\文档类[12pt，reqno]{article}\usepackage[用户名]{颜色}\使用包{amssymb}\使用包{graphicx}\使用包{amscd}\usepackage[colorinks=true，链接颜色=网绿色，filecolor=webbrown，citecolor=webgreen]{hyperref}\定义颜色{webgreen}{rgb}{0，.5,0}\定义颜色{webbrown}{rgb}{.6,0,0}\使用包{color}\使用包{fullpage}\使用包{float}\使用包{psfig}\usepackage{graphics，amsmath，amssymb}使用包\使用包{amsthm}\使用包{amsfonts}\使用包{latexsym}\使用包{epsf}\使用包{mathrsfs}\使用包{diagbox}\新命令{\R}{{\mathbb R}}\新命令{\Q}{{\mathbb Q}}\新命令{\C}{{\mathbb C}}\新命令{\N}{{mathbb N}}\新命令{\Z}{{\mathbb Z}}\集合长度{\textwidth}{6.5in}\集合长度{\oddsidemargin}{.1in}\集合长度{\evensidemargin}{.1in}\集合长度{\topmargin}{-.1in}\设置长度{\textheight}{8.4in}\新命令{\seqnum}[1]{\href{网址：http://oeis.org/#1}{\下划线{#1}}\开始{文档}\开始{居中}\epsfx尺寸=4英寸\离开模式\epsfile{logo129.eps}\结束{中心}\理论风格{普通}\新定理{定理}{定理{\新定理{推论}[定理]{推演}\新定理{引理}[定理]{引言}\新定理{命题}[定理]{命题\理论风格{定义}\新定理{definition}[定理]{definition}\新定理{example}[定理]{example}\新定理{猜想}[定理]{猜测}\理论风格{remark}\新定理{remark}[定理]{remark}\开始{居中}\vskip 1cm{\LARGE\bf关于数的乘积表示\\\vskip 0.02英寸序列，及其在家族中的应用\\\vskip 0.12英寸广义斐波那契数}\vskip 1厘米\大型米歇尔·鲁道夫·利思\\神经科学、信息与复杂性单元（UNIC）CNRS，1 Ave de la Terrasse\\91198基夫·苏尔·伊维特\\法国\\\链接{mailto:rudolph@unic.cnrs-gif.fr}{\trudolph@unic.cnrs-gif.fr} \\\结束{中心}\vskip.2英寸\开始{abstract}我们研究了允许产品的明确表示。我们发现这样序列形成共享相似数序列的整个族递归标识。将建议的身份应用于电源序列和Pochhammer数序列，我们恢复并推广已知的递归关系。限制为的余弦分数角，然后我们研究$k$-广义斐波那契数，并给出一般递归和链接这些序列的标识。\结束｛摘要｝\章节{引言}人们早就知道斐波那契（seqnum{A000045}）和佩尔（seqnum{A000129}）数字，由\开始{方程式}\标签{Eq_Fibs}F_0=0，F_1=1，F_n=F{n-1}+F{n-2}\结束{方程式}和\开始{方程式}\标签{Eq_Pells}P_0=0，P_1=1，P_n=2 P_{n-1}+P_{n-2}\结束{方程式}对于$n\geq 2$，可以分别以产品形式表示（例如，参见引文{卢瑟福47、卢瑟福52、林德65、泽特林67、夏皮罗94}），具体来说\开始{方程式}表格（_n）=\prod\limits_{l=1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\左（3+2\cos\left（\frac{2l\pi}{n}\右）\右）=\prod\limits_{l=1}^{n-1}\左（1-2i\cos\left（\frac{l\pi}{n}\右）\右）\结束{方程式}和\开始{方程式}P_n（_n）=2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\prod\limits_{l=1}^{\lploor\frac{n-1}{2{\rfloor}\left（3+\cos\left（\frac{2l\pi}{n}\right）\ right）=\prod\limits_{l=1}^{n-1}\左（2-2i\cos\left[\frac{l\pi}{n}\right]\右），\结束{方程式}其中$n\in\nN，n\geq 2$。上述序列$F_n$和$P_n$是一般Lucas序列的具体示例，后者由递归关系定义\开始{方程式}L_0^{（m，p）}=0，L_1^{\结束{方程式}$n\geq 2$\cite{Zeitlin67}。Zeitlin\cite{Lind65}已经表明\开始{方程式}\标签｛Eq_ProdRepLucas｝L_n^{（m，p）}=p^{压裂{n-1}{2}}\prod\limits_{L=1}^{n-1{左（压裂{m}{\sqrt{p}}-2\cos\left（压裂{L\pi}{n}\右）\右），\结束{方程式}$m，p\in\R$提供了一般Lucas序列中所有成员的有效产品表示。后来，形式的表达式（ref{Eq_ProdRepLucas}）被用于获得序列参数中以有限幂级数表示的相应数字序列的其他显式表示（参见例如{AndreJeannin94、HendelCook96、Cigler03、Sun06}），从而突出了这种产品表示对于研究数字序列的重要性和实用性。在本文中，我们将展示数字序列的乘积表示也可以用于在不同序列之间建立直接联系。为此，我们制定\开始{definition}\标签{Def_Family}{\bf（数字序列族）}设$\{x_{n，l}$与$x_{n,l}\in\C$和$n，l\in\n$是任意的双参数数字集。相应的数列家族$\{X_{n，m}$由所有$X_{n,m}$的集合定义\开始{方程式}\标签{Eq_Xnm}X_｛n，m｝=\prod\limits_{l＝1}^n（m+X_｛n，l｝），\结束{方程式}其中$m\in\C$标记族中的单个数字序列，$n$标记每个序列的成员。\结束｛定义｝在下文中，我们将限制为由$m\In\Z$构造的族子集。如果我们设置$x{n，l}=-2i\cos\left（\tfrac{l\pi}{n+1}\right）$，则给出了这样一个族的具体示例。在本例中，使用带有$p=-1$和$m\In\Z$的（\ref{Eq_ProdRepLucas}），我们有\开始{方程式}\标签{Eq_GenFibProd}X_{n，m}=\prod\limits_{l=1}^n\left（m-2i\cos\left（\tfrac{l\pi}{n+1}\ right）\right）=l_{n+1}^{（m，-1）}，\结束{方程式}因此$X{n，m}$定义了服从递归关系的广义斐波那契序列族$F_n^{（m）}:=L_n^{（m，-1）}，n\geq2$\开始{方程式}\标签{Eq_GenFibRec}F_0^{（m）}=0，F_1^{。\结束{方程式}我们将把这个族称为斐波那契族，并在第\ref{S_FibFamily}节中探讨它的一些属性。论文组织如下。在第ref{S_ProdRep}节中，我们将证明给定族中数列$X_{n，m}$的各种一般性质，重点是各个数列之间的线性递归关系。第\ref{S_examples}节将研究两个简单的示例，第\ref{S_FibFamily}节的重点是（\ref{Eq_GenFibProd}）中定义的斐波那契族。最后将讨论一些概括。\{某些数列的乘积表示}\标签{S_ProdRep}对于任何给定的数字集$\{x_{n，l}\}$，我们定义\开始{方程式}\标签{Eq_calX0}\马特斯克{十} _n（n）：=\sum\limits_{l=1}^nx_{n，l}。\结束{方程式}我们将首先快递$\mathscr{十} _n（n）$表示（\ref{Eq_Xnm}）中定义的相关数字序列$X_{n，m}$。\开始{引理}\标签{L_calX}对于任意给定的一组数字$\{x{n，l}$与$x{n、l}在\C，n，l\在\n$中，$x{n,1}$的和由下式给出\开始{方程式}\标签｛Eq_calX｝\马特斯克{十} _n（n）=\frac{（-1）^n}{n！}\sum\limits_{l=1}^n（-1），\结束{方程式}其中$X{n，m}，m\in\Z$表示与$\{X{n，l}$关联的数字序列。\结束{引理}\开始｛证明｝我们首先通过显式分解（ref{Eq_Xnm}）为[1，n]$中的连续$m\构造一个方程组。为此，我们定义了$1，n]中的$p\in$\开始{方程式*}\马查尔{十} _n（n）^{（p）}：=\sum\limits_{l_1=1}^{n-p+1}\，\sum\limits_{l_2=1}^{n-p+2}\cdots\sum\limits2{l_p=1}^n x{n，l1}x{n，\结束{方程式*}其中，求和受[1，p]$中所有$li，i\的约束条件$l{i+1}>li$的约束。具体来说，对于$p=1$，我们有\开始{方程式*}\马查尔{十} _n（n）^｛（1）｝=\sum\limits_{l_1=1｝^｛n｝x_｛n，l_1｝=x_｛n，1｝+x_｛n，2｝+\cdots+x_｛n，n｝，\结束{方程式*}$p=2$\开始{eqnarray*}\马查尔{十} _n（n）^{(2)} &=&\sum\limits_{l_1=1}^{n-1}\，\sum\ limits{\子堆栈{l_2=1\\l_2>l_1}}^n x _{n，l_1}x _{n，l_2}\\&=&x{n，1}x{n，\结束{eqnarray*}$p=3$\开始{eqnarray*}\马查尔{十} _n（n）^{(3)} &=&\sum\limits_{l_1=1}^{n-2}，\sum\ limits{\子堆栈{l_2=1\\l_2>l_1}}^{n_1}\\&=&x{n，1}x{n、2}x{n，3}+x{n；1}x}n，2}x}n，4}+\cdots+x{n，n-2}x{n。\结束{eqnarray*}这样，（\ref{Eq_Xnm}）中的乘积产生\开始{eqnarray*}X_{n，m}&=&（m+x_{n，1}）（m+x_{n，2}）（m+x_{n，3}）\cdots（m+x_{n，n}）\\&=&m（m+x{n，2}）（m+x{n，3}）\cdots（m+x{n，n}）+\，x{n，1}（m+x{n\\&=&m^2（m+x{n，3}）\cdot（m+x{n，n}）+\，m（x{n，1}+x{n\\&&+\，x{n，1}x{n\\&=&m^n+m^{n-1}（x{n，1}+x{n+\cdots+x{n，1}x{n\\&=&m^n+m^{n-1}\mathcal{十} _n（n）^{（1）}+\cdots+\mathcal{十} _n（n）^{（n）}，\结束{eqnarray*}从中我们得到了$m\in[1，n]$中的下列线性方程组{十} _n（n）^{（p）}，p\在[1，n]$中：\开始{eqnarray*}X_{n，1}&=&1^n+1^{（n-1）}\mathcal{十} _n（n）^{（1）}+1^{（n-1）}\数学{十} _n（n）^{（2）}+\cdots+\mathcal{十} _n（n）^{（n）}\\X_{n，2}&=&2^n+2^{（n-1）}\数学{十} _n（n）^｛（1）｝+2^｛（n-2）｝\数学{十} _n（n）^{（2）}+\cdots+\mathcal{十} _n（n）^{（n）}\\X_{n，3}&=&3^n+3^{（n-1）}\数学{十} _n（n）^{（1）}+3^{（n-2）}\数学{十} _n（n）^{（2）}+\cdots+\mathcal{十} _n（n）^{（n）}\\&\v点和\\X_｛n，n｝&=&n ^ n+n ^｛（n-1）｝\数学{十} _n（n）^{（1）}+n^{（n-2）}\数学{十} _n（n）^{（2）}+\cdots+\mathcal{十} _n（n）^{（n）}。\结束{eqnarray*}该系统可以以更紧凑的形式编写为\开始{方程式}\标签{Eq_L1p1}X_{n，i}-i^n=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\mathcal{十} _n（n）^{（j）}，\结束{方程式}其中$a{ij}=i^{n-j}$，$i，j\在[1，n]$中。剩下的是为$\mathcal求解（\ref｛Eq_L1p1｝）{十} _n（n）^{（1）}=\mathscr{十} _n（n）$. 为此，我们注意到，对于[1，n]$中的所有i，$a_{in}=1，这允许我们通过减去（ref{Eq_L1p1}）中的连续方程来构造$n-1$方程的新系统。我们获得\开始{方程式}\标签{Eq_L1p2}X_{n，i+1}-X_{n，i}-\左（（i+1）^n-i^n\右）=\sum\limits_{j=1}^{n-1}a^{（1）}_{ij}\mathcal{十} _n（n）^{（j）}，\结束{方程式}哪里\开始{方程式*}a^{（1）}{ij}=a{i+1，j}-a{ij{=\左（（i+1）^{n-j}-i^{n-j}\右）=\和{l=0}^1（-1）^{l+1}{1\选择l}（i+l）^{nj}\结束{方程式*}对于$1，n-1]$中的$i，j\。同样，对于[1，n-1]$中的所有i\，$a^{（1）}_{i，n-1}=1，并且我们可以通过减去连续方程来进一步简化系统（\ref{Eq_L1p2｝）。重复$m$后，我们有\开始{方程式}（-1）^m\sum\limits_{l=0}^m（-1）_l{m\选择l}X_{n，i+l}-=\sum\limits_{j=1}^{n-m}a{ij}^{（m）}\mathcal{十} _n（n）^{（j）}\结束{方程式}对于[1，n-m]$中的$i，j\，其中\开始{方程式*}a{ij}^{（m）}=（-1）^m\sum\limits_{l=0}^m（-1）`l{m\选择l}（i+l）^{n-j}\结束{方程式*}带有$a{i，n-m}^{（m）}=m！$对于[1，n-m]$中的所有$i\。对于$m=n-1$，我们最终得到\开始{方程式*}（-1）^{n-1}\sum\limits_{l=0}^{n-1\choose l}X_{n，1+l}-（-1）=（n-1）！\，\马查尔{X} n个^{(1)} .\结束{方程式*}更改两个总和中的总和变量$l\rightarrowl+1$，并观察${n-1\choose-l-1}=\frac{l}{n}{n\choose-l}$和\开始{方程式*}\frac{（-1）^n}{n！}\sum\limits_{l=1}^n（-1）\结束{方程式*}\引用[方程式（1.14）]{Gould72}，我们最终得出（\ref{Eq_calX}）。\结束{proof}引理{L_calX}为任何给定的$n\geq 1$提供了$x{n，L}$上的和的显式表示，即根据数列$x{n，m}$的有限线性组合来表示方程（ref{Eq_calX{）。有了这个，我们可以立即制定\开始{引理}\标签{L_calXm}对于任意给定的带有$x{n，l}的${x{n、l}$和相关的数字序列族${x{n，m}，m}$的任何一组数字，$x{n，l{$的和对于任何给定的$n\in\n$恒等式都是服从的\开始{方程式}\标签{Eq_calXm1}\马特斯克{十} _n（n）=\frac{（-1）^n}{n！}\sum\limits_{l=1}^n（-1）\结束{方程式}并且，对于$m\neq 0$，\开始{方程式}\标签{Eq_calXm2}\马特斯克{十} _n（n）=\frac{（-1）^n}{n！\，m^{n-1}}\sum\limits_{l=1}^n（-1）|l{n\choose l}\，l\，X_{n，lm}-\frac}1}{2}n（n+1）m。\结束{方程式}\结束{引理}\开始｛证明｝我们首先证明（\ref{Eq_calXm1}）。让我们定义$X_{n，m}$和$\mathscr{十} _n（n）$表示一组数字$（m'+x{n，l}）$，如下所示：\开始{eqnarray*}X_{n，m}^{（m'）}:=\prod\limits_{l=1}^n\左（m+（m'+X_{n、l}）\右）\\\马特斯克{十} _n（n）^｛（m'）｝：=\sum\limits_1｝^n（m'+x_｛n，l｝）\结束{eqnarray*}对于\Z$中的任意$m'\。从第一个方程和定义（参考{Eq_Xnm}）可以立即得出$X_{n，m}^{（m'）}=X_{n，m+m'}$和$mathscr{十} _n（n）^{（m'）}=n m'+\mathscr{十} _n（n）$，它与（\ref{Eq_calX}）一起生成（\ref{Eq_calXm1}）。第二个关系（\ref{Eq_calXm2}）可以以类似的方式显示。我们定义了$X_{n，m}$和$\mathscr{十} _n（n）$表示一组数字$x_{n，l}/m'，m'\in\Z，m\neq 0$，如下所示：\开始{eqnarray*}\波浪线{X}（X）_{n，m}^{（m'）}：=\prod\limits_{l=1}^n\左（m+\frac{x{n，l}}{m'}右）\\\波浪形符｛\mathscr｛X｝｝_n^{（m'）｝：=\sum\limits_{l=1}^n\frac｛X_｛n，l｝｝｛m'｝，\结束{eqnarray*}从中可以看出\开始{方程式}\波浪线{X}（X）_{n，m}^{（m'）}=\frac{1}{m'^n}\prod\limits_{l=1}^n（m'+x_{n，l}）=\frac{1}}{m'^n}x_{n、mm'}\结束{方程式}和$\tilde{\mathscr{X}}_n^{（m'）}=\mathscr{十} _n（n）/m美元。再次使用（\ref{Eq_calX}），我们得到（\ref{Eq_calXm2}）。\结束{proof}引理{L_calXm}在各个方面都很有趣。它不仅推广了（ref{Eq_calX}），而且还表明，对于给定的$n\inN$，给定数列家族中的$X_{n，m}$的各种组合必须产生相同的结果$\mathscr{十} _n（n）$. 这反过来又允许我们在$X_{n，m}$之间构造一般关系，它适用于所有以乘积形式表示的数列族$\{X_{n,m}$（ref{Eq_Xnm}），并且构成了这一贡献的主要结果。我们可以制定\开始{命题}\标签｛P_XnmIdent｝给定数列族的成员$X_{n，m}$，m\in\Z$和$n\in\n$遵循一般递归关系\开始{方程式}\标签{Eq_XnmRec}X_{n，m+1}=（-1）^n\sum\limits_{l=1}^n（-1）！\结束{方程式}并受身份限制\开始{方程式}\标签{Eq_XnmNeg1}\裂缝{1}{m^{n-1}}\sum\limits_{l=1}^n（-1）^l{n\choose l}\，l\，X_{n，lm}=\sum\limits_{l=1}^n（-1）^l{n\choose l}，l，X_{n，l}+frac{（-1），^{n-1}}{2}（1-m）n（n+1）！\结束{方程式}$m\neq 0$。\结束{命题}\开始｛证明｝（\ref{Eq_XnmRec}）的证明对$m\rightarrow-m-n+1$和$m\rightarrow m-n$使用了（\ref{Eq_calXm1}），从而得出\开始{eqnarray*}\马特斯克{十} _n（n） &=&&frac｛（-1）^n｝｛n！｝\sum\limits_｛l=1｝^n（-1）^l｛n\choose l｝\，l\，X_｛n，l+m-n+1｝-\frac｛1｝｛2｝n（n+1）-n（m-n+1）\\&=&\frac{（-1）^n}{n！}\sum\limits_{l=1}^{n-1}（-1\结束{eqnarray*}和\开始{eqnarray*}\马特斯克{十} _n（n） &=&\frac{（-1）^n}{n！}\sum\limits_{l=1}^n（-1）\\&=&\frac{（-1）^n}{n！}\sum\limits_{l=1}^{n-1}（-1\\&&-\frac{1}{2}n（n+1）-n（m-n），\结束{eqnarray*}分别在最后一步中使用了$l\rightarrow l-1$。减去这两个恒等式，并观察到$（l+1）{n选择l+1}+l{n选择l}=n{n选择1}$，我们得到\开始{方程式*}\压裂{（-1）^{n+1}}{（n-1）！}\sum\limits_{l=1}^{n-1}（-1，\结束{方程式*}从中\开始{方程式*}\压裂{（-1）^{n+1}}{（n-1）！}\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1\结束{方程式*}跟随。更改求和变量$l\rightarrow l+1$后，最后一个关系产生（\ref{Eq_XnmRec}）。以类似的方式，（\ref｛Eq_calXm2｝）与（\ref｛Eq_calX｝）一起产生\开始{方程式*}\分形{（-1）^n}{n！}\sum\limits_{l=1}^n（-1）|l{n\choose l}\，l\，X_{n，l}-\frac{1}{2}n（n+1）=\frac{（-1）^n}{n！\，m^{n-1}}\sum\limits_{l=1}^n（-1），\结束{方程式*}从中（\ref{Eq_XnmNeg1}）。\结束{proof}命题ref{P_XnmIdent}中的方程（ref{Eq_XnmRec}）为$X_{n，m}$提供了$m\in\Z$中的一般线性递归。这些递归的形式取决于$n$，并且包含越来越多的用于增加$n$的项。具体来说，对于任何给定的$n$，（\ref{Eq_XnmRec}）用[m-n，m-1]$中的$m'\表示$X_{n，m}$。基于这些递归，使用生成函数方法，我们可以推导出表示$m\geqn$的$X{n，m}$和$X{n，-m}$的显式恒等式，它们分别表示为$X{n,m'}$中的$m'\ in[0，n-1]$和$m'\in[-n+1,0]$。\开始{推论}\标签{Cor_Xnm1}对于任何给定的数列家族$\{X_{n，m}$，以下恒等式成立\开始{eqnarray}X_{n，m}&=&\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^{n+l}\frac{n-l}{l-m}{m\选择n}{n\选择l}X_{n，l}+\fracc{m！}{（m-n）！}\label{Eq_XnmExp1}\\X_{n，-m}&=&\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^{n+l}\frac{n-l}{l-m}{m\choose n}{n\choose l}X_{n，-l}+（-1）^n\frac{m！}{（m-n）！}\label{Eq_XnmExp2}\结束{eqnarray}对于所有$n\in\n$和$m\in\Z$以及$m\geq n$。\结束{推论}\开始｛证明｝我们从$m+1\rightarrow m$的（\ref｛Eq_XnmRec｝）开始，即。，\开始{方程式*}X_{n，m}=\sum\limits_{l=1}^n（-1）^{n+l}{n\选择l-1}X_{n，l+m-n-1}+n，\结束{方程式*}并定义通用生成函数\开始{方程式}\标签{Eq_Az}A（z）：=\sum\limits_{m\geq0}X_{n，m}z^m\结束{方程式}对于任意$z\in\R，|z|<1，z\neq 0$。$X_{n，m}$与$z^m$的乘法以及$m\geqn$上的求和得到\开始{方程式}\标签{Eq_A}\总和\limits_{m\geq-n}X_{n，m}z^m=\sum\limits_{m\geqn}\sum\limits_{l=1}^n（-1）^{n+l}{n\choose-l-1}X_{n，l+m-n-1}z^m+n！\sum\limits_{m\geqn}z^m。\结束{方程式}对于任何给定的$n\in\mathbb｛n｝$，左侧的项等于\开始{方程式*}\总和\limits_{m\geq-n}X_{n，m}z^m=X_{n，n}z^n+X_{n，n+1}z^{n+1}+\cdots=A（z）-\sum\limits_{l=0}^{n-1}X_{n，l}z^l，\结束{方程式*}右边的第二项简化为\开始{方程式*}不！\总和\limits_{m\geq-n}z^m=n！\，（z^n+z^{n+1}+\cdot）=n！\，\压裂{z^n}{1-z}。\结束{方程式*}为了处理右边的第一项，我们首先交换两个和的顺序，并观察到\开始{方程式*}\sum\limits_{m\geqn}X_{n，l+m-n-1}z^m=X_{n，l-1}z^n+X_{n，l}z^{n+1}+\cdots=\左（A（z）-\sum\limits_{m=0}^{l-2}X_{n，m}z^m\右）z^{n-l+1}，\结束{方程式*}通过对连续$l\geq 2$的结果进行推广，可以很容易地显示这一点。例如，对于$l=1$，我们有\开始{方程式*}\总和\limits_{m\geq-n}X_{n，m-n}z^m=X_{n，0}z^n+X_{n，1}z^{n+1}+\cdots=A（z）z^{n}，\结束{方程式*}对于$1=2$\开始{方程式*}\和\limits_{m\geq-n}X_{n，m-n+1}z^m=X_{n，1}z^n+X_{n，2}z^{n+1}+\cdots=\左（A（z）-X_{n，0}\右）z^{n-1}。\结束{方程式*}这样，（\ref{Eq_A}）采用以下形式\开始{eqnarray*}\lefteqn｛A（z）-\sum\limits_0｝^｛n-1｝X_｛n，l｝z ^ l｝\\&=&（-1）^{n}A（z）z^n+\sum\limits_{l=2}^n（-1）p{n+l}{n\choose-l-1}\left（A（z）-\sum\limits_{m=0}^{l-2}X_{n，m}z^m\right）z^{n-l+1}+n！\，\裂缝{z^n}{1-z}，\结束{eqnarray*}我们从中获得\开始{eqnarray}\标签{Eq_A1}\lefteqn{A（z）\左（1-（-1）^nz^n-\sum\limits_{l=2}^n（-1）{n+l}{n\choose-l-1}z^{n-l+1}\right）}\n非数字\\&=&\sum\limits_{l=0}^{n-1}X_{n，l}z^l-\sum\limits_{l=2}^n\sum\limits\{m=0}^{l-2}（-1）^{n+l}{n\choose-l-1}X_{n，m}z^{m+n-l+1}+n！\，\压裂{z^n}{1-z}。\结束{eqnarray}最后一个等式左侧的项可以通过观察以下内容进一步简化\开始{eqnarray*}\lefteqn｛1-（-1）^n z^n-\sum\limits_｛l=2｝^n（-1）^｛n+l｝｛n\choose l-1｝z^｛n-l+1｝｝\\&=&1-\sum\limits_{l=1}^n（-1）^{n+l}{n\choose-l-1}z^{n-l+1}\\&=&1-\left（（-1）^{n+1}{n\choose 0}z^n+（-1）p{n+2}{n\ choose 1}z^{n-1}+\cdots+（-1）^{2n}{n\schoose n-1}z\right）\\&=&1-（-1）^{2n}\left（{n\choose-n-1}z+（-1）、^{-1}{n\chouse-n-2}z^2+\cdots+（-1-）^{-（n-1）}{n\ choose-0}z^n\right）\\&=&1-\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^{-l}{n\choose-n-1-l}z^{l+1}\\&=&\sum\limits_{l=0}^{n}（-1）^{l}{n\choose l}z^{l{\\&=&（1-z）^n，\结束{eqnarray*}在第三步中，我们颠倒了总和中各项的顺序。将最后一个关系插入回（\ref{Eq_A1}）会产生\开始{eqnarray}\标签{Eq_A2}A（z）&=&\sum\limits_{l=0}^{n-1}X_{n，l}\frac{z^l}{（1-z）^n}-\sum\limits_{l=2}^n\sum\limits\{m=0}^{l-2}（-1）^{n+l}{n\choose-l-1}X_{n，m}\frac{z^{m+n-l+1}}{（1-z）^n}+n！\，\裂缝{z^n}{（1-z）^{n+1}}。\qquad（平方米）\结束{eqnarray}现在，我们在大约$z=0$的幂级数中开发$z$-项。具体来说，对于（\ref{Eq_A2}）中的第一项，我们有\开始{eqnarray*}\裂缝{z^l}{（1-z）^n}&=&\压裂{1}{（n-1）！}\，z^l\，\压裂{\text{d}^{n-1}}{\text{d} z（z）^{n-1}}\压裂{1}{1-z}\\&=&\压裂{1}{（n-1）！}\，z^l\，\压裂{\text{d}^{n-1}}{\text{d} z（z）^{n-1}}\sum\limits_{m\geq0}z^m\\&=&\sum\limits_{m\geqn-1}\frac{m！}{（m-n+1）！}\frac{1}{（n-1）！}z^{m-n+l+1}\\&=&\sum\limits_{q\geql}{q-l+n-1\choose-n-1}z^q。\结束{eqnarray*}以类似的方式，人们获得\开始{方程式*}\裂缝{z^{m+n-l+1}}{（1-z）^n}=\sum\limits_{q\geqm+n-l+1}{q-m+l-2\choose-n-1}z^q\结束{方程式*}和\开始{方程式*}\裂缝{z^n}{（1-z）^{n+1}}=\sum\limits_{q\geqn}{q\choose n}z^q。\结束{方程式*}这样，（\ref{Eq_A2}）采用以下形式\开始{eqnarray}\标签{Eq_A3}A（z）&=&\sum\limits_{l=0}^{n-1}\sum\limits\{q\geq-l}{q-l+n-1\choose-n-1}X_{n，l}\，z^q\\&&-\sum\limits_{l=2}^n\sum\limits_{m=0}^{l-2}，\sum\limits _{q\geq m+n-l+1}（-1）^{n+l}{n\choose l-1}{q-m+l-2\choose n-1}X_{n，m}，z^q+不！\sum\limits_{q\geqn}{q\choose n}z^q，\n数字\结束{eqnarray}我们记得，它适用于任何$n\in\mathbb｛n｝，n>0$。剩下的是重新排序上述总和中的项，并收集所有等幂项（$z$）。（\ref{Eq_A3}）中的第一项产生\开始{eqnarray*}\lefteqn{\sum\limits_{l=0}^{n-1}\sum\limits_{q\geql}{q-l+n-1\choose-n-1}X_{n，l}\，z^q}\\&=&\sum\limits_{q=0}^{n-1}\left（\sum\ limits_{l=0}^q{q-l+n-1\choose-n-1}X_{n，l}\right）z^q+\sum\limits_{q\geqn}\left（\sum\limits_{l=0}^{n-1}{q-l+n-1\choose-n-1}X_{n，l}\right）z^q。\结束{eqnarray*}类似地，观察到（ref{Eq_A3}）中的第二项在$n=1$时消失，并得出$n\geq2$的最小次数为1的幂级数，我们得到\开始{eqnarray*}\左eqn{\sum\limits_{l=2}^n\sum\limits_{m=0}^{l-2}\，\sum\limits_{q\geqm+n-l+1}（-1）^{n+l}{n\选择l-1}{q-m+l-2\选择n-1}X_{n，m}\，z^q}\\&=&\sum\limits_{q=1}^{n-1}\左（\，\和\极限_{m=n-q+1}^n\和\极限_{l=0}^{q-n+m-1}（-1）^{n+m}{n\选择m-1}{q-l+m-2\选择n-1}X{n，l}\右）z^q\\&&\hspace*{5mm}+\sum\limits_{q\geq n}\left(\和\limits_{m=2}^{n}\，和\limiss_{l=0}^{m-2}（-1）^{n+m}{n\choose-m-1}{q-l+m-2\choose-n-1}X{n，l}\右）z ^q\结束{eqnarray*}通过改变求和变量$m\rightarrow m-n+q-1$并收集给定$l$的所有项$X_{n，l}$，可以进一步简化最后一个关系中的第一项：\开始{eqnarray*}\左eqn{\sum\limits_{m=n-q+1}^n\sum\limits_{l=0}^{q-n+m-1}（-1）^{n+m}{n\选择m-1}{q-l+m-2\选择n-1}X_{n，l}}\\&=&-\sum\limits_{m=0}^{q-1}\sum\limits\{l=0}^{m}（-1）^{m-q}{n\choose m+n-q}{m+n-l-1\choose n-1}X{n，l}\\&=&-\sum\limits_{l=0}^{q-1}X_{n，l}\sum\limits\{m=l}^{q-1}（-1）^{m-q}{n\选择m+n-q}{m+n-l-1\选择n-1}\\&=&\sum\limits_{l=0}^{q-1}{q-l+n-1\choose-n-1}X_{n，l}。\结束{eqnarray*}在这里，我们在最后一步中使用了二项式恒等式\开始{方程式}\标签{Eq_BI1}\总和\limits_{k=0}^{n}（-1）^{k}{x\选择n-k}{k+x-1\选择x-1}=0，\结束{方程式}这可以很容易地通过归纳求和上限和使用Brill求和公式来表示[方程式（3.181）]{Gould72}。现在，收集$q<n$和$q\geqn$的所有项，然后我们可以将（\ref{Eq_A3}）重写为\开始{eqnarray}\标签{Eq_A4}\lefteqn{A（z）}\n数字\\&=&X_｛n，0｝+\sum\limits_｛q=1｝^｛n-1｝\left（\总和\limits_{l=0}^q{q-l+n-1\选择n-1}-\sum\limits_{l=0}^{q-1}{q-l+n-1\选择n-1}\右）X_{n，l}\，z^q+\sum\limits_{q\geqn}{q\choose n}n！\，z^q\n数字\\&&+\sum\limits_{q\geq n}\left（\总和\limits_{l=0}^{n-1}{q-l+n-1\选择n-1}-\sum\limits_{m=2}^{n}，\sum\limits_{l=0}^{m-2}（-1）^{n+m}{n\choose-m-1}{q-l+m-2\choose-n-1}\右）X_{n，l}\，z^q\n编号\\&&\n数字\\&=&\sum\limits_{q=0}^{n-1}X_{n，q}\，z^q+\sum\limits\{q\geqn}{q\选择n}n！\，z^q\n数字\\&&+\sum\limits_{q\geqn}\left（\sum\limits_{l=0}^{n-1}{q-l+n-1\choose n-1}X_{n，l｝-\sum\limits_{l=0}^{n-2}X_{n，l}\sum\limits_{m=l}^{n_2}（-1）^{n+m}{n\选择m+1}{q+m-l\选择n-1}\right）z^q\非数字\\&=&\sum\limits_{q=0}^{n-1}X_{n，q}\，z^q+\sum\limits\{q\geqn}{q\选择n}n！\，z^q\n数字\\&&-\sum\limits_{q\geqn}\左（{q\choose-n-1}X_{n，n-1}-\sum\limits_{l=0}^{n-2}（-1）^{n+l}\，\frac{n-l}{l-q}{q\choose n}{n\choose l}X{n，l}\right）z^q，\结束{eqnarray}其中，在倒数第二步中，我们再次通过重新排序总和来收集任意给定$l$的项$X_{n，l}$，在最后一步中我们使用了二项式关系\开始{方程式*}\总和\limits_{m=l}^{n-2}（-1）^{n+m}{n\选择m+1}{q+m-l\选择n-1}={q-l+n-1 \选择n-1}-（-1）^{n+l}\压裂{n-l}{l-q}{q \选择n}{n \选择l}。\结束{方程式*}注意到$q=n+a$与$a\in\mathbb{n}，a\geq0$的关系是二项式恒等式的直接结果\开始{方程式}\标签{Eq_BI2}\总和\limits_{k=0}^{n}（-1）^{k}{x\选择n-k}{k+x-1+a\选择x-1}=-\frac{a（n-x）}{x（n+a）}{x\choose n}{x-1+a \选择x-1}，\结束{方程式}它本身是（ref{Eq_BI1}）的推广，可以通过再次使用Brill和公式[Equation（3.181）]{Gould72}和二项式恒等式在求和上限中的归纳来表示\开始{eqnarray*}｛n\choose k｝&=&&frac｛n+1-k｝｛k｝｛n\choose k-1｝\\{n\选择k}&=&\压裂{n+1-k}{n+1}{n+1选择k}。\结束{eqnarray*}从（\ref{Eq_A4}）中，我们最终获得\开始{方程式*}A（z）=\sum\limits_{q=0}^{n-1}X_{n，q}\，z^q+\sum\limits_{q\geq n}\left（\和\极限{l=0}^{n-1}（-1）^{n+l}\，\分数{n-l}{l-q}{q\选择n}{n\选择l}X{n，l}+{q\选择n}n！\右）z^q，\结束{方程式*}在与（\ref{Eq_Az}）进行比较后，得出（\ref{Eq_XnmExp1}）。方程式（\ref{Eq_XnmExp2}）可以以类似的方式显示。\结束{proof}方程（ref{Eq_XnmRec}）还可以推导出任意给定族的数列$X_{n，m}$必须遵守的一些一般恒等式。具体来说，我们有\开始{推论}\标签｛Cor_Xnm2｝对于带有$p\geq1$、$0\leq<p$和$m\in\Z$的$n、p、q\in\n、n\geqp+1$，任意给定数列$\{X_{n、m}$的序列$X_{n，m}$遵循以下恒等式：\开始{eqnarray}\总和\limits_{l=0}^n（-1）^l{n\choose l}\，l^q\，X_{n-p，m-n+l}&=&0\标签{Eq_XnmId1}\\\总和\limits_{l=0}^n（-1）^l{n\choose l}\，l^p\，X_{n-p，m-n+l}-（-1）0 .\标签{Eq_XnmId2}\结束{eqnarray}\结束{推论}\开始｛证明｝我们首先通过$p$中的归纳说明（\ref{Eq_XnmId1}）对于特殊情况$q=0$是有效的。在（ref{Eq_XnmRec}）中，在改变求和变量$l\rightarrow l+1$后，我们得到了$n\rightarrow n-1\geq 1$和任意$m$\开始{方程式*}（-1）^{n}\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1），^l{n-1\choose l}X{n-1，m-n+l+1}+（n-1）！=0 ,\结束{方程式*}对于$m\rightarrow m-1$\开始{方程式*}（-1）^{n}\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1），^l{n-1\choose l}X{n-1，m-n+l}+（n-1）！=0。\结束{方程式*}减去最后两个恒等式得到\开始{eqnarray*}&\hsspace*{-40mm}（-1）^{n}\sum\limits_{l=0}^{n-2}（-1）^l{n-1\choose l}X_{n-1，m-n+l+1}-X_{n-1，m}&\\&\hspace*{10mm}-（-1）^n X_{n-1，m-n}-（-1）^{n}\sum\limits_{l=1}^{n-1}（-1））^l{n-1\choose l}X_{n-1，m-n+l}&=0。\结束{eqnarray*}使用${n-1\choose-l-1}+{n-1\\choose-l}={n\choose-l}$，我们得到\开始{方程式*}（-1）^{n+1}\sum\limits_{l=0}^{n}（-1），\结束{方程式*}这证明了（\ref{Eq_XnmId1}）对于$p=1$的特殊情况$q=0$。以类似的方式，假设（ref{Eq_XnmId1}）对于$q=0$和给定的$p\geq 1$为真，我们减去$n\rightarrow n-1$、$m$任意和$m\rightarrow m-1$的结果关系，并获得\开始{方程式*}-（-1）^nX{n-（p+1），m-n}+（-1），\结束{方程式*}这就产生了\开始{方程式*}（-1）^{n+1}\sum\limits_{l=0}^{n}（-1）\结束{方程式*}因此，证明（\ref{Eq_XnmId1}）$q=0$和$p+1$。$0<q<p$的标识（\ref{Eq_XnmId1}）可以通过$q$中的归纳法显示。假设（ref{Eq_XnmId1}）对于给定的$q\geq 0$和所有的$p\geq q+1$是真的，我们得到$n\rightarrow n-1$和$m\rightarrow m-1$\开始{方程式*}\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n-1\choose l}\，l^q\，X_{n-p，m-n+l}=0。\结束{方程式*}使用二项式恒等式${n-1\choose-l}=frac{n-l}{n}{n\choose-l}$，最后一个关系可以重写为\开始{方程式*}\总和\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n\choose l}\，l^q\，X_{n-p，m-n+l}-\frac{1}{n}\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n\choose l}\，l^{q+1}\，X_{n-p，m-n+l}=0\结束{方程式*}并进一步简化为\开始{方程式*}-（-1）^n^qX_{n-p，m}-\frac{1}{n}\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1），\结束{方程式*}最后从中\开始{方程式*}\总和\limits_{l=0}^{n}（-1）^l{n\choose l}\，l^{q+1}\，X_{n-p，m-n+l}=0\结束{方程式*}随后，从而证明了$q<p$的（\ref{Eq_XnmId1}）。身份（ref{Eq_XnmId2}）可以通过$p$中的归纳以等效的方式显示，利用（ref}Eq_XnmRec}）和（ref｛Eq~XnmId1}）。\结束{proof}我们最后注意到，递归关系（ref{Eq_XnmRec}）和推论{Cor_Xnm1}和ref{Cor_Xnm2}中列出的恒等式对于每个数列家族$\{X_{n，m}$来说都是通用的，因此表明所有家族都是由这种形式的数列构成的由其成员之间的相同关系控制。在下一节中，我们将详细介绍这个属性，并简要考虑两个简单的示例，然后在第\ref{S_FibFamily}节中说明斐波那契数的应用程序。\部分｛数列族的两个简单例子｝\标签{S_Examples}\{幂序列族}设$x_{n，l}=c=\in\c$。在这种情况下，我们有\开始{eqnarray}X_{n，m}&=&\prod\limits_{l=1}^n（m+c）=（m+c）^n\标签{Eq_FPowerX}\\\马特斯克{十} _n（n）&=&\sum\limits_{l=1}^n c=nc\label{Eq_FPowerCalX}。\结束{eqnarray}表\ref{Tab_Fower}中列出了这个家族的前几个成员，$c=0$。根据上一节中给出的结果，我们可以立即公式化\开始{table}\caption｛\label｛Tab_FPower｝幂序列族$X_｛n，m｝=m^n，n\in\n$和$m\in\Z$的第一个成员，方程（\ref｛Eq_FPowerX｝）的$c=0$。｝\开始{居中}\开始{tablar}{c|cccccc}\氯化氢\对话框{$n$}{$m$}&0&1&2&3&4&5&6&7\\\氯化氢1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\2 & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 \\3 & 0 & 1 & 8 & 27 & 64 & 125 & 216 & 343 \\4 & 0 & 1 & 16 & 81 & 256 & 625 & 1296 & 2401 \\5 & 0 & 1 & 32 & 243 & 1024 & 3125 & 7776 & 16807 \\6 & 0 & 1 & 64 & 729 & 4096 & 15625 & 46656 & 117649 \\7 & 0 & 1 & 128 & 2187 & 16384 & 78125 & 279936 & 823543 \\\vdots&&&&&&&&\\\氯化氢\结束{表格}\结束{中心}\结束{表格}\开始{推论}\标签{Cor_Fower}幂序列族$X_{n，m}=（m+c）^n$对所有$c\in\c都服从$\开始{eqnarray*}\sum\limits_｛l=1｝^n（-1）^l｛n\choose l｝l（l+m+c）^n&=&&frac｛1｝｛2｝（-1）^n（2m+2c+n+1）n\\\总和\limits_{l=1}^n（-1）^l{n\choose l}l（lm+c）^n&=&\frac{1}{2}（-1）m^{n-1}\左（2c+m（n+1）\右）n\\\总和\limits_{l=0}^n（-1）^l{n\choose l}（m+c+1-l）^n&=&n\\\求和\limits_{l=1}^n（-1）^l{n选择l}l\左（（lm+c）^n-m^{n-1}（l+c）*n右）&=&\frac{1}{2}（-1）|{n-1{m^{n_1}（1-m）n（n+1）！\结束{eqnarray*}对于所有$n\in\n$和$m\in\Z$，\开始{eqnarray*}\总和\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n\choose l}\frac{n-l}{l-m}（c+l）^n&=&（-1）|n\left（\frac{（m-n）！}{m！}（c+m）^n-1\right）n\\\求和\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n\choose l}\frac{n-l}{l-m}（c-l）^n&=&（-1）|n\left（\frac{（m-n）！}{m！}（c-m）^n-（-1-）^n\right）n！\结束{eqnarray*}对于所有$n、m\in\n$和$m\geq n$，以及\开始{eqnarray*}\总和\limits_{l=0}^n（-1）^l{n\choose l}（n-l）^q（m+c-l）^{n-p}&=&0\qquad\text{for}0\leqq<p\\\总和\limits_{l=0}^n（-1）^l{n\choose l}（n-l）^p（m+c-l）^{n-p}&=&n！\结束{eqnarray*}对于所有$n、p\in\n$和$n\geq p+1、p\geq 1$和$m\in\Z$。\结束{推论}\开始｛证明｝推论ref{Cor_Fower}中的所有恒等式都是引理ref{L_calX}和ref{L_calXm}、命题ref{P_XnmIdent}和推论ref{Cor_Xnm1}和ref{Cor_Xnm2}的直接结果，使用（ref{Eq_FowerX}）和（ref}Eq_FPowerCalX}）。\结束{proof}我们注意到，推论{Cor_FPower}产生了许多有趣的组合，特别是二项式、恒等式及其推广。具体而言，对于$c=0$，Gould（1.13）、（1.14）和（1.47）被回收\cite{Gould72}。此外，对于任何固定的$n$，$X_{n，m}$生成后续整数$m$的$n$th次幂序列。对于$c=0$，推论{Cor_FPower}中的第三个关系提供了$m$中具有常数系数的$n$th阶线性齐次递归的一般形式：\开始{方程式}\标签{Eq_FowerRecM}（m+1）^n=\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n\choose l+1}（m-l）^n+n！\结束{方程式}$\表示所有m\ in\Z$。例如，限制为$m\geq0$，对于$n=2$，我们获得了平方数序列$a_m=m^2$，遵循已知的线性递归\开始{方程式*}a0=0，a1=1，a{m+1}=2a_m-a{m-1}+2，m\geq1\结束{方程式*}（seqnum{A000290}，M.Kristof，2005），对于$n=3$，立方体序列$a_M=M^3$，遵循\开始{方程式*}a0=0，a1=1，a2=2^3，a{m+1}=3a_m-3a{m-1}+a{m-2}+6，m\geq2\结束{方程式*}（\seqnum{A000578}，A.King，2013），对于$n=4$序列$A_m=m^4$，服从$4$th阶线性递归\开始{方程式*}a0=0，a1=1，a2=2^4，a3=3^4，a{m+1}=4a _m-6a{m-1}+4a{m-2}-a{m-3}+24，m \geq 3\结束{方程式*}（\seqnum｛A000583｝，A.King，2013）。\小节{Pochhammer数族}设$x_{n，l}=l\in\n$。在这种情况下，我们有\开始{eqnarray}X_{n，m}&=&\prod\limits_{l=1}^n（m+l）=（m+1）_n\label{Eq_FPochhammerX}\\\马特斯克{十} _n（n）&=&\sum\limits_{l=1}^n l=\frac{1}{2}n（n+1）标签{Eq_FPochhammerCalX}，\结束{eqnarray}其中$（a）_n=\Gamma（a+n）/\Gamma-（a）$表示Pochhammer符号。这个序列家族的第一个成员在表\ref{Tab_FPochhammer}中可视化。根据最后一节中给出的结果，我们可以立即公式化\开始{推论}\标签{Cor_FPochhammer}Pochhammer序列族$X_{n，m}=（m+1）_n$遵循\开始{eqnarray*}\sum\limits_｛l=1｝^n（-1）^l｛n\选择l｝l（l+m）_n&=&（-1）^n（m+n）n\\\求和\limits_{l=1}^n（-1）^l{n\choose l}（lm）{n+1}&=&\frac{1}{2}（-1）m^n（1+m）n（n+1）\\\总和\limits_{l=0}^n（-1）^l{n\choose l}（l+m-n+1）_n&=&（-1）*n\\\求和\limits_{l=1}^n（-1）^l{n选择l}\左（（lm）_{n+1}-m^n（l）_{n+1}\右）&=&\frac{1}{2}（-1）|{n+1}m^n（1-m）n（n+1）\\\结束{eqnarray*}对于所有$n\in\n$和$m\in\Z$，\开始{eqnarray*}\总和\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n\choose l}\frac{n-l}{l-m}（1+l）_n&=&（-1）|n\left（\frac{（m-n）！}{m！}（l+m）_n-1\right）n\\\总和\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n\choose l}\frac{n-l}{l-m}（1-l）_n&=&（-1）|n\left（\frac{（m-n）！}{m！}（1-m）_n-（-1）*n\right）n！\结束{eqnarray*}对于所有$n、m\in\n$和$m\geq n$，以及\开始{eqnarray*}\求和\limits_{l=0}^n（-1）^l{n\choose l}l^q（m-n+l+1）{n-p}&=&0\qquad\text{for}0\leqq<p\\\总和\limits_{l=0}^n（-1）^l{n\choose l}l^p（m-n+l+1）{n-p}&=&n！\结束{eqnarray*}对于所有$n、p\in\n$和$n\geq p+1、p\geq 1$和$m\in\Z$。\结束{推论}\开始｛证明｝推论ref{Cor_FPochhammer}中的所有恒等式都是引理ref{L_calX}和ref{L_calXm}、命题ref{P_XnmIdent}和推论ref{Cor_Xnm1}和ref{Cor_Xnm2}的直接结果，使用（ref{Eq_FPowerX}）和（ref{Eq_FPowerCalX}●●●●。\结束{proof}\开始{table}\caption｛\label｛Tab_FPochhammer｝Pochhammer序列族的第一个成员$X_｛n，m｝=（m+1）_n，n\in\n，m\in\Z$，方程（\ref｛Eq_FPochhammer X｝）。｝\开始{居中}\开始{tablar}{c|cccccc}\氯化氢\对话框{n}{m}&0&1&2&3&4&5&6&7\\\氯化氢1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\2 & 2 & 6 & 12 & 20 & 30 & 42 & 56 & 72 \\3 & 6 & 24 & 60 & 120 & 210 & 336 & 504 & 720 \\4 & 24 & 120 & 360 & 840 & 1680 & 3024 & 5040 & 7920 \\5 & 120 & 720 & 2520 & 6720 & 15120 & 30240 & 55440 & 95040 \\6 & 720 & 5040 & 20160 & 60480 & 151200 & 332640 & 665280 & 1235520 \\7 & 5040 & 40320 & 181440 & 604800 & 1663200 & 3991680 & 8648640 & 17297280 \\\vdots&&&&&&&&\\\氯化氢\结束{表格}\结束{中心}\结束{表格}与幂序列族的情况一样，对于任何给定的$n$，推论{Cor_FPochhammer}中列出的关系提供了不同$m$的Pochhamer数$（m）_n$之间的链接。具体地说，对于任何固定的$n$，第三恒等式产生了由$（m+1）_n$定义的序列的一般线性递归规则，即\开始{方程式}\标签{Eq_FPochhammerRecM}（m+1）_n=\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n\choose l+1}（m-l）_n+n，\结束{方程式}对于所有m\in\Z$，它都是有效的$\。再次限制为$m\geq0$，$n=2$将生成Oblong数序列$a_m=m（m+1）$（\seqnum{A002378}），并遵循递归\开始{方程式*}a0=0，a1=2，a{m+1}=2a_m-a{m-1}+2，m\geq1，\结束{方程式*}对于$n=3$，我们得到序列$am=m（m+1）（m+2）$，如下所示\开始{方程式*}a_0=0，a_1=3！，a_2=4！，a{m+1}=3am-3a{m-1}+a{m-2}+6，m\geq2\结束{方程式*}（seqnum{A007531}，Z.Seidov，2006），对于$n=4$，四个连续整数$a_m=m（m+1）（m+2）（m+3）$（\seqnum{A052762}）与\开始{方程式*}a_0=0，a_1=4！，a_2=5！，a_3=\frac｛1｝｛2｝6！，a{m+1}=4am-6a{m-1}+4a{m-2}-a{m-3}+24，m\geq3。\结束{方程式*}我们注意到，对于$n=2$和$n=4$，这里获得的递归形式与OEIS\cite{OEIS}中提供的相应序列的递归形式不同。\{$k$族-广义斐波那契数}\标签{S_FibFamily}在本文的其余部分中，我们将把第ref{S_ProdRep}节中给出的一般结果应用于一个不太常见的情况，即（ref{Eq_GenFibRec}）中定义的广义Fibonacci序列。为此，我们设置\开始{方程式}x{n，l}=-2 i\cos\left（\frac{l\pi}{n+1}\right），\结束{方程式}从中，使用（\ref{Eq_GenFibProd}），紧接着\开始{方程式}\标签{Eq_FFibX}X_{n，m}=\prod\limits_{l=1}^n\left（m-2i\cos\left（\frac{l\pi}{n+1}\right）\right，=F_{n+1}^{（m）}。\结束{方程式}此外，注意$\cos\left（\frac{l\pi}{n+1}\right），l\in[0，n]$是第二类切比雪夫多项式的零点\开始{方程式*}U_n（x）=\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\左（\左（x+\sqrt{x^2-1}\右）^{n+1}-\左（x-\sqrt}x^2-1{\右）\结束{方程式*}（例如，参见\cite[第22章]｛AbramowitzStegun72｝，\cite[\S 8.94]｛GradshteynRyzhik07｝），我们有\开始{方程式}\标签{Eq_FFibCalX}\马特斯克{十} _n（n）=-2 i\sum\limits_{l=1}^n\cos\left（\frac{l\pi}{n+1}\right）=0，\结束{方程式}其中使用了切比雪夫多项式的正交关系。由（\ref{Eq_FFibX}）形成的序列家族的第一个成员在表\ref{Tab_FFibonacci}中可视化。具体来说，第二列$m=1$包含原始斐波那契数列$F_n$（\seqnum{A000045}）、方程式（\ref{Eq_Fibs}），第三列$m=2$包含$n\geq1$的Pell数序列$P_n$（\seqnum}A000129}）和方程式（\ref{Eq_Pells}。虽然单个列产生广义斐波那契数列的后续序列，但对于固定$n$，每一行生成新的整数序列，其元素都是广义斐波纳契数列。具体地说，对于$n=2$，对于$m\geq0$，我们获得序列$a_m=m^2+1$（\seqnum{A002522}），对于$n=3$，序列$a_nm=m*3+2m$（\seqnum}A054602}，），对于$=4$，序列$a_m=m^4+3m^2+1$（\secnum{A057721}）。通常，对于任何给定的$n\In\n$，都会获得整数序列，其显式形式是根据斐波那契多项式（例如，参见{AndreJeannin94}）给出的，该形式的序列索引$m$中的第$n$阶多项式\开始{方程式}\标签{Eq_mFibRec}a_m=\sum\limits_{l=0}^｛\lfloor\frac｛n｝｛2｝\lfloor｝｛n-l\选择l｝m^｛n-2l｝=F_｛n+1｝^｛（m）｝。\结束{方程式}从Lemmata\ref{L_calX}和\ref{L_calXm}，我们可以立即公式化\开始{命题}\标签{Cor_FFib1}（ref{Eq_FFibX}）中定义的广义Fibonacci序列$\{F_n^{（m）}\}$族遵循以下恒等式：\开始{eqnarray}\总和\limits_{l=1}^n（-1）^l{n选择l}lF_{n+1}^{（l+m）}&=&\frac{1}{2}（-1）*n（2m+n+1）n！\标签{Eq_FFibCor1_1}\\\求和\limits_{l=1}^n（-1）^l{n选择l}lF_{n+1}^{（lm）}&=&\frac{1}{2}（-1）m^n（n+1）！\标签{Eq_FFibCor1_2}\结束{eqnarray}对于n$中的所有$n\和Z$中的$m\。\结束{命题}\开始｛证明｝这两个恒等式都是使用（ref{Eq_FFibX}）和（ref{Eq_FFibCalX}。\结束{proof}\开始{table}\标题{\label{Tab_FFibonacci}广义斐波那契数列$X_{n，m}=F_{n+1}^{（m）}，n\n\n，m\in\Z$的第一个成员，在（\ref{Eq_FFibX}）中显式定义，并遵循递归关系（\ref{Eq_GenFibRec}）。}\开始{居中}\开始{tablar}{c|cccccc}\氯化氢\诊断框｛n｝｛m｝&0&1&2&3&4&5&6&7\\\氯化氢1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\2 & 1 & 2 & 5 & 10 & 17 & 26 & 37 & 50 \\3 & 0 & 3 & 12 & 33 & 72 & 135 & 228 & 357 \\4 & 1 & 5 & 29 & 109 & 305 & 701 & 1405 & 2549 \\5 & 0 & 8 & 70 & 360 & 1292 & 3640 & 8658 & 18200 \\6 & 1 & 13 & 169 & 1189 & 5473 & 18901 & 53353 & 129949 \\7 & 0 & 21 & 408 & 3927 & 23184 & 98145 & 328776 & 927843 \\\vdots&&&&&&&&\\\氯化氢\结束{表格}\结束{中心}\结束{表格}方程（\ref{Eq_FFibCor1_2}）可用于连接正负$m$的广义斐波那契数$F_n^{（m）}$。具体来说，对给定的$m$和$m\rightarrow-m$减去（\ref{Eq_FFibCor1_2}），我们得到\开始{方程式}\求和\limits_{l=1}^n（-1）^l{n\choose l}左（F_{n+1}^{（lm）}-F_{n+1}^{（-lm）}\right）=\frac{1}{2}m^n\left（（-1））^n-1\right）n（n+1）！\结束{方程式}如果$m=1$，则产生\开始{方程式}\标签｛Eq_FibPosNeg1｝\求和\limits_{l=1}^n（-1）^l{n\choose l}l\左（F_{n+1}^{（-l）}-F_{n+1}^{（l）}\右）=\frac{1}{2}\左（1-（-1））^n\right）n（n+1）！=\left\{\begin{array}{ll}0，&\text{$n$even；}\\n（n+1）！，&\文本{表示$n$odd。}\右端{数组}。\结束{方程式}此外，将命题{P_XnmIdent}应用于斐波那契序列族会导致\开始{命题}\标签{Cor_FFib2}斐波那契数列族$F_n^{（m）}$遵循$\对于所有的n \ in \ n$下列关系\开始{eqnarray}\总和\limits_{l=0}^n（-1）^l{n\choose l}F_{n+1}^{（l+m-n+1）}&=&（-1）*n！\标签{Eq_FFibCor2_1}\\\sum\limits_｛l=1｝^n（-1）^l｛n\choose l｝l\left（F_｛n+1｝^｛（lm）｝-m^｛n-1｝F_｛n+1｝^｛（l）｝\right）&=&&frac｛1｝｛2｝（-1）^｛n-1｝m^｛n-1｝（1-m）n（n+1）！\标签{Eq_FFibCor2_2}\结束{eqnarray}对于所有$m\in\Z$。\结束{命题}\开始｛证明｝这两个恒等式都是使用（ref{Eq_FFibX}）和（ref{Eq_XnmNeg1}。关系（\ref{Eq_FFibCor2_2}）也可以直接从（\ref{Eq-FFibCor1_2]）中获得。\结束{proof}我们注意到方程（\ref{Eq_FFibCor2_2}\开始{方程式}\求和\limits_{l=1}^n（-1）^l{n\choose l}l\left（F_{n+1}^{（-l）}+（-1）*nF{n+1}^{（l）}\right）=n（n+1）！\结束{方程式}$\forall n\in\n$，补充上面的（\ref{Eq_FibPosNeg1}）。有趣的是，（\ref{Eq_FFibCor2_1}）允许为任何给定的$n$构造$m$中的广义斐波那契数$F_n^{（m）}$的一般递归关系，即\开始{方程式}\标签{Eq_GenFibRecM}F_n^{（m+1）}=\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）^l{n\choose l+1}F_n^}（m-l）}+n，\结束{方程式}对于所有m\in\Z$，它都是有效的$\。限制为$m\geq 0$，从（\ref{Eq_FFibCor2_1}）中为$n=2$获得的序列$a_m=F_2^{（m+1）}=m^2+1$遵循\开始{方程式*}a_0=1，a_1=2，a_｛m+1｝=2 a_m-a_｛m-1｝+2，m\geq 1\结束{方程式*}（seqnum{A002522}，E.Werley，2011）。类似地，对于$n=3$，三阶多项式$a_m=F_3^{（m+1）}=m^3+2m$（\seqnum{A054602}）给出的整数序列遵循递归关系\开始{方程式*}a0=0，a1=3，a2=12，a{m+1}=3a_m-3a{m-1}+a{m-2}+6，m\geq2，\结束{方程式*}对于$n=4$，序列$a_m=F_4^{（m+1）}=m^4+3m^2+1$（序列号{A057721}）服从递归\开始{方程式*}a0=1，a1=5，a2=29，a2=109，a{m+1}=4am-6a{m-1}+4a{m-2}-a{m-3}+24，m\geq3。\结束{方程式*}最后，推论{Cor_Xnm1}和{Cor_Xnm2}根据斐波那契族的其他成员提供了广义斐波那奇数的显式表示：\开始{命题}\标签{Cor_FFib3}广义斐波那契数$F_n^{（m）}$obile\开始{eqnarray}F_{n+1}^{（m）}&=&（-1）^n{m\选择n}\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）|l{n\选择l}\frac{n-l}{l-m}F_{n+1}^{（l）}+\ frac{m！}{（m-n）！}\label{Eq_FFibCor3_1}\\F_{n+1}^{（-m）}&=&（-1）^n{m\选择n}\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）\结束{eqnarray}对于所有n，m\in\n$和$m\geq n$，以及\开始{eqnarray}F_{n-p+1}^{（m）}&=&（-1）^{n+1}n^{-q}\sum\limits_{l=0}^{n-1}（-1）\\F_｛n-p+1｝^｛（m）｝&=&（-1）^｛n+1｝n^｛-p｝\sum\limits_{l=0｝^｛n-1｝（-1）^l｛n\choose l｝l^p F_｛n-p+1｝^｛（m-n+1）｝+n^｛-p｝n！\标签{Eq_FFibCor3_4}\结束{eqnarray}对于所有$n、p\in\n$，其中$n\geq p+1、p\geq 1$、$0\leq<p$和$m\in\Z$。\结束{命题}\开始｛证明｝前两个恒等式是（\ref{Eq_XnmExp1}）和（\ref{Eq_FFibX}）的直接结果，后两个恒等式可以用（\ref}Eq_XnmId1}和（\ref{Eq_XnmId2}）、使用（\ref[Eq_FFibX}]）和（\ ref{Eq_FFibCalX}。\结束{proof}我们注意到，命题\ref{Cor_FFib1}到\ref{Cor_FFib3}提供了许多恒等式，这些恒等式将（\ref{Eq_FFibX}）中定义的广义Fibonacci序列集链接起来。具体地说，对于广义斐波那契数，在$n$方程（ref{Eq_GenFibRec}）中定义的递归关系允许用$F_{n'}^{（m）}$、$n'<n$来表示每个$F_n^{q_FFibCor3_1}）--（\ref{Eq_FFibCor3_4}）允许用任何给定$n$的$F_n^{（m'）}$，$m'\neq m$来表示每个$F_n_{（m）}$。结合这两组恒等式，我们可以将广义斐波那契数族的所有成员联系起来。\第{节结束语}在本文中，我们研究了数的一般性质通过形式的乘积生成的序列（\ref{Eq_Xnm}）。我们找到了几个将这些联系在一起的恒等式和递归关系序列并建议按家族分类（定义\ref｛Def_Family｝）。虽然这些家庭在这里学习示例描述了不同的整数序列，例如Pochhammer我们发现，数字、整数幂或广义斐波那契数每个家庭都有相同的身份在某些情况下，它概括了这些之间有趣的关系已知序列。这里给出的示例只是一小部分潜在应用。例如，$q$-Pochhammer序列和Pochhammer数乘积产生的序列分别是在$x{n，l}=a^l，a\in\R$和$x{n，l{=l^a，a\in \Z$下获得的。第{S_ProdRep}节中列出的一般关系适用于这些情况，并提供了相应序列所遵循的许多标识。通过设置\开始{方程式*}x{n，l}=-2\sqrt{q}\cos\left（\frac{l\pi}{n+1}\right），\结束{方程式*}我们通过（\ref{Eq_ProdRepLucas}）获得了一般Lucas序列（\seqnum{A108299}），即。，\开始{方程式*}X_{n，m}=\frac{1}{\sqrt{q}}\prod\limits_{l=1}^n\left（m-2\sqrt{q}\cos\left（\frac{l\pi}{n+1}\right）\right，=l_{n+1}^{（m，q）}。\结束{方程式*}对于适当的$m$和$q$，可以获得有趣的恒等式，如奶奶的恒等式\cite{Humble04}、斐波那契序列的有符号平分以及斐波那契数幂的相互联系。对这些关系的研究、它们的潜在推广以及对其他数列族的应用，可能会为研究不同性质的数列共享的特性提供新的、潜在有用的见解。\节{确认}CNRS部分支持的研究。作者希望感谢L.E。Muller II、J.A.G.Willow和S.Hower发表了宝贵意见。\开始{书目}{99}\bibitem{卢瑟福47}D.E.卢瑟福，《物理和化学中出现的一些连续决定因素》，爱丁堡学派学报A}\textbf{62}（1947），229--236。\bibitem{Rutherford52}D.E.Rutherford，《物理和化学中出现的一些连续行列式II》，《爱丁堡学派学报》A}\textbf{63}（1952），232--241。\bibitem{Lind65}D.Lind，问题H-64，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{3}（1965），116。\bibitem{Zeitlin67}D.Zeitlin，问题H-64的解决方案，\emph{Fibonacci Quart.}\textbf{5}（1967），74-75。\bibitem{Shapiro94}L.Shapiro，问题B-742的解决方案，\emph{Fibonacci 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2010（数学学科分类）：小学11B39；次级32A05、40B05。\noindent\emph{关键字：}产品表示法、斐波那契数、佩尔数、Pochhammer数字，整数幂，递归恒等式。\大跳跃\小时\大跳跃\noindent（与序列有关\序列号{A000045}，\序列号{A000129}，\序列号{A000290}，\序列号{A000578}，\序列号{A000583}，\序列号{A002378}，\序列号{A002522}，\序列号{A007531}，\序列号{A052762}，\序列号{A054602}，\序列号｛A057721｝，以及\序列号{A108299}。）\大跳跃\小时\大跳跃\vspace*{+.1in}\无音（noindent）2015年9月1日收到；2016年3月1日收到修订版。发表于《整数序列杂志》，2016年4月6日。\大跳跃\小时\大跳跃\无音（noindent）返回到\htmladdnormallink{整数序列杂志主页}{http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/}.\vskip.1英寸\结束{文档}