\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorlinks=true，linkcolor=webgreen，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色｛webbrown｝｛rgb｝｛.6,0｝\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包｛amsthm｝\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{网址：http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf Faulhaber公式的扩展版本}\vskip 1cm\大型拉斐尔·舒马赫\\数学系\\苏黎世ETH\\R“amistrase 101号\\8092苏黎世\\瑞士\\\链接{mailto:raphschu@ethz.ch}{\traphschu@ethz.ch}\\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}本文介绍了著名的Faulhaber的扩展版本公式，用于计算第一个$n$自然数，其中$m$和$n$是两个自然数。我们的表达式类似于Faulhaber的公式，但将第任意非负实数的自然数$\leqx$的幂$x$。\结束{抽象}\章节{引言}\标签{sec:简介}对于两个自然数$m，n \ in \ mathbb{无}_{0}$，Faulhaber公式\Jacob Bernoulli在1700年左右发现的引文{1}提供了一个一种非常有效的方法来计算第一次的百万次幂之和$n$自然数。它是由\开始{displaymath}\和{k=0}^{n} k个^{m} =\frac｛1｝｛m+1｝\sum_｛k=0｝^｛m｝（-1）^｛k｝｛m+1\选择k｝B_{k} n个^{m-k+1}，\结束{显示方式}其中$B_{k}$是伯努利数。本文将证明和$\sum_{k=0}^{lfloorx\rfloor}k^{m}$的类似表达式，其中$x\In\mathbb{右}_{0}^{+}$和$m\in\mathbb{无}_{0}$，用伯努利多项式$B_{k}（x）$代替伯努利数$B_}k}$。该表达式在以下定理中给出：\开始{定理}（扩展的Faulhaber公式）\noindent对于任何$x\in\mathbb{右}_{0}^{+}$我们有\开始{displaymath}\开始{split}\sum_{k=0}^{lfloor x\rfloor}k^{m}=\frac{1}{m+1}x^{m+1}+x^{m-k+1}。\结束{拆分}\结束{显示方式}\结束{定理}我们在但是我们还没有找到它，因此我们相信结果是新的。\节{定义}\标签{sec:定义}像往常一样，我们用$\lfloor x\rfloor$表示$x$的楼层$x$的小数部分乘以$\{x\}$。\开始{definition}对于$k\in\mathbb{无}_{0}$我们定义通过以下指数生成函数\cite{2}得到\emph{$k$-th Bernoulli多项式}$B_{k}（x）$：\开始{displaymath}\压裂{te^{xt}}{e^{t} -1个}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}（x）}{k！}t^{k}\；\对于所有t\in\mathbb{C}\；\文本｛带有$|t|<2\pi$｝。\结束{显示方式}\结束{定义}\开始{definition}emph{$k$-th伯努利数}$B_{k}$被定义为$k$-次伯努利多项式$B_}k}（x）$在$x=0$\cite{2}处的值，即\开始｛displaymath｝B_{k}：=B_{k}（0）。\结束{显示方式}此外，我们从伯努利多项式的定义中得出\开始{displaymath}\压裂{t}{e^{t} -1个}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k！}t^{k}\；\对于所有t\in\mathbb{C}\；\文本{带有$t<2\pi$}。\结束{显示方式}\结束{定义}\{扩展Faulhaber公式的证明}\标签{sec:扩展Faulhaber公式的证明}在本节中，我们将证明Faulhaber公式的扩展版本。\开始{proof}设$m，n\in\mathbb{无}_{0}$是两个自然数。从常用的Faulhaber公式开始\开始{displaymath}\和{k=0}^{n} k个^{m} =\压裂{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}（-1）^{k} B类_{k} {m+1\选择k}n^{m-k+1}，\结束{显示方式}我们获得\开始{displaymath}\和{k=0}^{n} k个^{m} =（-1）^{m}\压裂{B_{m+1}}{m+1}+\压裂{1}{m+1{sum_{k=0}^{m+1{（-1）^{k} B类_{k} {m+1\选择k}n^{m-k+1}。\结束{显示方式}此处设置$n:=\lfloor x\rfloor=x-\{x\}$，用于某些$x\in\mathbb{右}_{0}^{+}$，我们得到\开始{displaymath}\开始{split}\sum_{k=0}^{lfloorx\rfloor}k^{m}&=（-1）^{m{frac{B_{m+1}}{m+1{+frac{1}{m+1}\sum_{k=0.0}^}m+1}（-1）^{k} B_{k} {m+1\选择k}\左（x-\{x}\右）^{m-k+1}\\&=（-1）^{m}\压裂{B_{m+1}}{m+1}+\压裂{1}{m+1{sum_{k=0}^{m+1{（-1）^{k} B_{k} {m+1\选择k}\sum_{l=0}^{m-k+1}（-1）^{m-k-l+1}{m-k+1 \选择l}x^{l}\{x\}^{m-k-l+1}\\&=（-1）^{m}\frac{B_{m+1}}{m+1}+\frac{1}{m+1{sum_{k=0}^{m+1{k}{m+1\choose k}\sum_l=0}^{m-k+1}（-1），\结束｛拆分｝\结束{显示方式}在这里我们使用了二项式定理\开始{displaymath}（a+b）^{n}=\sum{l=0}^{n{n}{n\choose l}a^{l} b条^{n-l}\结束{显示方式}对于$a:=x$、$b:=\{x\}$和$n:=m-k+1$。我们现在交换求和的顺序并使用二项式恒等式\开始{displaymath}\开始{split}{m+1 \选择k}{m-k+1 \选择l}&=\frac{（m+1）！（m-k+1）！}{k！l！（m+1-k）！（mk-l+1）\\&=\压裂{（m+1）！}{k！l！（m-k-l+1）！{\\&=\压裂{（m+1）！（m-l+1）！}{k！l！（m-1+1）\\&={m+1\选择l}{m-l+1\选择k}\结束{拆分}\结束{显示方式}以获得\开始{displaymath}\开始{split}\和{k=0}^{lfloorx\rfloor}k^{m}&=（-1）{x\}^{m-k-l+1}\\&=（-1）^{m}\frac{B_{m+1}}{m+1}+\frac{1}{m+1{sum_{l=0}^{m+1{（-1）\\&=（-1）^{m}\frac{B_{m+1}}{m+1}+\frac{1}{m+1{sum_{l=0}^{m+1{（-1）\\\结束{拆分}\结束{显示方式}\开始{displaymath}\开始{split}\hs空格{1.14cm}&=（-1）^{m}\frac{B_{m+1}}{m+1}+\frac}1}{m+1{l=0}^{m+1{。\结束{拆分}\结束{显示方式}如果我们现在使用以下伯努利多项式的显式公式\开始｛displaymath｝B_{n}（x）=\sum_{k=0}^{n} B类_{k} ｛n\选择k｝x ^｛n-k｝\结束{显示方式}对于$n:=m-l+1$和$x:=\{x\}$，我们得到\开始｛displaymath｝\开始{split}\求和{k=0}^{lfloor x\rfloor}k^{m}&=（-1）{x\}^{m-k-l+1}\\&=（-1）^{m}\frac{B_{m+1}}{m+1}+\frac{1}{m+1{sum_{l=0}^{m+1{（-1））^{m-l+1}{m+1\choose l}B_{m-l+1}\left（\{x\}\right）x^{l}。\结束{拆分}\结束{显示方式}在上面的公式中，我们可以根据到$l:=m-k+1 \Longleftrightarrow k=m-l+1$并使用二项式系数的对称性\开始{displaymath}{m+1\选择m-k+1}={m+1 \选择k}，\结束{显示方式}得出结论\开始{displaymath}\开始{split}\sum_{k=0}^{lfloor x\rfloor}k^{m}&=（-1）^{m{frac{B_{m+1}}{m+1}+\frac{1}{m+1{sum_l=0}^{m+1{m+1\\&=（-1）^{m}\frac{B_{m+1}}{m+1}+\frac{1}{m+1{sum_{k=0}^{m+1{（-1）\\&=（-1）^{m}\frac{B_{m+1}}{m+1}+\frac{1}{m+1{sum_{k=0}^{m+1{（-1）。\结束{拆分}\结束{显示方式}最后，如果我们使用事实$B_{0}（x）=1\；\对于所有x\in\mathbb{R}$，我们得到了我们声称的公式\开始{displaymath}\开始{split}\sum_{k=0}^{lfloor x\rfloor}k^{m}=\frac{1}{m+1}x^{m+1}+x^{m-k+1}\结束{拆分}\结束{显示方式}对于所有$x\in\mathbb{右}_{0}^{+}$.\结束{proof}\开始{remark}普通的Faulhaber公式通过设置$x:=n\in\mathbb{无}_｛0｝$在我们开发的扩展中，因为\开始{displaymath}\开始{split}\和{k=0}^{n} k^{m} &=\sum_{k=0}^{lfloorn\rfloor}k^{m}\\&=\压裂{1}{m+1}n^{m+1{+（-1）^{m}\压裂{B_{m+1}}{m+1{}+\压裂{1}{m+1}\sum_{k=1}^{m+1｝（-1）\\&=\frac｛1｝｛m+1｝n^｛m+1｝+（-1）^｛m｝\frac｛B_｛m+1｝｝｛m+1｝+\frac｛1｝｛m+1｝\sum_｛k=1｝^｛m+1｝（-1）^｛k｝｛m+1\选择k｝B_{k} n个^{m-k+1}\\&=（-1）^{m}\压裂{B_{m+1}}{m+1}+\压裂{1}{m+1{sum_{k=0}^{m+1{（-1）_{k} n个^{m-k+1}\\&=\压裂{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}（-1）^{k}{m+1选择k}B_{k} n个^{m-k+1}，\结束{拆分}\结束{显示方式}其中，我们使用$B_{k}\left（\{n\}\right）=B_{k}（0）=B_{k}$表示所有$k\in\mathbb{无}_{0}$.\结束｛备注｝\节{确认}\标签{sec:确认}作者感谢裁判对以下方面的宝贵建议本文的改进。\开始{书目}{9}\bibitem{1}Kevin J.McGown和Harold R.Parks，《Faulhaber的概括》非整数幂和公式{\bf330}（2007），571--575。\bibitem{2}A.Bazs’o、'A.Pint’er和H.M.Srivastava关于自然数幂和的Faulhaber定理，\emph{应用数学.Lett.}{\bf25}（2012），486--489。\bibitem{3}Victor Kac和Pokman Cheung，《量子微积分》，施普林格出版社，2002年。\结束{书目}\大跳跃\小时\大跳跃\noindent 2010（数学学科分类）：小学11B68；次要34M30。\noindent\emph{关键词：}扩展的Faulhaber公式，楼层函数，前几个自然数的幂和，伯努利多项式，伯努利数。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A027641}和\序列号{A027642}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2015年11月7日收到；2015年11月9日收到的修订版；2016年3月19日。发表于《整数序列杂志》，2016年4月7日。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}.\vskip.1英寸\结束｛文档｝