数变为$4$，矩阵的维数变为$5\乘以5$。这两个结果自然表明了以下几点问题：如果矩阵的维数和每个条目的指数是任意的，那么类似形式的行列式是什么？Carlitz\cite{Carlitz}通过证明形式$D（r，n）=\abs{F{n+i+j}^r}$的行列式来回答这个问题，其中$i，j=0,1，\dots，r$由\开始{等式}\标记{eq1}D（r，n）=（-1）^{（n+1）{r+1 \选择2}}（F_1^rF_2^{r-1}\cdots F_r）^2\cdot\prod_{i=0}^r{r\choose i}。\结束{方程式}本文通过考虑形式$D（r，s，k，n）=\abs{F{s+k（n+i+j）}^r}$的行列式，进一步推广了条目，其中$i，j=0,1，\dots，r$。我们证明了这一点\开始{方程式}\标记{eq2}D（r，s，k，n）=（-1）^{（s+kn+1）{r+1\选择2}}（F_k^rF_{2k}^{r-1}\cdots F_{rk}）^2\cdot\prod_{i=0}^r\binom{r}{i}。\结束{方程式}Carlitz基于斐波那契数的Binet形式证明公式\eqref{eq1}；然而，我们使用矩阵方法，如Kracentithaler的因式分解方法来证明公式\eqref{eq2}。此外，我们需要一个广义形式的加泰罗尼亚恒等式，由Melham和Shannon\cite{Melham}证明。在第~\ref{sec:Catalan}节中，我们使用序列的矩阵表示和矩阵乘法的性质给出了广义Catalan恒等式的另一种证明。在在第~\ref{sec:Main}节中，我们将公式\eqref{eq2}作为一个行列式的特例给出了证明，该行列式中的项涉及常系数二阶线性递归中的数的幂。在最后一节中，我们给出了行列式，其条目是使用Desnanot-Jacobi恒等式定义为二阶常系数线性递归数的乘积。这项工作使用的方法依赖于第二位作者开发的计算机编程。\{广义加泰罗尼亚恒等式}\标签{sec:Catalan}众所周知的加泰罗尼亚恒等式指出，对于所有非负整数$s$和$i$，$$F_｛s+i｝^2-F_sF_｛s+2i｝=（-1）^sF_i^2$$Melham和Shannon\cite{Melham}对这项工作有用的恒等式进行了推广。然而，我们将提出这一概括的另一种证明。对于带有$c2\neq 0$的整数$a、b、c1$和$c2$，让$W_n=W_n（a，b；c1，c2）$表示具有常系数的二阶线性递归，由$$W_0=a，\，W_1=b\quad\text{和}\quad W_n=c1W_{n-1}+c2W_{n-2}\quad\\text{为$n\ge2$定义。}$$使用这种表示法，斐波那契序列$（F_n）$和卢卡斯序列$（U_n）美元分别对应于$F_n=W_n（0,1；1,1）$和$U_n=W-n（0,1；c_1，c_2）$。此外，我们可以使用这种递归将序列的定义扩展到具有负指数的项。通常，我们可以明确地找到负指数项和正指数项之间的关系。例如，对于斐波那契序列和卢卡斯序列，我们有$$F_{-n}=（-1）^{n+1}F_n\quad\text{和}\quad U_{-n}=（-1）^{n+1}c_2^｛-n｝U_{n} \quad\text{表示$n\ge 1$.}$$\开始{命题}[广义加泰罗尼亚恒等式]\标签{GenCat}设$W_n=W_n（a_0，a_1；c_1，c_2）$和$Y_n=W-n（b_0，b_1；c_1，c_2）$是二阶线性递归。然后\开始{方程式}\标签{eqW}W_{s+i}Y_{s+j}-W_sY_{s+i+j}=（-c2）^s（W_1Y_{j}-W_0Y_{j+1}）\cdot U_i，\结束{方程式}对于所有整数$s、j$和$i$。\结束{命题}\开始｛证明｝证明是通过对$i$的归纳得出的。对于$i=0$的情况，该标识是微不足道的。对于$i=1$的情况，我们有\\$$\开始{pmatrix}W_{s+1}和Y_{s+j+1}\\W_{s}和Y_{s+j}\\\结束{pmatrix}=\开始{pmatrix}c1和c2\\1 & 0 \\\结束{pmatrix}\开始{pmatrix}W_{s}和Y_{s+j}\\W_{s-1}和Y_{s+j-1}\\\结束{pmatrix}=\开始{pmatrix}c1和c2\\1 & 0 \\\结束{pmatrix}^s\开始{pmatrix}W_{1}和Y_{j+1}\\W_{0}和Y_{j}\\\结束{pmatrix}\；\\文本{表示}s\geq 0$$以及$$\开始{pmatrix}W_{s+1}和Y_{s+j+1}\\W_｛s｝和Y_｛s+j｝\\\结束{pmatrix}=\开始{pmatrix}c1和c2\\1 & 0 \\\结束{pmatrix}^{-1}\开始{pmatrix}W_{s+2}和Y_{s+j+2}\\W_{s+1}和Y_{s+j+1}\\\结束{pmatrix}=\开始{pmatrix}c_1和c_2\\1 & 0 \\\结束{pmatrix}^s\开始{pmatrix}W_{1}和Y_{j+1}\\W_{0}和Y_{j}\\\结束{pmatrix}\；\\文本{用于}s<0，$$其中，两个方程中的第二个等式是在第一个等式中重复应用矩阵表示的结果。取任意一个方程两边的行列式，得到\开始｛方程式｝\标签｛eqWb｝W_{s+1}Y_{s+j}-W_sY_{s+j+1}=（-c2）^s（W_1Y_j-W_0Y_{j+1}）。\结束{方程式}现在，考虑两个案例。\开始｛枚举｝\item[]\textbf{Case$i>1$：}假设某些整数$i-1$和$i-2$的恒等式成立。然后\开始{align*}W{s+i}Y{s+j}-W_sY{s+i+j}&=\开始{vmatrix}W_{s+i}和Y_{s+i+j}\\W_{s}和Y_{s+j}\\\结束{vmatrix}\\&=\开始{vmatrix}c1W{s+（i-1）}+c2W{s＋（i-2）}&c1Y{s+\\W_{s}和Y_{s+j}\\\结束{vmatrix}\\&=c_1\开始{vmatrix}W_{s+（i-1）}和Y_{s=（i-1\\W_{s}和Y_{s+j}\\\结束{vmatrix}+c2\开始{vmatrix}W_{s+（i-2）}&Y_{s=（i-2\\W_{s}和Y_{s+j}\\\结束｛vmatrix｝\\&=（-c2）^s（W_1Y_j-W_0Y_{j+1}）（c_1U_{i-1}+c_2U_{i-2}）\\&=（-c_2）^s（W_1Y_j-W_0Y_{j+1}）U_i，\结束{align*}\item[]\textbf{Case$i<0$：}假设某些整数$i+1$和$i+2$的恒等式成立。然后\开始{align*}W{s+i}Y{s+j}-W_sY{s+i+j}&=\开始{vmatrix}W_{s+i}和Y_{s+i+j}\\W_{s}和Y_{s+j}\\\结束｛vmatrix｝\\&=\开始{vmatrix}\dfrac{-c1}{c_2}西_{s+（i+1）}+\dfrac{1}{c_2}西_{s+（i+2）}&\dfrac{-c_1}{c_2}是_｛s+（i+1）+j｝+\dfrac｛1｝{c_2}是_{s+（i+2）+j}\\W_{s}和Y_{s+j}\\\结束{vmatrix}\\&=\dfrac{-c1}{c2}\开始{vmatrix}W_{s+（i+1）}和Y_{s=（i+1\\W_{s}和Y_{s+j}\\\结束{vmatrix}+\dfrac{1}{c2}\开始{vmatrix}W_{s+（i+2）}和Y_{s=（i+2）+j}\\W_{s}和Y_{s+j}\\\结束{vmatrix}\\&=（-c2）^s（W_1Y_j-W_0Y_{j+1}）（\dfrac{-c1}{c_2}U_{i+1}+\dfrac{1}{c_2}U_{i+2}）\\&=（-c_2）^s（W_1Y_j-W_0Y_{j+1}）U_i，\结束{align*}\结束{enumerate}在这两种情况下，我们在倒数第二个等式中应用归纳假设。因此，证明是完整的。\结束{proof}我们注意到Proposition\ref{GenCat}的一些特殊情况在后面的章节中很有用：\开始{方程式}\标签{eqUU}U_{s+i}U_{s+j}-U_sU_{s+i+j}=（-c2）^s\cdot U_iU_j，\结束{方程式}\开始{方程式}\标签{eqWU}U_{s+i}W_{s+j}-U_sW_{s+i+j}=（-c2）^s\cdot U_iW_j，\结束{方程式}和\开始{方程式}\标签{eqWW}W_{s+i}W_{s+j}-W_sW_{s+i+j}=（-c2）^s\cdot（W_1W_j-W_0W_{j+1}）U_i\\=（-c_2）^s\cdot\Delta\cdotU_iU_j，\结束{方程式}其中$\Delta=\begin{vmatrix}W_{1}和W_{2}\\W_{0}和W_{1}\\\end{vmatrix}=a_1^2-c_1a_0a_1-c_2a_0^2$\\我们通过应用命题\ref{GenCat}证明\eqref{eqWW}的第二个等式，如下所示：在\eqref{eqW}中，假设$Y_n=W_n$，分别替换$j=1$和$s=0$，并将索引$i$重命名为$j$。可以重新声明标识\eqref{eqWW}如下：\开始{推论}设$k、n、r、s$和$t$为整数。然后\开始｛方程式｝\标签｛eqWWW｝W_{s+k（n+t）}=A（t）W_{s+kn}+B（t）U_{s+k（n+r）}，\结束{方程式}其中$A（t）=\dfrac{W_{k（t-r）}}{W__{-kr}}$和$B（t）=\dfrac{-（-c2）^{-kr}\cdot\Delta\cdot-U{kt}}{W_{-kr}}$。\结束{推论}\开始｛证明｝给定整数$k'、n'、r'、s'$和$t'$。应用带有$s=-k'r'$、$i=k't'$和$j=s'+k'（n'+r'）$的\eqref{eqWW}，我们得到\开始{方程式*}W_{-k'r'}W_{s'+k'（n'+t'）}=W_{k'（t'-r'）}W_{s+k'n'}-（-c2）^{-k'}\cdot\Delta\cdot U_{k't}U_{s'+k'（n'+r'）}。\结束{方程式*}根据需要，两边除以$W_{-k'r'}$并重命名变量将得到标识\eqref{eqWWW}。\结束{proof}\第{节涉及二阶项幂的行列式重复}\标签{sec:Main}我们在本节中的目标是给出$（r+1）\times（r+1”）$矩阵，其条目为$W_{s+k（n+i+j）}^r$，其中$i、j=0,1、\dots、r$、$s$和$k$是任何整数。这个矩阵是\开始{方程式}\标记{eq30}\马特布{A} _n（n）^{s，k}（r）=\开始{pmatrix}W_{s+kn}^r&W_{s+k（n+1）}^{r}&\cdots&W_}s+k（n+r）}^r\\W_{s+k（n+1）}^r&W_{s+k（n+2）}^{r}&\cdots&W__{s+k（n+r+1）}^r\\\vdots&\ vdots&\ ddots&\ vdots\\W_{s+k（n+r）}^r&W_{s+k（n+r+1）}^{r}&\cdots&W__{s+k（n+2r）}^r\\\结束{pmatrix}。\结束{方程式}我们从以下关于行列式的命题开始是线性多项式的一些幂。\开始{引理}\label{main_lemma}让$c_0，\dots，c_r$和$x_0，\ dots，x_r$成为实数。然后\开始{方程式}\标签{TT}\det（（c_jx_i+1）^r）{0\leqi，j\leqr}=\prod_{0\Leqi<j\leq r}（x_i-x_j）\产品{0\leqi<j\leqr}（ci-cj）\prod_{i=0}^r\binom{r}{i}。\结束{方程式}\结束{引理}\开始｛证明｝我们用因式分解方法\cite{krat}证明了引理ref{main_Lemma}。如果$x_0$被$0的任何$x_i$替换，则行列式将为$0$-->